2024年初中升学考试模拟测试湖南省娄底市中考数学模拟试卷（5月份）

第1页（共1页）2023年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3分）2023的倒数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．2．（3分）下面的计算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（﹣a3）2＝a6 D．5a﹣a＝53．（3分）九年级1班的5名同学参加学校举办的青少年图书教育活动讲故事比赛，他们的成绩（单位：分）分别是9，8，7，8，7，这组数据的中位数和平均数分别为（）A．7，7.8 B．7，7.6 C．8，7.8 D．8，7.64．（3分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（）A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×10115．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．中国探火CMEP B．中国探月CLEP C．中国行星探测MARS D．中国火箭CHINAROCKET6．（3分）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（）A．61° B．58° C．48° D．41°7．（3分）下列命题中，假命题是（）A．若△ABC的三边满足a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形 B．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且垂直的四边形是正方形8．（3分）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接OA、OB，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD、AD，若∠ADC＝30°，OA＝1，则AB的长为（）A．1 B． C．2 D．410．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞111．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A． B． C．或 D．512．（3分）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…且公式，则＝（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是．14．（3分）若x2+x﹣1＝0，则3x﹣＝．15．（3分）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为．16．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．现随机的向该图形内投掷一枚小针，则针尖落在正方形内切圆中黑色部分的概率为．17．（3分）某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可得，该几何体的侧面积为．18．（3分）如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG，以下结论正确的是：．①AC⊥BE；②△BCG∽△GAD；③点F是线段CD的黄金分割点；④CG+DG＝EG．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：．20．（6分）先化简，再求值：，其中x是满足条件x≤3的合适的正整数．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．为了了解我县某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了统计图表：根据统计图表，解答下列问题：（1）此次采访的居民人数为，m＝，n＝；（2）根据以上信息补全图中的条形统计图；（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？关注程度频数频率A．高度关注m0.4B．一般关注1000.5C．没有关注20n22．（8分）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为45°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C、D两点之间的距离为80m，直线AB、CD在同一平面内，请你用以上数据，求桥墩AB的高度．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案．24．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥CD，点E是BC的中点，过点E作EF∥AC，交AB于点F．（1）求证：四边形AOEF是矩形；（2）若CD＝16，矩形AOEF的面积为120，请直接写出cos∠ABC的值．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；（3）在（2）的条件下，求的值．26．（10分）如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足∠QBC＝45°﹣∠ACO，请直接写出点Q坐标．

2023年湖南省娄底市中考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3分）2023的倒数是（）A．2023 B．﹣2023 C． D．【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．【解答】解：2023的倒数是．故选：D．【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．2．（3分）下面的计算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（﹣a3）2＝a6 D．5a﹣a＝5【分析】分别根据同底数幂的乘法法则、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．【解答】解：A、a3•a2＝a，故原计算错误，不合题意；B、（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，故原计算错误，不合题意；C、（﹣a3）2＝a6，故原计算正确，符合题意；D、5a﹣a＝4a，故原计算错误，不合题意；故选：C．【点评】此题考查的是同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．3．（3分）九年级1班的5名同学参加学校举办的青少年图书教育活动讲故事比赛，他们的成绩（单位：分）分别是9，8，7，8，7，这组数据的中位数和平均数分别为（）A．7，7.8 B．7，7.6 C．8，7.8 D．8，7.6【分析】根据中位数和平均数的计算公式分别进行解答，即可得出答案．【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：7，7，8，8，9，则中位数为：8，平均数为：＝7.8．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．4．（3分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（）A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：2800000000000＝2.8×1012．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．中国探火CMEP B．中国探月CLEP C．中国行星探测MARS D．中国火箭CHINAROCKET【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．6．（3分）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（）A．61° B．58° C．48° D．41°【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．【解答】解：∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条折射光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．7．（3分）下列命题中，假命题是（）A．