高三二轮复习专题14计数原理

2024届高三二轮复习第14讲：计数原理解析版2023年考情考题示例考点关联考点2023年新I卷，第13题排列组合无2023年新Ⅱ卷，第3题,组合无2023年天津卷，第11题二项式定理求项系数无2023年北京卷，第5题二项式定理求项系数无2023年北京卷，第8题充分、必要条件判断无2023年乙卷理科，第7题排列无题型一：排列、组合【典例例题】例1.（2023春·广东省东莞实验中学一模）某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为

A．15 B．30 C．35 D．42【答案】B【分析】本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C21C52种；不含有甲的选法有C53种，根据分类计数原理得到结果．【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有C21C52种，不含有甲的选法有C53种，共有C21C52+C53=30（种），故选B．【变式训练】1.（2023春·广东省一模）如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（）A.96种 B.64种 C.32种 D.16种【答案】B【解析】【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有种排法；第三步，排数字5和6，共有种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为.故选：B.2.（2023春·广东省广州市一模）“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（）A.100个 B.125个 C.225个 D.250个【答案】C【解析】【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0出现的次数分类求解作答.【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个，最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.故选：C3.（2023春·广东省汕头市一模）现将六个字母排成一排，要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有（）种．A.192 B.240 C.120 D.28【答案】A【解析】【分析】先求出相邻时排列种数，再求出相邻，且在中间时排列种数，两种情况相减即可.【详解】当相邻时，不同的排列方式有种，当相邻，且在中间时，不同的排列方式有种，则要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有种.

故选：A.4.（2023秋·广东省惠州市模拟）加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种A.90 B.125 C.180 D.243【答案】A【解析】【分析】根据已知对五位同学分3组，然后全排列即可求解.【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家，所以不同的安排方法共有种.故选：A．题型二：二项式定理【典例例题】例1.（2023春·广东省东莞实验中学一模）二项式的二项式系数之和为64，则展开式中的的系数是_________．（填数字）【答案】【分析】先根据展开式的二项式系数之和为64求出的值，再利用二项式展开式的通项公式求解即可.【详解】因为二项式的二项式系数之和为64，所以，，所以展开式的通项为，令，则，所以展开式中的的系数是.故答案为：.【变式训练】1.（2023春·广东省佛山市一模）（多选）若，其中为实数，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据给定的条件，把写成，再利用二项式定理结合赋值法，逐项计算判断作答.【详解】依题意，令，对于A，，A错误；对于B，是按展开的第4项系数，因此，B正确；对于C，，，所以，C正确；对于D，，D错误.故选：BC2.（2023春·广东省惠州市一模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，，然后利用展开式的通项公式得到有理项项数，再利用古典概型的概率求解.【详解】解：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式的总项数为7项，故，展开式的通项，当是偶数时该项为有理项，有4项，所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为．故选：A．3.（2023春·广东省梅州市一模）展开式中的系数为___________.【答案】40【解析】【分析】易知展开式中项的系数是由两部分组成，分别求出再相加即可得出结果.【详解】根据题意可知，展开式中含的项为和两部分；所以展开式中的系数为.故答案为：404.（2023春·广东省汕头市一模）在的展开式中，的系数为______．【答案】【解析】【分析】原多项式中写出含的项，然后再从中写出含的项，即可得含的系数.【详解】由含的项中对应的指数分别为，所以，对于中含的项为，所以含的系数是.故答案为：.5.（2023春·广东省深圳市一模）的展开式中的系数为______（用数字做答）．【答案】－10【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】解：的展开式的通项公式为，令，则的展开式中的系数为，故答案为：106.（2023春·广东省二模）已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二项式系数的性质可得出，结合此性质可求得的值.【详解】的展开式通项为，所以，，所以，，所以，，且，所以，.故选：A.1.（新课标全国Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；综上所述：不同的选课方案共有种.故答案为：64.2.（新课标全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．种 B．种C．种 D．种【答案】D【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.3.（全国乙卷数学(理)）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【答案】C【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种，故选：C.4.（全国甲卷数学（理））有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（

