【2023小升初】重叠问题（思维提高）-小升初数学思维拓展卷（通用版）

重叠问题

-.填空题（共30小题）

1.70周年国庆阅兵时，有三个飞机方阵里的飞机非常有趣，这三个方阵中只包含战斗机、

直升机和运输机。如果里面有15架不是战斗机，有16架不是直升机，有17架不是运输

机，那么，这三个飞机方阵中一共有架飞机。

2.筐内装有许多水果，已知21个不是苹果，24个不是橘子，而苹果和橘子共有27个，那

么这筐水果共有个。

3.由一条公路对A,B,C,D四个居民点依次开通四条道路（如图）。己知沿道路一公路

一道路由4到B的路程等于9千米，由A到C的路程等于13千米，由B到C的路程等

于8千米，而由8到。的路程等于14千米。则由4到D的路程等于千米。

4.如图的三张正方形的纸，铺在桌面上一共遮盖的面积是平方厘米.（单位：厘米）

5.如图，长方形ABC。的面积是EFG//面积的3倍.若除去重叠部分，4BCZ）余下的面积

比EFG”余下的面积多14平方厘米，则长方形A8C。的面积是平方厘米.

6.有三箱苹果，每次称两箱，三次称得的质量分别是80千克、84千克、90千克，则最轻

的一箱苹果重___千克.

7.如图，两个相同的直角梯形一部分重叠在一起，若梯形下底的长度为20厘米，重叠后下

底剩余部分的长度为5厘米，垂直腰剩余部分的长度为8厘米，则阴影部分的面积为

平方厘米。

8.某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，

如果在这三天至少迟到过1次的学生共有22名，则这三天都迟到的学生最多有名

9.有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合，

如图所示，已知露在外的部分中，红色面积是20,黄色面积是14,绿色面积是10,那么

正方形盒子的面积是.

10.将4个边长为2的正方形如图放置在桌面上,则它们在桌面上所能覆盖的面积是

11.如图，正方形的面积是400平方厘米，从正方形中心向左、右各画出一个菱形.如果图

中黑点是正方形边长的四等分点，那么，两个菱形的面积之和是平方厘米.

12.如图，将正方形纸片ABCQ折叠，使点A、B重合于点O,则NEFO=度.

13.如图，把三个面积同是S平方厘米的圆放置在桌面上，桌面被圆覆盖的面积是2S+10

平方厘米，图中两圆重叠的两块（有阴影部分）的面积相等，有一直线L过A、B两圆

的圆心.直线L下方被覆盖的面积是25平方厘米，那么，S=平方厘米.

14.学校展览学生作品，其中有31件不是六年级的，有27件不是五年级的，若五、六年级

的总数是36件，五年级有件展品.

15.育红小学一至五年级共有学生518人.一年级和二年级共有学生230人，二年级和三年

级共有学生206人，三年级和四年级共学生196人，四年级和五年级共有学生192人.四

年级有学生______人.

16.某班学生手中分别拿红、黄两种颜色的小旗（每个学生手上都拿着小旗），已知手中有

红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有红、黄两种小旗的有9人，那么这

个班共有人.

17.两幅图表示两个箭头画在不同的4厘米X4厘米方格内的情况.现在将这两个箭头画在

同一副4厘米X4厘米的方格内，则这两个箭头的重叠部分的面积为平方厘米.

18.如图正方形ABC。的边长是12厘米，长方形EFG”的长为10厘米，宽为6厘米，阴

影部分甲与阴影部分乙的面积差是平方厘米.

19.用10张同样长度的纸条粘接成一条长41厘米的纸带，如果每个接头处都重叠1厘米,

那么原来的每张纸条都长____厘米.

20.如图，在一个长、宽分别为19厘米和11厘米的大长方形内放了四个正方形，那么没有

被正方形覆盖的小长方形（图中阴影部分）的面积是平方厘米.

21.一个数列每项都是两位数（可以相同），且总和为520,其前15项的平均数为20.最后

20项的平均数为15,那么这个数列至少有项。

22.有一根绳子，第一次把它按左图方式对折，在对折处标记①，第二次我们将它按中图方

式对折，在对折处在对折处分别标记②、③；第三次我们将它按下右图方式对折，如果

右图中②号点和③号点之间的距离为20厘米，那么这根绳子的总长度是厘米（绳

子之间无缝隙，绳粗以及转弯处损耗都忽略不计）

•∙

23.有一根绳子第一次把它按下左图方式对折，在对折处标记①；第二次我们将它按下中图

方式对折，在对折处分别标记②、③；第三次我们将它按下右图方式对折，如果下右图

中①号点和③号点之间的距离为30厘米，那么这根绳子的总长度是____厘米.（绳子

之间无缝隙，绳粗以及转弯处损耗都忽略不计）.