若△ABC的三边满足a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形 B．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且垂直的四边形是正方形【分析】根据勾股定理逆定理，平行四边形、菱形、正方形的判定定理逐项判断即可．【解答】解：若△ABC的三边满足a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形，故A是真命题，不符合题意；顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，故B是真命题，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是真命题，不符合题意；对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故D是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握直角三角形、平行四边形、菱形、正方形的判定．8．（3分）如图，下列解析式能表示图中变量x，y之间关系的是（）A． B． C． D．【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断．【解答】解：结合反比例函数的图象可得：第一象限所对应的关系式为：；第四象限所对应的关系式为：，∴y与x的关系式为：．故选：B．【点评】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象．9．（3分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接OA、OB，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接CD、AD，若∠ADC＝30°，OA＝1，则AB的长为（）A．1 B． C．2 D．4【分析】由圆周角定理得∠AOB＝2∠ADC＝60°，再根据切线的性质证明∠OAB＝90°，则＝tan60°＝，所以AB＝OA＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∵AB与⊙O相切于点A，∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∵＝tan∠AOB＝tan60°＝，OA＝1，∴AB＝OA＝×1＝，故选：B．【点评】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据切线的性质证明∠OAB＝90°是解题的关键．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（）A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．故选：C．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．11．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A． B． C．或 D．5【分析】过A点作AF⊥BC于F，连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S△ABC＝S△ABP+S△ACP，代入数值，解答出即可．【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝＝3，∵S△ABC＝S△ABP+S△ACCP，∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，∴12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．12．（3分）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…且公式，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据题目信息，表示出C125与C126，然后通分整理计算即可．【解答】解：根据题意，有C125＝，C126＝，∴C125+C126＝+，＝，＝，＝C136．故选：B．【点评】本题是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是x＞3．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣3＞0，解得：x＞3．故答案为：x＞3．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．（3分）若x2+x﹣1＝0，则3x﹣＝﹣3．【分析】根据公因式法可以先将所求式子化简，然后根据x2+x﹣1＝0，可以得到x﹣的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：3x﹣＝3（x﹣），∵x2+x﹣1＝0（x≠0），x+1﹣＝0，∴x﹣＝﹣1，当x﹣＝﹣1时，原式＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】考查分式的化简求值及整体思想，关键是找到已知所求之间的联系．15．（3分）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为80°．【分析】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ADE的度数，由折叠的性质可得出∠FDE的度数，再结合平角等于180°，即可求出∠BDF的度数．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．由折叠的性质可知：∠FDE＝∠ADE＝50°，∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠FDE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故答案为：80°．【点评】本题考查了平行线的性质以及翻转变换（折叠问题），牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．16．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．现随机的向该图形内投掷一枚小针，则针尖落在正方形内切圆中黑色部分的概率为．【分析】根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的概率公式计算可得．【解答】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，所以黑色部分的面积为S＝•π•12＝，则所求的概率P＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了概率计算问题，掌握对称性求出黑色阴影部分的面积是关键．17．（3分）某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可得，该几何体的侧面积为12π．【分析】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，∵l＝＝6，∴S侧＝×2πr×l＝×2π××6＝12π，故答案为：12π．【点评】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算以及勾股定理，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键．18．（3分）如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG，以下结论正确的是：①③④．①AC⊥BE；②△BCG∽△GAD；③点F是线段CD的黄金分割点；④CG+DG＝EG．【分析】根据矩形的性质可得AD＝BC，∠BAD＝∠ADC＝90°，AD∥BC，从而可得∠DAC+∠ACD＝90°，根据旋转的性质可得△ADC≌△FDE，从而可得AD＝DF，DC＝DE，∠DCA＝∠E，∠ADC＝∠FDE＝90°，进而可得∠DAC+∠E＝90°，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可判断①；根据已知易证△BCG为直角三角形，△GAD为锐角三角形，即可判断②；根据BC∥AD，可证明△BCF∽△EDF，然后利用相似三角形的性质可得＝，再根据BC＝DF，DE＝DC，从而可得DF2＝CF•CD，即可判断③；在EG上截取EG′＝CG，连接DG′，然后利用SAS证明△DGC≌△DHE，从而可得即可得∠GDC＝∠G′DE，DG＝DG′，进而可得∠GDG′＝90°，即可得出△GDG′是等腰直角三角形，从而可得GG′＝DG，即可判断④．