韦达定理及应用

关于韦达定理及应用回忆一元二次方程的求根公式第2页,共15页，2024年2月25日，星期天学习这章需要达到的目的1，理解韦达定理的推导过程。2，掌握韦达定理，并能应用韦达定理解决一元二次方程有关根与系数的一些简单问题。3，能不解方程熟练地求方程两根的一些简单对称式的值。4通过参与韦达定理的“发现”，不完全归纳法的验证以及演绎证明等过程，提高观察，分析和综合判断能力。解右面的方程。比一比，看谁算得又快又准。解完后观察一下所求得的结果，看看有没有什么新发现X2–7x+12=0X2+3x－4=02X2+3x－2=0第3页,共15页，2024年2月25日，星期天对一对答案，观察一下方程看看有没有规律。比比谁先发现新大陆X1=3X2=4X1=1X2=-4X1=-2X2=1/2第4页,共15页，2024年2月25日，星期天导出韦达定理——仅仅是数学猜想对于一般一元二次方程都有：两根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得商的相反数；两根的积等于方程的常数项除以二次项系数所得得商，并把它概括成“韦达定理”第5页,共15页，2024年2月25日，星期天韦达定理的公式（牢记！）

x1+x2=-b/a

x1•x2=c/a第6页,共15页，2024年2月25日，星期天在实数范围内应用韦达定理时必须注意！B2–4ac>=0(方程实数根存在条件）第7页,共15页，2024年2月25日，星期天下面请同学们看例题请同学们动笔思考。5分钟后，看有没有同学已经求得了答案。第8页,共15页，2024年2月25日，星期天例题：已知方程kx2-(2k－1)x+k－2＝0的两根为x1,x2,x12+x22

＝3，求k的值。由韦达定理得：x12+x22=(x1+x2)2__2x1x2=(2k-1)2/k2__2(k-1)/k=(2k+1)2/k2=3,解得，k=+－1，这里必须考虑k不等于0,B2–4ac>=0的条件，经检验,当k=-1时，B2–4ac＝－3<0,所以k=-1应当舍去，所求k值只能是1。第9页,共15页，2024年2月25日，星期天例题分析例题是韦达定理的直接应用，今后在简化计算中由计算两个根的倒数和于平方和，那将时很繁琐的，如果我们能找出两个根的倒数和，两个根的积之间的关系，就能够利用韦达定理较多的用处，分析时，应着重指出如果先求出方程的两根，再进行简便计算。第10页,共15页，2024年2月25日，星期天例题：当k为何值时，方程2x2－(k+1)x+k+3=0的两根之差为1设方程的两根为x1,x2,则，,x2－x1

＝1（不妨设x2>x1）。因为,（x2－x1）2

＝（x2＋x1）2

－4x1x2，由韦达定理得（x2－x1）2

＝（k+1）2/4–2（k+3）所以（k+1）2/4–2（k+3）＝1解得k=9或者k=-3。当k=9或者k=-3由B2–4ac=4>0得，k=9或者k=-3均是本题得解。第11页,共15页，2024年2月25日，星期天启发：

（1）由方程的一个根是2，根据方程根的含义，能否先求出k的值，怎样求。（2）求出k的值后，怎样求另一个根才简便第12页,共15页，2024年2月25日，星期天适当延伸：补充下题，利用韦达定理可检验下列每个方程后括号内的两个数是否都是方程的两个根：1，x2–3x-10=0(5,-2)2，x2–2x-8=0(2,-4)3，4x2–11x-6=0(2,3/4)第13页,共15页，2024年2月25日，星期天公布答案