24.如图，已知正方形ABC。面积为2520；E、F、G、”为边上的靠近正方形顶点的四等

分点，连AG、EC、HB、DF.那么图中"X”部分的面积是.

25.一个长方形的相框长为40厘米，宽为32厘米，放入一张长为32厘米宽为28厘米的相

片，则相框中没有被照片覆盖的部分的面积是平方厘米.

26.如图，正方形ABC。的面积为196平方厘米，它包含了两个有部分重叠的小正方形.其

中，较大的那个小正方形面积是较小的那个小正方形面积的4倍，而且两个正方形的重

叠部分面积为1平方厘米.那么，阴影部分面积为平方厘米.

27.将1~7分别填入如图的空白处（部分数已填出），使每个圆上填的四个数之和为13.图

中a处填的数是.

28.一个正三角形、一个正方形和一个正五边形叠放在一起，如图所示，Na=O（填

入度数）

79e

29.龙博士桌上有一大叠贺卡，其中有162张不是欧欧送的，143张不是奥斑马送的，欧欧

和奥斑马共送贺卡87张，那么奥斑马送的贺卡有张.

30.有六根木条，各长50厘米.现要将它们依次首尾相接钉在一起，每两根木条中间钉在

一起的部分长10厘米.钉好后木条总长___厘米.

解答题（共30小题）

31.如图所示，将面积相同的正方形与五边形叠在一起，其中五边形的顶点刚好在正方形的

中心点，已知正方形的边长是16厘米，求阴影部分的梯形面积是多少平方厘米？

32.底边长为6厘米，高为9厘米的等腰三角形20个，迭放如图：

每两个等腰三角形有等距离的间隔，底边迭合在一起的长度是44厘米.回答下列问题:

（1）两个三角形的间隔距离；

（2）三个三角形重迭（两次）部分的面积之和；

（3）只有两个三角形重迭（一次）部分的面积之和：

（4）迭到一起的总面积.

33.两个边长为8厘米的正方形如图重叠，若图中阴影部分的面积为20平方厘米，那么所

拼成的大长方形周长是多少厘米？

34.两个相同的正方形重合在一起，将上层的正方形向右移动3厘米，再向下移动5厘米,

得到如图所示的图形，已知阴影部分的面积是57平方厘米，求正方形的边长.

35.一张长方形纸片，长是10厘米，宽是7厘米.把它的右上角往下折叠，如图1所示,

再把左下角往上折叠，如图2所示，求未盖住部分（阴影部分）的面积.

36.如图，五个圆相交后被分成了九个区域，现在两个区域里已分别填上数字15、16,请

在另外七个区域里分别填进2,3,4,5,7,8,9这七个数字，使每个圆内的数字和是

20.

37.小丽把两根长1米的纸条粘在一起，成为一根长170厘米的纸条，中间粘贴起来的纸条

长度是厘米.

38.如图1,从边长是6厘米的正方形纸片的正中间挖去一个正方形，得到一个宽为1厘米

的方框，将四个这样的方框如图6所示依次垂直交叉放在桌面上，求桌面被这些方框盖

住的面积（图2中阴影部分的面积）.

图1国2

39.两个相同的长方形纸片，每块面积为48平方厘米.如图所示叠放在一起盖住的面积为

72平方厘米.已知重叠部分的四边形的一条对角线BO为6厘米，则每张长方形

纸片的长是多少厘米？

h

/∕6

40.桌子上放有甲、乙、丙三个正方形，甲、丙有部分重叠，乙、丙有部分重叠.甲、丙重

叠部分占甲正方形面积的14；乙、丙重叠部分占乙正方形面积的25.丙正方形与甲、

乙正方形重叠部分占丙正方形面积的19.甲正方形和乙正方形面积的和是丙正方形面积

的13求：甲正方形面积与乙正方形面积的比.（要求化为最简整数比）

41.如图，小正方形的35被阴影部分覆盖，大正方形的56被阴影覆盖，那么，小正方

形的阴影部分与大正方形阴影部分面积之比是.

42.（如图）五环图由内径为4分米，外径为5分米的5个圆环组成，其中相交的小曲边四

边形的面积都相等，已知5个圆环盖住的总面积是122.5平方分米.每个小曲边四边形的

面积是____.

