2023-2024学年上海储能中学高一年级上册数学理期末试卷含解析

2023年上海储能中学（南校）高一数学理期末试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

2

10g-＜1

1.若昌li3，则实数a的取值范围是（）

A.（0,1）B.0,*»）C.3D.

22

参考答案：

C

2.定义工。＞=于一，则aO（aOa）等于

（）

A-

aB3*Ca

D-38

参考答案：

C

3.已知数列｛&｝与｛儿｝前〃项和分别为Tn，且

=e*QG*****）,对任意的工上＞4恒成立,

则后的最小值是（）

111

A.1B,2C,3D,6

参考答案：

C

【分析】

先由K与4的关系式求（4｝的通项公式，于是可得仍J的通项公式，再由裂项相消法求

出£,于是答案易得.

【详解】因为，

所以当!1_］时，2q=2'-W..，解得.=1；

当“N2时，2S.「

所以2q=2S.=（《，％）_（心.词

于是（W心）（4♦J）=O

由■♦一#°,可得4——=】，

所以｛4｝是首项为1,公差为1的等差数列，即4一”

=2F2。+1_J_______1___

所以(2-♦*<^<)Q°+")(2*<*.R.口2"2***4n♦1

所以河-备4re+T六

i_ii

/L.H+IT

.】1

n€N,4>71--——j--------

因为对任意的3L+n+l恒成立，

t>11

所以3,即A的最小值是3.故选c.

【点睛】本题考查数列的综合问题，考查4与$■的关系、等差数列的判定、裂项相消法

求和、与数列有关的不等式恒成立问题，综合性较强.

4.已知数列｛即）前。项和A』"】，则数列S/（）

A.是等差数列B.是

等比数列

C.是等比也是等差数列D.不是等比也

不是等差数列

参考答案：

D

5.若函数“X卜1乜（2力+研°>0且存1）在区间、设内恒有则危）的单调递增

区间为（）

（9.-：）（W--l）

A.4B.4C.（0,+oo）D.2

参考答案：

D

6.已知研，K'1AB屋，辰l=t,若p点是AABC所在平面内一点，且

■».

屈二里+鳖

-lABI|ACI,则诬•玩的最大值等于（）

A.13B.15C.19D.21

参考答案：

A

【考点】9R：平面向量数量积的运算.

.._1_

【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化瓦•氏=-4（三-4）-（t-

1

1）=17-（4?t+t）,由基本不等式可得.

【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系,

1_

可得A(0,0),B(7,0),C(0,t),

AB4菽

AP-

IABIIACI,AP(1,4),

.1一

PB=(t-1,-4),PC=(-1,t_4),

__工1

/.PB-PC=-4(t-4)-(t-1)-17-(4t+t),

由基本不等式可得三+4t22收“4t=4,

1

.,.17-(4t+t)W17-4=13,

11

当且仅当4t=三即t=5时取等号,

拜•五的最大值为13,

7.如图，是的直观图，其中那么4«7是（）

C.等腰直角三角形D.直角三角形

参考答案:

D

因为水平放置的口皿的直观图中，NUO>*=4S",且“〃Y,

所以4B_L4C,所以△皿是直角三角形，故选D.

3X+1,x<l

x2+ax,x>l,若f(f(0))=6,则a的值等于()

8.（5分）已知函数f（x）=

A.1B.-IC.2D.4

参考答案：

A

考点：函数的零点；函数的值.

专题：函数的性质及应用.

分析：直接利用分段函数化简求解即可.

3X+1,x<l

<

解答：函数f(x)=1x2+ax,x>l,f(O)=2,

f(f(0))=6,

即f(2)=6,可得2?+2a=6,

解得a=l.

故选：A.

点评：本题考查分段函数的应用，函数的值以及函数的零点的求法，考查计算能力.

9.二次函数y=x?-4x+3在区间(1,4]上的值域是()

A.[-1,+8)B.(0,3]C.[-1,3]D.(-1,3]

参考答案：

C

【考点】二次函数在闭区间上的最值.

【专题】探究型.

【分析】先将二次函数配方，确定函数在指定区间上的单调性，进而可确定函数的值域.

【解答】解：函数y=xz-4x+3=(x-2)2-1

函数的对称轴为直线x=2,函数的图象开口向上，

函数在(1,2]上单调减，在[2,4]上单调增

，x=2时，函数取得最小值-1；x=4时，函数取得最大值3；

.•.二次函数y=x?-4x+3在区间（1,4］上的值域是［-1,3］

故选C.

【点评】本题重点考查函数在指定区间上的值域，解题时，将二次函数配方，确定函数在

指定区间上的单调性是关键.

10.为得到函数kc°s（2x=-）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

5-5兀

A.向左平移士"个长度单位B.向右平移下"个长度单位

5九5-

C.向左平移飞一个长度单位D.向右平移飞一个长度单位

参考答案：

A

【考点】函数y=Asin（wx+）的图象变换.

y=cos(2x4-^-)

【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则

进行平移即可得到答案.

*5兀)=sin2(x-H^-)

=sin(2x+-7-

【解答】解:6

只需将函数y=sin2x的图象向左平移下-个单位得到函数尸）的图象.

故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知三棱锥尸-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=、色，BC=日,AC=2,则此三

棱锥外接球的表面积为.

参考答案：

8兀

【分析】

以PA,PB,PC分棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接

球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积.