【解答】解：四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠ADC＝90°，AD∥BC，∴∠DAC+∠ACD＝90°，由旋转得：△ADC≌△FDE，∴AD＝DF，DC＝DE，∠DCA＝∠E，∠ADC＝∠FDE＝90°，∴∠DAC+∠E＝90°，∴∠AGE＝180°﹣（∠DAC+∠E）＝90°，∴AC⊥BE，故①正确；∵AC⊥BE，∴∠AGE＝∠BGC＝90°，∴△BGC是直角三角形，△AGD是锐角三角形，∴△BGC与△AGD不相似，故②不正确；∵∠ADC＝∠FDE＝90°，∴∠ADC+∠FDE＝180°，∴点A、D、E三点共线，∵AD∥BC，∴∠E＝∠EBC，∠EDF＝∠BCF，∴△BCF∽△EDF，∴＝，∵AD＝BC，AD＝DF，∴DF＝BC，∵DC＝DE，∴＝，∴DF2＝CF•CD，∴点F是线段CD的黄金分割点，故③正确；在EG上截取EG′＝CG，连接DG′，∵DC＝DE，∠DCA＝∠E，∴△GCD≌△G′ED（SAS），∴∠GDC＝∠G′DE，DG＝DG′，∵∠G′DE+∠CDG′＝90°，∴∠GDC+∠CDG′＝90°，∴∠GDG′＝90°，∴△GDG′是等腰直角三角形，∴GG′＝DG，∵EG′+GG′＝EG，∴CG+DG＝EG，故④正确；所以，以上结论正确的是：①③④，故答案为：①③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，黄金分割，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝2×+1﹣2+2﹣＝+1﹣2+2﹣＝1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．（6分）先化简，再求值：，其中x是满足条件x≤3的合适的正整数．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝﹣2x﹣6，满足条件x≤3的正整数有1、2、3，∵x﹣3≠0，x﹣2≠0，∴x≠2和3，当x＝1时，原式＝﹣2×1﹣6＝﹣8．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）湖南省作为全国第三批启动高考综合改革的省市之一，从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．为了了解我县某小区居民对此政策的关注程度，某数学兴趣小组随机采访了该小区部分居民，根据采访情况制做了统计图表：根据统计图表，解答下列问题：（1）此次采访的居民人数为200，m＝80，n＝0.1；（2）根据以上信息补全图中的条形统计图；（3）请估计在该小区1500名居民中，高度关注新高考政策的约有多少人？关注程度频数频率A．高度关注m0.4B．一般关注1000.5C．没有关注20n【分析】（1）用B的频数除以B的频率可得样本容量，进而得出m的值，用“1”分别减去A、B的频率可得n的值；（2）根据m的值即可补全图中的条形统计图；（3）用1500乘样本中高度关注新高考政策的频率即可．【解答】解：（1）此次采访的居民人数为：100÷0.5＝200（人），故m＝200×0.4＝80，n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1，故答案为：200，80，0.1；（2）补全图中的条形统计图如下：（3）1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为45°，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°，测得C、D两点之间的距离为80m，直线AB、CD在同一平面内，请你用以上数据，求桥墩AB的高度．【分析】延长DC交AB于点E，设CE＝x米，由题意可得AB⊥DE，分别在Rt△AEC和Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE，BE，在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE，根据CD＝DE﹣CE，列方程求得x的值，即可解答．【解答】解：延长DC交AB于点E，则DE⊥AB，设CE＝x米，在Rt△AEC中，∠ACE＝60°，∴AE＝EC•tan60°＝（米），在Rt△BEC中，∠BCE＝45°，∴BE＝EC•tan45°＝x（米），在Rt△AED中，∠D＝30°，∴DE＝＝＝3x（米），∵CD＝80m，∴DE﹣CE＝CD，∴3x﹣x＝80，∴x＝40，∴AB＝AE+BE＝×40+40＝（40+40）米，∴桥墩AB的高度为（40+40）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案．【分析】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨，根据“5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设需要安排m辆大型渣土运输车，则安排（20﹣m）辆小型渣土运输车，根据20辆渣土运输车至少一次运输土方156吨，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设总运输费用为w元，利用总运输费用＝600×派出大型渣土运输车的数量+400×派出小型渣土运输车的数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨，根据题意得：，解得：．答：一辆大型渣土运输车一次运输土方10吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方5吨；（2）设需要安排m辆大型渣土运输车，则安排（20﹣m）辆小型渣土运输车，根据题意得：10m+5（20﹣m）≥156，解得：m≥．设总运输费用为w元，则w＝600m+400（20﹣m）＝200m+8000，∵200＞0，∴w随m的增大而增大，又∵m≥，且m为正整数，∴当m＝12时，w取得最小值，此时20﹣m＝20﹣12＝8，∴最省钱的运输方案为：派车12辆大型渣土运输车，8辆小型渣土运输车．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．24．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥CD，点E是BC的中点，过点E作EF∥AC，交AB于点F．（1）求证：四边形AOEF是矩形；（2）若CD＝16，矩形AOEF的面积为120，请直接写出cos∠ABC的值．【分析】（1）根据平行线的性质得到AC⊥CD，求得∠FAO＝90°，根据三角形中位线定理得到OE∥AF，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BO＝DO，根据三角形中位线定理得到OE＝CD＝8，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∵AC⊥CD，∴AB⊥AC，∴∠FAO＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∵AO＝CO，∴OE∥AF，∵EF∥AC，∴四边形AOEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴OE＝CD＝8，∵矩形AOEF的面积为120，∴AO＝＝15，∴AC＝2AO＝30，∵∠BAC＝90°，AB＝CD＝16，∴BC＝＝34，∴cos∠ABC＝＝＝，故cos∠ABC的值为．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；（3）在（2）的条件下，求的值．【分析】（1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论；（2）设BE＝x，则AB＝3x，根据平行线的性质得∠COE＝∠DAB，由三角函数定义可得结论；（3）证明△AHF∽△ACE，列比例式可解答．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，设BE＝x，则AB＝3x，∴OC＝OB＝1.5x，∵AD∥OC，∴∠COE＝∠DAB，∴cos∠DAB＝cos∠COE＝＝＝；（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，∴EC＝＝＝2x，∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°，∴∠AFG+∠FAG＝90°，∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，∴∠E＝∠AFH，∵∠FAH＝∠CAE，∴△AHF∽△ACE，∴＝＝＝．【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：平行线的判定和性质，三角形相似的性质和判定，切线的判定，三角函数定义以及等腰三角形的判定与性质等知识．掌