43.三条边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形，如图1,将它的短直角边对

折到斜边上去与斜边重合，如图2.那么图2中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是多

少平方米？

45.甲、乙、丙三人的年龄和是27岁，乙、丙、丁三人的年龄和是33岁，甲、丁年龄和是

乙、丙年龄和的2倍，四人的年龄和是多少岁？

46.将同样大小的长方形纸像如图那样重叠在一起，每个长方形的长是12厘米，每个重叠

部分是2厘米.那么，10张这样的纸连接起来的长度是多少厘米？

47.桌面上放有四张大小不同的正方形纸片边长分别为2,3,4,5,若分别取走边长为2,

3,4,5的正方形纸片中的一个，则剩下的三张纸片覆盖的面积分别减少2,3,4,5,

那么四张纸片覆盖的面积是多少？

48.城中小学四年级有四个班.已知四（1）班、四（2）班共81人，四（2）班、四（3）

班共83人，四（3）班、四（4）班共86人，四（1）班比四（4）班多2人，问四个班

各有多少人？（只写答案，不列式）

49.如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分,

C,D,E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=L2：

3：4：5.那么这个长方形的长与宽之比是多少？

50.将等边三角形纸片按图1所示步骤折叠3次（图1中的虚线是三边的中点的连线），然

后沿两边的重点的边减去一角（如图2）.

剪去，不要

图2

将剩下的纸片展开、平铺，得到的图形是

51.某次测验，A、B、C、。四位同学的成绩作如下统计：A、B、C的总分是282分，B、

C、。的总分是276分，4、。的总分是192分，求4得了多少分？

52.五个大球与三个小球共重42克，五个小球与三个大球共重38克，则大球与小球各重多

少克？

53.长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8,12和18段，在各划分线处

将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？

54.如图，两个正方形边长分别是5厘米和4厘米，图中阴影部分为重叠部分.则两个正方

形的空白部分的面积相差多少平方厘米？

55.阿明在喝茶的时候做了一个小实验.他把一根筷子笔直的插到杯底，他量了一下被水浸

湿部分的长度是10厘米.他把筷子掉个头，将另一端笔直的插到杯底，这时候他发现,

筷子干的部分比湿的部分短10厘米.那么这根筷子长多少厘米？

56.马拉松赛跑的路线上，等距离设置了若干个饮水站和等距离设置了16个医疗站，起点

和终点都设有饮水站和医疗站，且起点和终点不同.若每个站安排一个值班员，两站重

合的也只安排一个值班员，那么一共要安排了46个值班员，且在途中确有医疗站与饮水

站重合，也有医疗站不与饮水站重合.那么最多有多少个饮水站？

57.两块大小不同的等腰直角三角板，直角边分别是10厘米和6厘米，如图那样重合，求

重合部分（阴影部分）的面积.

58.如图，两个正方形边长分别是5厘米和4厘米，图中阴影部分为重叠部分.则两个正方

形的空白部分的面积相差多少平方厘米？

59.文苑小区有一栋居民楼，每户人家都订了2份不同的报纸，一共订了3种报纸.其中《X

X都市报》订了34份，《XX晚报》订了30份，《XX周报》订了22份.问：有多少户

人家同时订了《XX都市报》和《XX周报》？

60.已知长方形的长为8,宽为4,将长方形沿一条对角线折起压平，如图所示.求重叠部

分（灰色三角形）的面积.

重叠问题

参考答案与试题解析

一.填空题（共30小题）

1.70周年国庆阅兵时，有三个飞机方阵里的飞机非常有趣，这三个方阵中只包含战斗机、

直升机和运输机。如果里面有15架不是战斗机，有16架不是直升机，有17架不是运输

机，那么，这三个飞机方阵中一共有24架飞机。

【考点】重叠问题.

【分析】根据题意，在计数过程中每种飞机都被算了2遍，所以把己知的三个数据相加

求出和，再除以2即可。

【解答】解:（15+16+17）÷2

=48+2

=24（架）

答：这三个飞机方阵中一共有24架飞机。

故答案为：24。

【点评】本题考查了三量重叠问题，关键是明确在计数过程中每种飞机都被算了2遍。

2.筐内装有许多水果，已知21个不是苹果，24个不是橘子，而苹果和橘子共有27个，那

么这筐水果共有36个。

【考点】重叠问题.

【分析】把水果分成三部分：苹果、橘子、苹果和橘子外其它水果的数量，先用21加上

24求出苹果、橘子、其它水果数量的2倍，然后减去27求出其它水果数量的2倍，再求

出其它水果的数量，然后进一步解答即可。

【解答】解：（21+24-27）÷2

=18÷2

=9（个）

27+9=36（个）

答：这筐水果共有36个。

故答案为：36。

【点评】本题考查了重叠问题，关键是求出除了苹果和橘子外其它水果的数量。

3.由一条公路对A,B,C,D四个居民点依次开通四条道路（如图）。已知沿道路一公路

一道路由4到B的路程等于9千米，由A到C的路程等于13千米，由B到C的路程等

于8千米，而由8到。的路程等于14千米。则由4到。的路程等于19千米。

【考点】重叠问题.

【分析】从A到B再到C和从A到C,多走了两段儿从而可以求出6的路程，从A到

B再到D减去两段b的长度就是从A到D的路程，据此解答。

【解答】解：9+14-（9+8-13）

=23-4

=19（千米）

答：从A到。的路程等于19千米。

故答案为：19。

【点评】本题主要考查了重叠问题，找出A到。和A到C与分段路程之间的数量关系是

本题解题的关键。

4.如图的三张正方形的纸，铺在桌面上一共遮盖的面积是14.25平方厘米.（单位：厘

【考点】重叠问题.

