2023年高考金榜预测数学试卷（一）（新高考数学试卷）（解析版）

2023年高考金榜预测卷（一）（新高考卷）

数学

一、单项选择题

1.设集合A={x|x/n<2},B={l,2,4,5},则BC（6RA）=（）

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,4}D.{4,5}

K答案》D

K解析X因为A={x|>/r3<2},

所以解得则_1<X43,

[3-x>0U43

所以A={x|-lvxM3},则QA={x|x4-l或x>3},

又8={1,2,4,5},

所以8门0以）={4,5}.

故选：D.

2.已知复数z=l+i,则g）的值是（）

A.32B.-32C.iD.-i

K答案Uc

K解析D」=二=7,。”.7=3=i,所以⑶：i』.故选：c.

zl-i+2\z）

3.如图，圆。的直径45=4,点C,。是半圆弧4?上的两个三等分点，则ACMO=

（）

A.4B.46C.2x/3D.6

K答案1D

R解析H以。为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为)，轴，建立平面直角坐标

系，

连接C£>,OC,0D,

因为点C,。是半圆弧AB上的两个三等分点，所以NAOC=NCOD=NBO£>=60。,

所以三角形0C£>为等边三角形，故NOC£>=/OOC=60。，则CEM/48,

因为45=4,所以｛-2,0),。卜1,6),。(1,6),

则/=(-1网_(_2,0)=(1,⑹,AD=(l,x/3)-(-2,0)=(3,V3),

故选：D

4.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众

多，经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等.其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆

台.如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm),那么该壶的容积约接近于()

A.100cm*B.200cm'C.300cm3D.400cm'

R答案WB

R解析D设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为h,

则R=5,r=3,h=4,

.­.V^=-Tth(R2+Rr+r2)

=%x4.(25+15+9)=_U200(cm3),

故选：B.

5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排

甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验

舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为()

1111

A.6-B.4-3-D.2-

[答案》A

K解析》从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱

位，则有C[&=6x2=12种可能，

要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两

人去剩下两个舱位，则有用=2种可能.

21

所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率P==

126

故选：A

6.已知函数/(x)=3sinx,函数g(x)的图象可以由函数的图象先向左平移

夕(夕＞())个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的,(。＞0)得

到，若x=3是函数g(x)的一个极大值点，x=-B是与其相邻的一个零点，则g但)的值

o6J

为()

A.-V2B.0C.1D.72

K答案》c

K解析力函数〃x)的图象先向左平移出。>0)个单位长度，得到y=&sin(_r+s)的图

象，

再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的,(&>0)得到

CO

g(x)=V5sin(<yx+e)的图象；

由题可知，解得7=9,则0=系=|,又g]£j=3in(|x?+'=啦,

TTTTTT

故可得工+夕=2&乃+工水wZ,解得8=2版•+«/wZ,

424

故g(1)=>/2sinxy+2kjr+=>/^sin(2A7r+,)=>/2sin^^=1.

故选：C.

7.已知椭圆C：r+4=l(a>力>。)的左焦点为RA,3分别为C的左右顶点，

a~b~

。6:/+。_〃7)2=/(加>0)与丁轴的一个交点为。，直线AO,BG的交点、为M,且M/Fx

轴，则C的离心率为()

A.-1B.।4C.2-D.3-

3234

K答案XA

K解析11解法一：由题意可知A(—a,0),8(a,0),0(0,2〃z),G(0,M,2—c,0),

故直线AQ的方程为y-2,”=言=X,即y=^x+2m,

直线BG的方程为y-帆二察心工，即y=-x+m,

\j-a-a

联立直线AO,3G的方程，解得与=-£

又MF_Lx轴，所以-§=-CM=3C,所以。的离心e='=!，

3a3

故选：A.

解法二：设。为坐标原点，由题意知4-a,0),8S,0),G(0,m),R-c,0),£>(0,2M,Mf7/。。，

故,QWFAM,所以第=总,即0=纥^,解得|姐=刎二

IDD|IOA|2m.cia

又2GBFMB,所以两W即眼同a+c

\OB\'"T一丁

解得固尸土皿©,则①1=刎二1,得〃=3c,

aaa

c1

所以C的离心率e=—二;

a3

故选：A.