）A．120 B．60 C．40 D．30【答案】B【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.故选：B.5.（新高考天津卷）在的展开式中，项的系数为_________．【答案】【详解】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.故答案为：60.1.（2023春·广东省汕头市二模）电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（）A. B.27 C. D.6【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理易得答案.【详解】分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成种颜色.故选：A.2.（2023秋·广东省佛山市模拟）世界三大数学猜想：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.280多年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的结果是“1＋2”陈氏定理，由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不超过20的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的选法种数为（）A.28 B.25 C.21 D.12【答案】C【解析】【分析】利用组合数的定义求解即可.【详解】不超过20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19一共8个数，随机选取两个不同的数，当选取的数没有2时，其和为偶数.故选法有种.故选：C3.（2023春·广东省佛山市二模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A.120种 B.180种 C.240种 D.300种【答案】C【解析】【分析】按照分组分配的方法，列式求解.【详解】将5位同学分为2，1，1，1的分组，再分配到4所学校，共有种方法.故选：C4.（2023秋·广东省汕头市模拟）若展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则（）A.4095 B.4097 C.4095 D.4097【答案】C【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通求得一次项的系数，再由二项展开式的二项式系数和的性质，求得二项式系数的和，以及，求得所有项的系数和，即可求解.【详解】由展开式的通项公式为，所以一次项系数，二项式系数和，令，则所有项的系数和，所以.故选：C.5.（2023秋·广东省河源市模拟）2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行．秉持杭州亚运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．在杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成．若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为（）A.18 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】【分析】分第一棒为丙、第一棒为甲或乙两种情况讨论，分别计算可得.【详解】当第一棒为丙时，排列方案有种；当第一棒为甲或乙时，排列方案有种；故不同的传递方案有种.故选：B6.（2023秋·广东省中山市模拟）若，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用二项式定理，求指定项的系数，各项系数和，奇次项系数和与偶数项系数和.【详解】由，对于A中，令，可得，所以A错误；对于B中，，由二项展开式的通项得，所以B错误；对于C中，与的系数之和相等，令即，所以C正确；对于D中，令，则，令，则，解得，，可得，所以D错误.故选：C.7.（2023春·广东省高州市二模）的展开式中的奇数次幂项的系数之和为64，则含项的系数为（）A. B.28 C. D.35【答案】C【解析】【分析】设，然后代入，，可整理得奇数次幂项的系数之和，求得，即可求得答案【详解】设,则令,可得①，令,可得②，①②可整理得,解得,所以,所以含的项为,其系数为,故选：.8.（2024春·广东省大湾区联考）在的展开式中，所有有理项的系数之和为（）A.84 B.85 C.127 D.128【答案】D【解析】【分析】由题意得，结合展开式的通项公式即可求解.【详解】由题意知，展开式的通项公式为，当时，为有理项，所以所有有理项的系数之和为.故选：D.9.（2023秋·广东省佛山市南海区模拟）（多选）若二项式的展开式中各项的二项式系数之和为256，则（）A. B.C.第5项为 D.第5项为【答案】AC【解析】【分析】先利用二项式系数之和是，求出，再利用二项式的展开式的通项公式，求解即可.【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为256，所以，所以，排除选项B；因为二项式的展开式的通项公式为，所以，排除选项D；故选：AC.10.（2023秋·广东省潮阳市模拟）（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（）A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为D.