【分析】要求一共遮盖的面积，把正个图行补全为一个长1.5+2+1=4.5厘米、宽为3+1

=4厘米的大长方形的面积，减去左上角、右上角、右下角的长方形的面积，长和宽的数

据已经算出标在图上，然后求出面积差即可.

【解答】解：1.5+2+1=4.5（厘米）

3+1=4（厘米）

4×4.5-1.5×1-1.5×1-0.5×1.5

=18-3-0.75

=14.25（平方厘米）

故答案为：14.25.

【点评】此题属于重叠问题，重点搞清重叠的是哪一部分，是解决本题的关键.

5.如图，长方形ABCD的面积是EFGH面积的3倍.若除去重叠部分，ABCQ余下的面积

比EFGH余下的面积多14平方厘米，则长方形ABC。的面积是21平方厘米.

【分析】由于阴影部分是长方形ABCD与长方形EFGH的重叠部分，所以原来长方形

ABCD的面积与EFGH面积的差也是14平方厘米，相当于原来长方形EFGH面积的3-

1=2倍，然后根据差倍公式即可求出长方形EFGH的面积，再乘3即可.

【解答】解：14÷（3-1）X3=21（平方厘米）

故答案为：21.

【点评】本题考查了重叠问题与差不变原理的灵活应用，这种类型的问题常常与差倍问

题结合一起，关键是确定把数量差作为解答的突破口.

6.有三箱苹果，每次称两箱，三次称得的质量分别是80千克、84千克、90千克，则最轻

的一箱苹果重37千克.

【考点】重叠问题.

【分析】根据题意每箱的质量都被加了2次，如果这三次重量的和加起来除以2得出这

三个箱子的和，去掉每两箱合称一次最重的重量，得出最轻箱子的重量.据此解答即可.

【解答】解：（80+84+90）÷2=127（千克）

127-90=37（千克）

故答案为：37.

【点评】解决此题的关键是理解这三次重量的和加起来除以2得出这三个箱子的质量和.

7.如图，两个相同的直角梯形一部分重叠在一起，若梯形下底的长度为20厘米，重叠后下

底剩余部分的长度为5厘米，垂直腰剩余部分的长度为8厘米，则阴影部分的面积为

140平方厘米。

20

【考点】重叠问题.

【分析】中间的小空白梯形是重叠部分，所以阴影部分的面积就等于下底是20厘米、高

是8厘米的梯形的面积；因为是两个相同的直角梯形重叠在一起，可求出上底是：（20-

5）厘米，据此解答即可。

【解答】解：（20-5+20）×8÷2

=35×8÷2

=140（平方厘米）

答：阴影部分的面积是140平方厘米。

故答案为：140。

【点评】本题考查组合图形的面积求法，把不规则图形运用加减法转化为规则图形的面

积。

8.某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，

如果在这三天至少迟到过1次的学生共有22名，则这三天都迟到的学生最多有」名.

【考点】重叠问题；最大与最小.

【分析】要使三天都迟到的学生最多，即除了三天都迟到的学生，其它迟到的学生都为

只迟到一天，才可以使三天都迟到的学生最多，即22人只包括迟到过1天的学生和3天

的学生；用15+12+9减去22就是这三天都迟到的人数的2倍，然后再除以2即可.

【解答】解：（15+12+9-22）÷（3-1）

=14÷2

=7（名）

故答案为：7.

【点评】本题考查了三两重叠问题和极值问题的综合应用，考查运算分析问题和解决问

题的能力.

9.有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合，

如图所示，已知露在外的部分中，红色面积是20,黄色面积是14,绿色面积是10,那么

正方形盒子的面积是51.2.

【考点】重叠问题.

【分析】先作辅助线，在黄色纸片中截出面积为α的部分，又因为红色部分是正方形，

所以可得等量关系式：黄色面积-”=绿色面积+4,由此列方程求出“的面积；再由红黄

绿的比例关系列出比例式解答即可.

【解答】解：作辅助线，在黄色纸片中截出面积为α的部分，如图所示.

所以14-a=10+”

解得：a=2

设空白部分面积为x,将上图转化为,

14-2=12

10+2=12

所以,xl2≈1220

解得：x=7.2

正方形盒子的面积为：

12+20+12+7.2=51.2

答：正方形盒子的面积是51.2.

故答案为：51.2.

【点评】本题考查了比较复杂的重叠问题，关键是求出中间黄与绿的重叠部分.

10.将4个边长为2的正方形如图放置在桌面上,则它们在桌面上所能覆盖的面积是J

【考点】重叠问题.