8.已知a=10%方=i产c=12,0,则a,b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

K答案HD

K解析X构造/(x)=(22-x)Inx,x>10,

yz(x)=-lnx+--1,

f'(x)=_lnx+子-1在［10,口)时为减函数，

Ji//(10)=-lnl0+y-l=1-lnl0<--lne2=1-2<0,

所以广3=-1门+?-1<0在［10,网恒成立，

故/(x)=(22-x)lnx在［10,4)上单调递减，

所以/。。)>/(11)>/(12),

即121nl0>lllnll>101nl2,所以10“>［严>团)，即”>b>c.故选：D.

二、多项选择题

9.在正方体48C。-中，下述正确的是()

A.AC//平面ABGB.AOJ_平面48G

C.AC-LARD.平面J.平面BBQ。

K答案HAD

K解析F4C"AG,ACO平面ABG,Agu平面A]G,所以AC〃平面ABC、

ADAC=45",AO与AC不垂直，则A。与AG不垂直，AD_L平面A/G不正确；

AC=AD,=CD,,则△ACQ为等边三角形，则AD与AC不垂直，则与AG也不垂直;

正方体ABCQ-ABCR中，有881平面A8CQ,则又与可推

得4G，平面88QD,从而平面A/C1J■平面33Q，

故选：AD.

10.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S"，若』=3,52=7,则（）

A.an=5-n

B.若4,+a,,=%+q。，贝1J，+3的最小值为fl

tnn12

C.s“取最大值时，〃=4或〃=5

D.若S“>0,〃的最大值为8

R答案HACD

K解析U由题意得4=4,%=3,可得|?=4：,

则等差数列｛4｝的通项公式为4=5-〃，则选项A判断正确；

若+。〃=。2+4o，则机+〃=2+10=12,

116(116、m+n1(n1_°、25

贝.+_xy;却7+—+——>-1Z17+8=--

tnnn)1212\m几J1212

(当且仅当机=£,〃=g时等号成立)

又m，“eN*,则工+3的最小值不是则选项B判断错误;

mn12

等差数列｛4｝中，4=4>%=3>小=2>q=1=。>%=T>…

则等差数列｛4｝的前〃项和S.取到最大值时，〃=4或九=5.则选项C正确;

51吟出="＞。，得。＜”9,且—故〃的最大值为8,则选项D判断

正确，.

故选：ACD

11.已知抛物线y=2/的焦点为F,M（5，yJ,N（々,%）是抛物线上两点，则下列结论

正确的是（）

A.点尸的坐标为（",0）

B.若直线MN过点尸，则不々=一4

16

C.若MF=2NF，则|MV|的最小值为3

D.若|M尸|+|NF|=9,则线段MN的中点尸到X轴的距离为?

K答案2BCD

K解析D解：抛物线y=2d,即r=；y,

对于A,由抛物线方程知其焦点在y轴上，焦点为F（01），故A错误；

对于B,依题意，直线MN斜率存在，设其方程为丫=履+：,

O

x2=­y

由2消去y整理得*2-卜-上=0,一工+为，故B正确;

,1216162

V=KX+-

[8

对于C,若M/=4NF，则直线MN过焦点，

所以|MN|=|MF|+|阿=%+:+%+(=包+(+如+3；=3犷+!，

所以当&=0时|MCn=g,

，|MN|的最小值为抛物线的通径长故C正确；

对于D,附尸|+|桥|=,+：+%+:=1即尸点纵坐标为汽匹=|,

P到X轴的距离为故D正确.

O

故选：BCD.

12.关于函数/(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()

A.函数/(X)在区间(1,2)上单调递增

B.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称

C.若网片天,但/(可六/优)，则为+々=2

D.函数/*)有且仅有两个零点

K答案2ABD

K解析U由函数y=lnx,X轴下方图象翻折到上方可得函数y=|lnx|的图象,

将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y=MW|=MHI|的图象,

将函数图象向右平移2个单位，可得函数产网-(>2)|=阿27|的图象，

则函数/(x)=|In12-x||的图象如图所示.

由图可得函数/(x)在区间(1,2)上单调递增，A正确；

函数y=/(x)的图象关于直线x=2对称，B正确；

若不*与，但“不)=/(毛)，若X],须关于直线工=2对称，则为+4="C错误;

函数/(x)有且仅有两个零点，D正确.

故选：ABD.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2()分

13.(1+依)2(1-力5的展开式中，一项的系数为35,则实数a的值为.

K答案》-1或3

K解析W由二项式定理的通项可得,

C；l°(or)2C；I3(-X)2=a2x2-x2=lO/x4,

2x1

C；r(or)Lc；F(-x)3=2ov5x4x3•(-d)=-20o¥4

3x2x1

C"l2(ax)°-C^'(-x)4=lx5x4=5x4,

因为一项的系数为35,

所以10/-2。4+5=35,整理得。2-2。-3=0,

解得a=—1或a=3,

故K答案』为：-1或3.

