广西桂林市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题

广西桂林市20202021学年高二下学期期末数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.函数f(x)=ex，则f'(0)=A.

0

B.

1

C.

e

D.

1e2.设复数z=2-i，则z的实部为（

A.

1

B.

2

C.

2

D.

i3.用反证法证明“2是无理数”时，正确的假设是（

）A.

2不是无理数

B.

2是整数

C.

2不是有理数

D.

2是无理数4.5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（

）A.

24种

B.

36种

C.

48种

D.

72种5.1+3x+3x2+x3A.

(x+1)3

B.

(x-1)36.在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2:4:3，则第2组的频率是（

）A.

0.4

B.

0.3

C.

0.2

D.

0.17.向量a=(2,4,5)，向量b=(1,2,t)，若a⊥b，则实数t=A.

52

B.

1

C.

2

D.

8.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件A为“取到的2个数之和为偶数”，记事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)=（

）A.

18

B.

14

C.

29.若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（

）X123P0.2a3aA.

0.1

B.

0.2

C.

0.3

D.

0.410.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BA.

23

B.

33

C.

23

D.

611.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)=0.682，则P(X>4)=A.

0.0799

B.

0.1587

C.

0.3

D.

0.341312.若函数f(x)=ex-2ax2+1有两个不同的极值点，则实数A.

a>e4

B.

0<a<e4

C.

a<-e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为________．14.已知i为虚数单位，则(2-3i)(i+1)=________15.1e16.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是斜边上一点，以AD为棱折成二面角C-AD-B，其大小为60°，则折后线段三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17.在(x2+（1）含x3的项；（2）展开式中的常数项．18.已知函数f(x)=x3+a（1）当a=0时，求f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程；（2）设x=-1是f(x)的极值点，求f(x)19.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱（1）证明：BE⊥平面EB1（2）若AE=A1E，AD=1，求二面角B20.已知数列{an}的前n项和S（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜想（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．21.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13，12．两人共投篮3（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用X表示甲的总得分，求X的分布列和数学期望．22.已知函数f(x)=lnx-（1）若f(x)在(0,+∞)单调递增，求实数a（2）若h(x)=xf(x)，且h(x)仅有一个极值点x0，求实数a的取值范围，并证明：h答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.函数f(x)=ex，则f'(0)=A.

0

B.

1

C.

e

D.

1e【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】解：由题意得f'(x)=ex，则f'(0)=e0=1.

故答案为：B

【分析】根据导数的运算求解即可.2.设复数z=2-i，则z的实部为（

A.

1

B.

2

C.

2

D.

i【答案】B【考点】复数的基本概念【解析】【解答】解：根据复数的概念得z的实部为2.

故答案为：B

【分析】根据复数的概念直接求解即可.3.用反证法证明“2是无理数”时，正确的假设是（

）A.

2不是无理数

B.

2是整数

C.

2不是有理数

D.

2是无理数【答案】A【考点】反证法【解析】【解答】解：根据反证法，正确的假设是：2不是无理数.

故答案为：A

【分析】根据反证法直接求解即可.4.5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为（

）A.

24种

B.

36种

C.

48种

D.

72种【答案】C【考点】排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：根据捆绑法,先把甲乙开成一个元素，再与另外3人排列，则共有A44A22=48种.

5.1+3x+3x2+x3A.

(x+1)3

B.

(x-1)3

C.

【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：根据二项式定理得1+3x+3x2+x3=x3+3x2+3x+1=C30·x3·106.在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2:4:3，则第2组的频率是（

）A.

0.4

B.

0.3

C.

0.2

D.

0.1【答案】A【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：由题意易知各小长方形的面积的比从左往右依次为2:4:3

则可设s1:s2:s3s4=2s:4s:3s:s

则2s+4s+3s+s=1

解得s=0.1

则第2组的频率是4s=0.4

故答案为：A

【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.7.向量a=(2,4,5)，向量b=(1,2,t)，若a⊥b，则实数t=A.

52

B.

1

C.

2

D.

【答案】C【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】【解答】解：∵a⊥b

∴2×1+4×2+5t=0

解得t=2

故答案为：C

8.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件A为“取到的2个数之和为偶数”，记事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)=（

）A.

18

B.

14

C.

2【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式，条件概率与独立事件【解析】【解答】解：PA=C32+C22C52=25，PB=9.若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为（

）X123P0.2a3aA.

0.1

B.

0.2

C.

0.3

D.

0.4【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】解：由题意得0.2+a+3a=1，解得a=0.2

故答案为：B

【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可.10.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BA.