【分析】重叠部分是一个边长是1小正方形，用4个大正方形的面积和减去3个小正方

形的面积，就是被盖住桌面的面积.

【解答】解：2×2×4-1×1×3

=16-3

=13

答：它们在桌面上所能覆盖的面积是13.

故答案为：13.

【点评】本题的重点是求出每张纸覆盖的面积，再求覆盖的总面积.

11.如图，正方形的面积是400平方厘米，从正方形中心向左、右各画出一个菱形.如果图

中黑点是正方形边长的四等分点，那么，两个菱形的面积之和是30_平方厘米•

【考点】重叠问题.

【分析】根据题意知：它们边的比是1：2,这样可推出这两个三角形的面积

比是P：22；Δ2ʌ43与的面积相等（据等底等高和对称推出）；根据“图中黑点是

正方形边长的四等分点”可推出S42+5A3=400+2÷2=100平方厘米；至此便可求出

的面积，然后4个的面积+正方形的面积（用42代替△%其它的同理）=两个菱形

的面积之和.

【解答】解：作辅助线如下图

SΔ2=SΔ3=5Δ4=100÷2=50（平方厘米）

2

Δ1-∆2≠>5Δ2:SΔI=2:产=4：I≠>5Δ2=4SΔI=50（平方厘米）

4SΔI+S□=50+400=450（平方厘米）

故答案为：450.

【点评】解此题做好辅助线是关键，之后利用相似、等底等高等知识进行解答即可.

12.如图，将正方形纸片ABCQ折叠，使点A、B重合于点O,则/EFO=30度.

【考点】重叠问题.

【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，得出AOCQ是等边三角

形，折叠前后角相等以及三角形的内角和定理，求出NBFC的度数，再根据平角是180

度求得NEFo的度数.

【解答】解：沿OE折叠，所以A。=。。，同理可得8C=0C,

贝I」：OD=DC=OC,

△OCZ）是等边三角形，

所以/OCO=60°,

NoCB=90°-60°=30°；

由于是对折，所以C尸平分/OCB,

NBCF=30°÷2=15o

ZBFC=180°-90°-15°=75°

所以NfiFO=180°-75oX2=30°.

故答案为：30.

【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴

对称.

13.如图，把三个面积同是S平方厘米的圆放置在桌面上，桌面被圆覆盖的面积是2S+10

平方厘米，图中两圆重叠的两块（有阴影部分）的面积相等，有一直线L过A、B两圆

的圆心.直线心下方被覆盖的面积是25平方厘米，那么，S=14平方厘米.

【考点】重叠问题.

【分析】由题意，3S-2S阴影=2S+10,2S-1.5S阴影=25,解方程可得S.

【解答】解：由题意，3S-2S瞰=2S+10,2S-1.5S阳影=25,

解得S=14.

故答案为14.

【点评】本题考查重叠问题，考查方程思想，正确建立方程是关键.

14.学校展览学生作品，其中有31件不是六年级的，有27件不是五年级的，若五、六年级

的总数是36件，五年级有20件展品.

【考点】重叠问题；和差问题.

【分析】其中有31件不是六年级的，那么可得：是1~5年级的和，同理有27件不是五

年级的，1~4年级与6年级的和，那么5年级比6年级多31-27=4件，又因为“5、6

年级的总数是36件，”然后根据和差公式解的即可.

【解答】解：31-27=4（件）

（36+4）÷2=20（件）

故答案为：20.

【点评】本题考查了三量重叠问题，关键是明确否定一个，可以得到其它几个量的和.

15.育红小学一至五年级共有学生518人.一年级和二年级共有学生230人，二年级和三年

级共有学生206人,三年级和四年级共学生196人，四年级和五年级共有学生192人.四

年级有学生100人.

【考点】重叠问题.

【分析】根据“一年级和二年级共有学生230人，三年级和四年级共学生196人”可得：

一至四年级共有学生230+196=426人，那么五年级有学生518-426=92人，然后和192

作差即可求出四年级有学生多少人.

【解答】解：230+196=426（人）

518-426=92（人）

192-92=100（人）

故答案为：100.

【点评】本题关键是结合重叠部分的人数求出五年级的人数.

16.某班学生手中分别拿红、黄两种颜色的小旗（每个学生手上都拿着小旗），已知手中有

红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有红、黄两种小旗的有9人，那么这

个班共有51人.

【考点】重叠问题；容斥原理.

【分析】根据容斥原理“A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-

既是A类又是B类的元素个数”解答即可.

【解答】解：34+26-9=51（A）

故答案为：51.

【点评】本题考查了两量重叠的容斥原理问题.

17.两幅图表示两个箭头画在不同的4厘米X4厘米方格内的情况.现在将这两个箭头画在

同一副4厘米X4厘米的方格内，则这两个箭头的重叠部分的面积为6平方厘米.