14.过点尸(-2,0)的直线与圆/+丁=3交于A,5两点，则|PA|“PB|的值为

K答案》1

K解析11过P作圆x?+y2=3的切线，切点为T,连接“，。为坐标原点,

结合已知条件如下图所示：

因为x?+y2=3是以圆心(0,0),半径r=G的圆，且P(-2,0),

所以|P7|="OP]_|OT『=74^3=1，

又由切割线定理可知，IPT『=|PA\-\PB\=1.

故R答案』为：1.

15.设x=6＞是函数/(x)=3coM+sinx的一个极值点，则cos26»-sin26»=

7

K答案^

R解析Df'(x)=-3sinx+cosx,由题意得：/'(e)=-3sin，+cos6=0,

19

又因为sin?8+cos?夕=1,解得：sin^0=——,cos~—77?»

927

故cos2^-sin2^=cos2。-2sin28=------=一.

101010

7

故K答案》为：

16.已知双曲线，-*=1（。>08>0）的左、右焦点分别是耳，居，P是双曲线右支上一点,

ab-

PF2^F2=O9。为坐标原点，过点。作KP的垂线，垂足为点”，若双曲线的离心率

e=也，存在实数〃?满足|。川=制。用，则机=.

2

K答案H1

K解析》当x=c时，代入双曲线可得y=±Q,

a

由P乙.耳心=。可得P玛■!《后,由题易得△6。"△耳P鸟.

由相似三角形的性质可知，罂=耨，则，"=a

2a+一

a

222

.­.2am+bm=b,整理得上=包」|呐=三

a~1-w-a

2c2,〃.2〃75Anza1

二.《=—=1+—=1+----=—,触倚机=入・

a~a\-m49

故K答案U为：

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.等比数列｛4｝中，4=2,且％,4+%，4成等差数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若数列”=1o。“J试求数列｛2｝前〃项的和，，并证明看?；.

解：（1）设等比数列｛4｝的公比为4,

因为q=2,且。2，q+%，小成等差数列，

所以q(q+%)=2(4+%),

22

因为q+a3=4+atq=at(\+q)^O,

所以4=2,

所以数列｛%｝的通项公式为a,,=2".

(2)由(1)得数列｛为｝的通项公式为=2”

111

所以数列a=;---------

•logan(n+V)n〃+1

•og2«„+12n

所以数列｛〃,｝前〃项的和

7>(13)+d)+L+(9杰)=1一・

因为1-Q是递增数列,

所以

所以

18.在锐角ABC中，角A,8,C的对边分别为，且满足6sinCcosC+

csinCcosB=\/3acosC.

(1)求角C的大小；

(2)求:的取值范围.

h

(1)解：因为6疝1。85。+656。0053=6«85',

所以sinBsinCeosC+sinCsinCeosB=\j3sinAcosC，

即sinC(sinBcosC+sinCcosB)=CsinAcosC,

BPsinCsin(B+C)=sinCsinA=A/3sinAcosC,

又sinAwO,

所以tanC=6,

TT

因为O<C<7C,所以C=1；

(2)角由：«_sinA_sin(£?+C)_sincosC4-cossinC_12

bsinBsinBsinB2tanB

因为四3c为锐角三角形，

兀

0<B<-

2

所以解得

0八<A.=-2兀-B八<—7162

32

所以正<

tanB,所以12<2

3一<--r

22tanB

即蓝的取值范围为(；，2)

7T71

19.在图1中，四边形ABC。为梯形，ADHBC,ZABC=~,ZBCD=-,AD=CD=2,

63

过点A作AELA8,交BC于E.现沿AE将..ABE折起，使得8CJ.OE,得到如图2所

示的四棱锥8-AE8,在图2中解答下列两问:

(1)求四棱锥3-AEC£>的体积；

3

(2)若尸在侧棱BC上，BF=^-BC,求证：二面角C-E尸-O为直二面角.

4

TTTT

(1)解：在图1中，VZABC=-,AE±AB,：.ZAEB=~,

63

jr

又NBCD=—，：.AE//CD,

3

又AD!IBC,

：.四边形AECD为平行四边形，

：AD=CD,...平行四边形AEC3为菱形.