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是【答案】ABC【解析】【分析】①不同方法数为，即选项A错误；②不同的方法数为，即选项B错误；③不同方法数为，即选项C错误，④不同安排方案的种数是，即选项D正确，【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项A错误；②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误；③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为，即选项C错误，④每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，即选项D正确，综合①②③④得：选项正确，故选：ABC11.（2023秋·广东省中山市模拟）（多选）对于二项式（为常数且），以下正确的是（）A.展开式有常数项B.展开式第六项的二项式系数最大C.若，则展开式的二项式系数和为D.在上恒成立，则【答案】AB【解析】【分析】结合二项展开式的通项，可判定A正确；结合二项式系数的性质，可判定B正确；根据二项式系数和的性质，可得判定C不正确；根据题意，得到，转化为或在上恒成立，可判定D不正确.【详解】对于A中，由二项式的展开式的通项为，令，可得，此时展开式的第6项为常数项，所以A正确；对于B中，由二项式的展开式，结合二项式系数的性质，可得展开式的第6项的二项式系数最大，所以B正确；对于C中，当时，展开式的二项式系数和是，所以C错误；对于D中，由在上恒成立，可得或在上恒成立，即或在上恒成立，又由在上单调递减，所以，函数在上单调递减，所以，所以或，所以D错误.故选：AB.12.（2023秋·广东省东莞市模拟）从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】【解析】【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.【详解】［方法一］：反面考虑没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．故答案为：.［方法二］：正面考虑若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．故答案为：.13.（2023秋·广东省广州市模拟）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.【答案】【解析】【分析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，分析6个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可.【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有种涂色方案故答案为：14.（2023春·广东省广州市二模）已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________.【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于0,求出与的关系,可得的值.【详解】二项式的展开式的通项为，因为二项式的展开式中存在常数项，所以有解，即，可得n的一个值为3.故答案为：3（答案不唯一）15.（2023春·广东省潮州市二模）的展开式中的系数为______（用数字表示）.【答案】210【解析】【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】的通项为,令，所以展开式中的系数为,故答案为：21016.（2023秋·广东省深圳市模拟）二项式的展开式的中间项为________【答案】252【解析】【分析】利用二项式的展开式，求出中间项即可求解.【详解】设展开式为，总共项，中间项为第项，此时，所以.故答案为：.17.（2023春·广东省揭阳市二模）若展开式二项式系数和为64，则展开式中系数为_.【答案】【解析】【分析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数.【详解】依题意的展开式的二项式系数和为，所以，即.二项式展开式的通项公式为.令，所以展开式中含的系数为.故答案为：18.（2024春·广东省韶关市模拟）现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有______种不同的排法（用具体数字作答）.【答案】24【解析】【分析】法一：先将捆绑，再排除以外其他人，最后插空即可；法二：先将捆绑，进行全排列，再减去在两边的情况.【详解】法一：将捆绑，则除以外其他四人的排序有种，又不排在两边，所以可选的位置有两种，所以共种排法；法二：将捆绑，若的位置任意，则五人的排序有种，其中排在两边的情况有种，所以不排在两边的情况有种；故答案为：.19.（2024春·广东省汕头市模拟）高中数学教材含必修类课本2册，选择性必修类课本3册，现从中选择3册，要求两类课本中各至少选一册，则不同的选法共有__________种.（用数字作答）【答案】9【解析】【分析】根据选取的必修类课本数量分类即可.【详解】第一类，只选取一册必修类课本的选法有种；第二类，两册必修类课本都选的选法有种.综上，满足条件的选法共有种.故答案为：920.（2023春·广东省汕头市潮阳区二模）的展开式中，的系数为__________．【答案】【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为，所以的系数为，故答案为：21.（2023春·广东省深圳市二模）展开式中的系数为___________.【答案】【解析】【分析】变换，根据二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，，取和，计算得到系数为：.故答案为：.22.（2023秋·广东省中山市模拟）第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有__________.（用数字作答）【答案】336【解析】【分析】考虑到前排是有两种不同名称的吉祥物，还是有三种不同名称的吉祥物，分类求出排法数，根据分类加法计数原理即可得答案.【详解】由题意可分两种情形：①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种取两个，另一种选一个，有种排法；其次，后排有种排法，故共有种不同的排法；②前排含有三种不同名称的吉祥物，有种排法；后排有种排法，此时共有种排法；因此，共有种排法，故答案为：33623.（2023春·广东省汕头市二模）已知，则______.【答案】2【解析】【分析】利用赋值法计算即可.【详解】由，令，则，令，则，∴.故