【考点】重叠问题.

【分析】将两个图形重合，可得重叠部分，即可求出重叠部分的面积.

【解答】解：重叠部分如图所示，重叠部分的面积为6平方厘米.

故答案为6.

【点评】本题考查重叠问题，考查数形结合的数学思想，正确作出重叠部分是关键.

18.如图正方形ABCO的边长是12厘米，长方形EFGH的长为10厘米，宽为6厘米，阴

影部分甲与阴影部分乙的面积差是84平方厘米.

【考点】重叠问题；差不变原理.

【分析】因为空白部分是重叠部分，所以阴影部分甲和阴影部分乙的面积差就等于正方

形与长方形的面积差，然后根据正、长方形的面积公式解答即可.

【解答】解：12X12-10X6=84（平方厘米）

故答案为：84.

【点评】解答本题关键是理解“重叠部分是公共部分，所以面积差不变”

19.用10张同样长度的纸条粘接成一条长41厘米的纸带，如果每个接头处都重叠1厘米,

那么原来的每张纸条都长5厘米.

【考点】重叠问题.

【分析】由于最后一张的末尾没有粘接，所以10张纸条粘接在一起共有9处重叠，所以

用现在的总长度41厘米，加上9个1厘米求出没重叠前的总长度和，然后再除以10即

可解决问题.

【解答】解：（41+1X9）÷10

=5O÷IO

=5（厘米）

答：原来的每张纸条都长5厘米；

故答案为：5.

【点评】明确10张纸条粘接在一起共有9处重叠，是解答此题的关键.

20.如图，在一个长、宽分别为19厘米和11厘米的大长方形内放了四个正方形，那么没有

被正方形覆盖的小长方形（图中阴影部分）的面积是/平方厘米.

aɪ

【考点】重叠问题.

【分析】最大的正方形的边长是长方形的宽，也就是11厘米，次大的正方形的边长是19

-11=8厘米，再小一点的正方形的边长是11-8=3厘米，最后剩余小长方形的长是3

厘米，宽是8-3-3=2厘米，再根据长方形的面积公式求解即可.

【解答】解：最大正方形的边长是11厘米，

次大正方形的边长：19-11=8（厘米）

最小正方形的边长是：11-8=3（厘米）

阴影长方形的长是3厘米，

宽是8-3-3=2（厘米）

3X2=6（平方厘米）

答：没有被正方形覆盖的小长方形（图中阴影部分）的面积是6平方厘米.

故答案为：6.

J3∣3

27

811

【点评】首先根据最大的正方形的边长是长方形的宽确定出最大正方形的边长，再依次

找出其它正方形的边长，最后得出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积=长X宽求

解.

21.一个数列每项都是两位数（可以相同），且总和为520,其前15项的平均数为20.最后

20项的平均数为15,那么这个数列至少有27项。

【考点】重叠问题；最大与最小.

【分析】其前15项的平均数为20,和是20X15=300；最后20项的平均数为15,和是

15X20=300；那么重叠部分的和为300+300-520=80,最小的两位数是10,所以重叠

部分的项数最多有80÷10=8项，所以根据容斥原理可得至少有20+15-8=27项；据此

解答即可。

【解答】解：20×15+15×20-520

=300+300-520

=80

80÷10=8（项）

20+15-8=27（项）

答：这个数列至少有27项。

故答案为：27。

【点评】本题考查了极值问题、重叠问题、平均数问题以及容斥原理的综合应用，关键

是求出重叠部分的和。

22.有一根绳子，第一次把它按左图方式对折，在对折处标记①，第二次我们将它按中图方

式对折，在对折处在对折处分别标记②、③；第三次我们将它按下右图方式对折，如果

右图中②号点和③号点之间的距离为20厘米，那么这根绳子的总长度是120厘米（绳

子之间无缝隙，绳粗以及转弯处损耗都忽略不计）

【考点】重叠问题.

【分析】由第二幅图可知：①到②、①到③、②到端点，③到端点的距离全相等；由第

三幅图可知，②到端点的绳子被平均分成3份，设每一份为X,则③到绳子末端的距离=

20+x,那么3x=20+x,进而可求出X,从而求得绳子的全长.

【解答】解：由第二幅图可知：①到②、①到③、②到端点，③到端点的距离全相等；

由第三幅图可知，②到端点的绳子被平均分成3份

设每一份为X,则③到绳子末端的距离=20+x,

那么3x=20+x,X=Io（厘米），

则③到绳子末端的距离为30厘米，

绳子的全长是30X4=120（厘米）.

故答案为：120.

【点评】解决本题注意观察图，找清楚各部分长度之间的关系是解决本题的关键.