【详解】解：如图，PA,PB,PC两两垂直，设PC=h,

贝ijPB=V7-A1,PA=V<-*1,

VPA2+PB2=AB2,.,.4-h2+7-h2=5,解得h=竟,

因为三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两垂直，且PA=1,PB=2,PC=H

.,.以PA,PB,PC分棱构造一个长方体，

则这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球，

由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心，

三棱锥的外接球的半径为R=/,

所以外接球的表面积为S=4d'=4wx(v5)'=&r.

故答案为：8元.

【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意

构造法的合理运用.

12.将正偶数排列如下表，其中第1行第，个数表与OwNRwlT),例如%：=10,若

%=2014,则1+_/=

43

8〃10d

14~16。18V

参考答案:

62

略

13.某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时

间，绘制了频率分布直方图(如图)，那么这100名学生中阅读时间在［4,8)小时内的人

数为.

参考答案:

54

</)的部分图象如图所示，则

14.函数f(x)=Asin(cox+4))(A>0,o>0,|4)|

函数y=f(x)对应的解析式为.

参考答案：

兀

f(x)=sin(2x+6).

【考点】由y=Asin(ox+(i))的部分图象确定其解析式.

【分析】由y=Asin(ax+6)的部分图象可求得A=l,T=兀，从而可得3,再由f

7171之冗

(石")=sin(2xT+6)=1,|6|可求得6,从而可得答案.

3_222L11兀兀3兀

解：・・・WT=W?"^-=12__T=ZF,

71兀兀7T

・・・3=2；又A=Lf(T)=sin(2XT=1,/.y6=k兀+"Ikez.

717T兀71

4)=kn+6(k£Z),又|6|2,4>=6,/.f(x)=sin(2x+6).

71

故答案为：f(x)=sin(2x+6).

15.高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,551岁的人群随机抽取n人进行了

一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否

则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的

a?p=.

组数分组低碳族的人数占本组的频率

第一组[25,30)1200.6

第二组[30,35)195P

第三组[35,40)1000.5

第四组[40,45)a0.4

第五组[45,50)300.3

第六组[50,55)150.3

参考答案:

65

【考点】B8：频率分布直方图.

频数

【分析】由频率=总数，得第一组人数为200,由频率分布直方图得第一组的频率为

0.2,从而n=1000,进而a=1000X0.02X5=100,第二组人数为1000X[1-

195

(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)X5]=300,求出P=300=0.65,由此能求出a?P.

频.120

【解答】解：由频率=总数，得第一组人数为：076=200,

由频率分布直方图得第一组的频率为：0.04X5=0.2,

200

n=0.2=1000,

.•.a=1000X0.02X5=100,

第二组人数为1000X[1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)X5]=300,

195

/.P=300=0.65,

.•.a?P=100X0,65=65.

故答案为：65.

.数

【点评】本题考查频率率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率=总数

及频率分布直方图的合理运用.

16.假设某种动物在某天(从。0:00到24:00)中的活跃程度可用"活跃指数"y表示，y与这

„八y^l(f-l2)3-3(/-l2)J+C

一天某一时刻t(0^424,单位：小时)的关系可用函数'3来

拟合，如果该动物在15:00时的活跃指数为42,则该动物在9:00时的活跃指数大约

为.

参考答案：

24

17.如图，圆锥SO中，工8,8为底面圆的两条直径，儿5'交8于。，且

==尸为题的中点，则异面直线S4与尸。所成角的正切值为

参考答案：

0

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18计算：(0为『43-Ki07*182521g2

参考答案：

见解析

【知识点】指数与指数函数

解:(025)-3+85-16W5-lg25-21g2

=^-+(2J)5-(24)z-(lg25+lg4)

=16+4-8-2

=10.

19.(本小题满分12分)计算下列各式的值：

1£

(1)0.16-2—(2009):+164+log：近

(2)lg8+lgl25—Ig2—lg5

lgVlO•lgO.1

参考答案：

3

14-

⑴原式=[(O.4)；]-5—1+⑵)+log；22—(3一—-1+2+：=3-1+8+：=10.

5/22

⑵原式=】且Tg2X5

-IglOX-IglO

lgio:—IglO=3—1

jigiox-igio|x-1

20.(普通班做)已知直线，:y=Hx+2/)与圆o：「+/=4相交于A、B两点，O

是坐标原点，三角形ABO的面积为S.

(1)试将S表示成的函数s(k),并求出它的定义域;

(2)求S的最大值，并求取得最大值时k的值.

参考答案：

普通班：：如图，

⑴直线/议程+2岳=oa*0),

2何t|

原点。至"的距离为a+工

弦长阿=2后而=2卜^

ABO面积$6网闪=4v")..陷>°_]<f<收w0),

・•.sa)=±^p5(7“。且八°)

⑵令

S(k)=4“巧；.s4岳/_2?+至-1=472

1+无,V48

31=3尸=11有

当t=Z时，1+上2-彳’一十一一3时，％=2

-|0X|k?5|sm40B

又解:aABO面积S=2^『1

=2加乙4。

:.当4a=90。时S可取最大值2

略

21.在AA8C中，角A&C的对应边分别为a也c,已知a=J5,b=3,且

sinC=2smA.

(I)求匕的值；

sin(274--)

(H)求'4.的值.

参考答案：

解([)在AA5c中，;