23

B.

33

C.

23

D.

6【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】解：因为BB1//DD1，所以BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，

在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在平面ACD1的射影为等边三角形ACD1的垂心(即中心0)，连结DO，D1O，则∠DD1O为DD1与平面ACD1所成的角，

设正方体的棱长为a,则cos∠DD1O=63a11.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)=0.682，则P(X>4)=A.

0.0799

B.

0.1587

C.

0.3

D.

0.3413【答案】B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：∵X服从正态分布

N(3,1)

，且

P(2≤X≤4)=0.682

∴PX>4=1-12.若函数f(x)=ex-2ax2+1有两个不同的极值点，则实数A.

a>e4

B.

0<a<e4

C.

a<-e【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【解答】解：由题意可得，f'(x)=ex4ax=0有2个不同的实数根，

即a=ex4x有2个不同的实数根,

令gx=ex4x，则g'(x)=exx-14x2

令g'(x)>0,可得x>1；令g'(x)<0,可得x<1,

所以g(x)在(∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增,二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校有学生4500人，其中高三学生1500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本．则样本中高三学生的人数为________．【答案】100【考点】分层抽样方法【解析】【解答】解：根据分层抽样，易得样本中高三学生的人数为3004500×1500=100

故答案为：100

14.已知i为虚数单位，则(2-3i)(i+1)=________【答案】5【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：(23i)(i+1)=2i+23i23i=5i

故答案为：5i

【分析】根据复数的运算直接求解即可.15.1e【答案】1【考点】定积分【解析】【解答】易知(lnx)'=1【分析】由于(lnx)'16.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是斜边上一点，以AD为棱折成二面角C-AD-B，其大小为60°，则折后线段【答案】2【考点】向量的线性运算性质及几何意义，与二面角有关的立体几何综合题，二面角的平面角及求法，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解：如图，过C，B作AD的垂线，垂足分别为E,F，故BF⊥EF,EC⊥EF，

所以BF→·FE→=0,FE→·EC→=0

以AD为棱折叠后，则有BC→=BF→+FE→+EC→

故BC→2=BF→+FE→+EC→2=BF→2+FE→2+EC→2+2BF→·EC→+2BF→·FE→+2FE→·EC→

=BF→2+FE→2+EC→2+2BF→·EC→三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17.在(x2+（1）含x3的项；（2）展开式中的常数项．【答案】（1）由题意知Tr+1=C6r(x2)6-r(1x)r=C令12-3r=3，得r=3所以含x3的项为T4

（2）由（1）知12-3r=0，得r=4所以常数项为T5=【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】【分析】（1）（2）根据二项展开式通项公式求解即可；18.已知函数f(x)=x3+a（1）当a=0时，求f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程；（2）设x=-1是f(x)的极值点，求f(x)【答案】（1）即f(x)=x3-9x+1，则k=f'(2)=3，故所求切线方程为y=3(x-2)，即y=3x

（2）f'(x)=3x2+2ax-9解得a=-3则f(x)=x3-3x2当-1<x<3时f'(x)<0，当x>3所以当x=3时f(x)取极小值f(3)=-17【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据函数极值的性质，结合利用导数研究函数的极值直接求解即可.19.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱（1）证明：BE⊥平面EB1（2）若AE=A1E，AD=1，求二面角B【答案】（1）由已知得，B1C1⊥平面BE⊂平面ABB1A又BE⊥EC1，所以BE

（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE故AE=AB，A以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyzC(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)CB=(1,0,0)，CE=(1,-1,1)设平面EBC的法向量为n=(x则{CB⋅n=0CE⋅n=0设平面ECC1的法向量为m则{CC1⋅m=0CE⋅于是cos所以，二面角B-EC-C1【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】（1）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可；（2）利用向量法直接求解即可.20.已知数列{an}的前n项和S（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜想（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．【答案】（1）当n=1时，a1=s1=2-a当n=2时，a1+a2=s当n=3时，a1+a2+a当n=4时，a1+a2+a由此猜想an=

（2）证明：①当n=1时，a1=1②假设n=k（k≥1且k∈N*那么n=k+1时，ak+1=∴ak+1=∴当n=k+1时，猜想成立．由①②知猜想an=【考点】数列递推式，数学归纳法【解析】【分析】（1）根据an与sn的关系直接求解，（2）根据数学归纳法直接证明即可.21.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13，12．两人共投篮3（1）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投篮命中一次得1分，否则得0分，用X表示甲的总得分，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）记“3次投篮的人依次是甲，甲，乙”为事件A，依题意，得