23.有一根绳子第一次把它按下左图方式对折，在对折处标记①；第二次我们将它按下中图

方式对折，在对折处分别标记②、③；第三次我们将它按下右图方式对折，如果下右图

中①号点和③号点之间的距离为30厘米，那么这根绳子的总长度是3距厘米.（绳子

之间无缝隙，绳粗以及转弯处损耗都忽略不计）.

；加咫

【考点】重叠问题.

【分析】由第二幅图可知：①到②、①到③、②到端点，③到端点的距离全相等；由第

三幅图可知，②到端点的绳子被平均分成3份，由于①到②，③到端点的距离相等，所

以每一份的距离是30厘米，则②到端点的绳长是30X3=90厘米，绳子的全长是90义4

=360厘米.

【解答】解：由第二幅图可知：①到②、①到③、②到端点，③到端点的距离全相等；

由第三幅图可知，②到端点的绳子被平均分成3份，

由于：①到②、③到端点的距离相等，所以每一份的距离是30厘米，

贝IJ②到端点的绳长是30X3=90（厘米），

绳子的全长是90X4=360（厘米）.

答：这根绳子的总长度是360厘米.

故答案为：360.

【点评】解决本题注意观察图，找清楚各部分长度之间的关系是解决本题的关键.

24.如图，已知正方形ABCQ面积为2520；E、F、G、H为边上的靠近正方形顶点的四等

分点，连AG、EC、HB、DF.那么图中“X”部分的面积是1155.

【考点】重叠问题.

【分析】将阴影部分看成两个平行四边形重叠在一起，重叠部分是一个菱形，菱形的两

条对角线长度分别是4E和13AD,所以重叠面积是正方形面积的124,两个平行四边

形的面积都是正方形面积的14,所以一共是正方形面积的1124,再根据分数乘法的

意义求出阴影部分的面积.

【解答】解：如图：

中间菱形的两条对角线长度分别是AE和13AD,

AE=14AD

13×14÷2=124

所以重叠面积是正方形面积的124,

两个平行四边形的面积都是正方形面积的14,

14+14-124=1124

2520×1124=1155

答：图中“X”部分的面积是1155.

故答案为：1155.

【点评】解决本题关键是得出重叠的菱形部分的面积与正方形面积的关系，从而得出阴

影部分是正方形面积的几分之儿，再根据分数乘法的意义求解.

25.一个长方形的相框长为40厘米，宽为32厘米，放入一张长为32厘米宽为28厘米的相

片，则相框中没有被照片覆盖的部分的面积是3有平方厘米.

【考点】重叠问题.

【分析】放入一张长为32厘米宽为28厘米的相片，则被照片覆盖的部分的面积是这张

相片的面积，分别求出相框和相片的面积，然后用相框的面积减去相片的面积即可.

【解答】解：40×32-32X28

=32X(40-28)

=32X12

=384(平方厘米)

答：相框中没有被照片覆盖的部分的面积是384平方厘米.

故答案为：384.

【点评】此题考查了长方形面积公式的灵活运用.

26.如图，正方形ABC。的面积为196平方厘米，它包含了两个有部分重叠的小正方形.其

中，较大的那个小正方形面积是较小的那个小正方形面积的4倍，而且两个正方形的重

叠部分面积为1平方厘米.那么，阴影部分面积为72平方厘米.

【分析】求出大正方形的边长是小正方形边长的2倍，并且大正方形和小正方形的边长

之和是14+1=15厘米，可得小正方形的边长为15÷3=5厘米，大正方形的边长为5义

2=10厘米.进而小长方形的面积为(5-1)×(10-1)=36(cv«2),即可求出两个

小长方形的面积.

【解答】解：正方形的面积为196平方厘米，所以边长为14厘米.

重叠面积为1平方厘米，所以边长为1厘米；较大正方形是较小正方形面积的4倍，因

此大正方形的边长是小正方形边长的2倍，并且大正方形和小正方形的边长之和是14+1

=15厘米

所以小正方形的边长为15÷3=5厘米，大正方形的边长为5X2=10厘米.

小长方形的面积为(5-1)×(10-1)=36(Cfn2),所以两个小长方形的面积为36

×2=72(cm2)

故答案为72.

【点评】本题考查面积的计算，考查重叠问题，考查学生分析解决问题的能力，求出大

正方形的边长是小正方形边长的2倍，并且大正方形和小正方形的边长之和是14+1=15

厘米是关键.

27.将1~7分别填入如图的空白处(部分数已填出)，使每个圆上填的四个数之和为13.图

中a处填的数是1.

【分析】幻和是13,两个圆重叠部分要计算两次，三个圆重叠部分要计算三次，由此可

得(1+2+3+4+5+6+7)+(2+3+4)+24=13X3,然后解方程即可.

【解答】解：(1+2+3+4+5+6+7)+(2+3+4)+20=13×3

28+9+2α=39

〃=1

【点评】本题考查了凑数谜问题，关键是确定重叠部分与已知数之间的关系.