在图2中，连接AC,则3E1AC,又3。，。比4(7,8(7匚平面480,

ACBC=C,平面A8C,

：45u平面ABC,...他_L£>E

*.*AE_LAB.AE।DE=E,AE,DEu平面AECD,：.AB1平面AECD.

VB-AECD=§SAECDxA8=—xfADxAEsin兀

x(AEtang=4

（2）证明：在图2中，以A为原点,以所在的直线为y轴建立如图所示的直角坐标

系,则8(0,0,26)，0(0,2,0),£(73,1,0),C(G,3,0),

aa

EF=EB+BF=EB+」BC=(-瓜一1,2孙+—(瓜3,-2也)V35正]

44-4~，4，~)

设面CEF的一个法向量为勺=%,4),EC=(0,2,0),

[n,.£C=0士0

由彳台\656

n,EF=0[--^+-^+—21=0

令4=1,则％=2,乂=0,取4=(2,0,1)

设面£)£F的一个法向量为々=(X2,J2,Z2),E£>=(-73,1,0),

k.ED=0卜瓜2+%=。

[n2-EF=01^-—x2+-y2+—z2=0

令七=1,则必=6*2=-2,取”2=(1,6,-2)

所以/•均=0,,从而二面角C-E尸一。为直二面角

20.从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记4表

示事件“第i次摸到红球“，i=l,2,,7.

（1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；

（2）记P（A4A）表示A，4,A同时发生的概率，P（A|A&）表示己知A与&都发生

时A-3发生的概率.

①证明：P(A4A)=P(A)P(4|A)尸(阕A町;

②求P(A).

_4x3

（1）解：由条件概率公式可得P（4I%）=*华=苧=：：

P（A）Z2

7

所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为g；

（2）①证明：由条件概率乘法公式

p（&144）="4广）,可得p（A44）=P（A4）尸（&।玲4）,,

由尸⑷A）=胃杂，可得尸（A&）=P（A）P（4IA）,

所以「（A&4）=P（A）尸（&IA）P（4IA4）；

②解：由①可得P（A）=尸（A&A）+P（4M3）+P（A%A3）+P（14A）

=尸（A）p（4|A）P（&|A4）+P（A）P（&|A）P（A,|44）+

P（A）P（4IA）P（4I44）+P（A）P（4IA）「⑷IA4）

3214323424333「……、3

765765765765737

21.已知椭圆＜7：。m=1（3匕＞°）的半焦距'=!，离心率旧，且过点性，j，0

为坐标原点.

（1）求椭圆C的方程；

UUIUUUUL11U

（2）设过点。（0,2）的直线/与椭圆C分别交于不同的两点A,B,若QA.QB=©OQ『，求

2的取值范围.

2

C上

3

31,

解：（1）由题意得寿+屏

a,=b.-2+c2

整理得2a"-21/+45=0,

即(/-3)(2〃-15)=0,

解得/=3或

当/=3时，b2=2,c2=\,此时C的离心率e=£=立<2,符合题意;

a33

当〃=?时，从=：，/=§,此时c的离心率e=£=g>],不合题意，舍去，

244a63

所以椭圆C的方程为—+^=1.

32

(2)当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=H+2,

y=kx+2,

联立丁丁得(2+3/b2+12丘+6=0,

I32

因为直线/与椭圆C分别交于不同的两点A,B,

所以△=(122)2—24(2+3公)>0,整理得

设A(X],yJ,8(工2，%),则X]+工2=_2，须“2=℃心2，

N।JK乙I3K

UULLIUU

所以。4Q8=(X],y-2>(毛,*-2)=中2+(%-2)(%-2)

=x,x2+kxl-kx2=(1+&,%与=(1+&心2+；.=；：：%，

因为公>|，所以令『翳[>|)，则>凳>2),

6-2v25uiruun5

由得2<><彳，即2<QA.QB<[,

uuUUUUUU15

因为QAQ8=/l|OQ|2=4/l,所以2v44<],

解得v，，

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,

此时直线I与椭圆C的两交点分别为(0,忘),(0,-尤)，

不妨取40,a),8(0,-&),则。4=(0,&-2),。5=(0,-及-2),

UllUlil1「15、

所以Q4.QB=2,所以42=2,解得4=：,综上所述，2的取值范围为.

2\_Zo/

22.已知函数〃x)=lnx+2+。.

(1)求函数/(x)的极值；

(2)若函数“X)的最小值为<赴)为函数g(x)=/(x)-；的两个零点，证明:

e“2-elnr,>