28.一个正三角形、一个正方形和一个正五边形叠放在一起，如图所示，Na=13。(填

入度数)

【考点】重叠问题.

［分析］~------/

正方形一个角的度数是90度,所以/1=90°-79°=11°,正三角形一个内角是60°,

正五边形一个内角是（5-2）X180°÷5=108°,然后进一步解答即可求出Na的度数。

【解答】解：Zl=90°-79°=11°

（5-2）×180°÷5=108o

∕4=108°-24°-Ho-60°=13°

故答案为：13。

【点评】解答本题关键是明确正三角形、正方形和正五边形一个内角的度数。

29.龙博士桌上有一大叠贺卡，其中有.162张不是欧欧送的，143张不是奥斑马送的，欧欧

和奥斑马共送贺卡87张，那么奥斑马送的贺卡有53张.

【考点】重叠问题；和差问题.

【分析】根据“其中有162张不是欧欧送的”可得：那么就是奥斑马送的+除他两个外其

他人送的=162张，同理可得：欧欧送的+除他两个外其他人送的=143张，那么欧欧比

奥斑马少162-143=19张，又知欧欧和奥斑马共送贺卡87张，然后根据和差公式解答

即可求出奥斑马送的贺卡有多少张，即（87+19）÷2=53张，据此解答即可.

【解答】解：（162-143+87）÷2

=106÷2

=53（张）

故答案为：53

【点评】本题考查了两量重叠问题与和差问题的总和应用，关键是根据否定一个，得到

肯定一个的关系求出欧欧和奥斑马的张数差.

30.有六根木条，各长50厘米.现要将它们依次首尾相接钉在一起，每两根木条中间钉在

一起的部分长10厘米.钉好后木条总长250厘米.

【考点】重叠问题.

【分析】六根木条依次首尾相接钉在一起，重叠部分有6-1=5（次）；要减少10X5=

50（厘米）；所以钉好后木条总长是：50X6-50=250（厘米）；据此解答.

【解答】解：根据分析可得，

50X6-10X5,

=300-50,

=250（厘米）；

答：钉好后木条总长250厘米.

故答案为：250.

【点评】本题可以按植树问题解答，先求出间隔数也就是重叠的次数，知识点：重叠的

次数=段数-1.

二.解答题（共30小题）

31.如图所示，将面积相同的正方形与五边形叠在一起，其中五边形的顶点刚好在正方形的

中心点，已知正方形的边长是16厘米，求阴影部分的梯形面积是多少平方厘米？

正方形五边形

【考点】重叠问题.

【分析】根据图形可知，五边形上方三角形的面积是正方形面积的14,因为正方形和五

边形面积相等，所以剩下的面积也相等，即梯形的面积是正方形面积的（1-14）,据此

解答。

【解答】解：16X16X（1-14）

=16×16×34

=16X12

=192（平方厘米）

答：阴影部分的梯形面积是192平方厘米。

【点评】本题主要考查了重叠问题，根据总面积相等得出未重叠部分面积相等是本题解

题的关健。

32.底边长为6厘米，高为9厘米的等腰三角形20个，迭放如图：

每两个等腰三角形有等距离的间隔，底边迭合在一起的长度是44厘米.回答下列问题:

（1）两个三角形的间隔距离；

（2）三个三角形重迭（两次）部分的面积之和；

（3）只有两个三角形重迭（一次）部分的面积之和；

（4）迭到一起的总面积.

【考点】重叠问题.

【分析】(1)因为20个三角形迭放，有(20-1)个间隔，用(44-6)÷(20-1)就

是要求的答案；

(2)因为每三个连着的三角形重迭产生这样的一个符合条件的小三角形，每增加一个大

三角形，就多产生一个三次重迭的三角形，而且与前一个不重迭，因此这样的小三角形

共有(20-2)个，三次重迭的三角形的底是原来三角形底的13,高是原来三角形高的

13,由此即可解答；

(3)每两个连着的三角形重迭部分，也是原来的三角形一般模样的三角形，每增加一个

大三角形，就产生一个小三角形，共产生(20-1)个，由此符合条件面积即可求出；

(4)20个三角形的面积之和减去重迭部分，其中120平方厘米重迭一次，54平方厘米

重迭两次，由此问题即可解决.

【解答】解：(1)(44-6)÷(20-1)=2(厘米)，

(2)6×13×9×13×12×(20-2),

=3X18,

=54(平方厘米)；

(3)(6×23×9×23×12)×(20-1)-54X2,

=12×19-108,

=228-108,

=120(平方厘米)；

(4)6×9×12×20-120-54×2,

=540-120-108,

=420-108,

=312(平方厘米)，

答：(1)两个三角形的间隔距离是2厘米；

(2)三个三角形重迭(两次)部分的面积之和是54平方厘米；

(3)只有两个三角形重迭(一