阿里市2023年数学高二第二学期期末复习检测试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出

售.该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x（个）为每天商品的销量，y（元）为该商场每天销售这种商品

的利润.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率是（）

A.B.C.I

i1

QQ

,2

2.方程^―+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）

m-2m+3

A.-3<2Z7<OB.-3<m<2

C.-3<2Z7<4D.-KZZT<3

3.一同学在电脑中打出如下若干个圈：……若将此若干个圈依此规

律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的♦个数是（）

A.10B.9C.8D.11

4.设xo是函数/（x）=/”x+x-4的零点，则xo所在的区间为（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

5.已知zeC,zi=2-,z的实部与虚部相等，则/?=()

11

A.-2B.-C.2D.——

22

6.已知函数/（x）=2sin（2x+o）（0<o<〃），若将函数/（x）的图象向右平移2个单位后关于y轴对称，则下列结论

6

中不正确的是

5771T

A.9=丁B.（=,0）是/（X）图象的一个对称中心

612

TT

C.f\(p)=-2D.x=-£是./'(X)图象的一条对称轴

7.已知一列数按如下规律排列：磔到7/2,-？-，则第9个数是()

A.-50B.50C.42D.—42

8.用数学归纳法证明等式1+2+3++(〃+3)=("+I5+4)(/eN*)时,第一步验证〃=1时，左边应取的项是

2

()

A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4

22

9.设尸为双曲线C：5―二=1(a>0,Z»0)的右焦点，。为坐标原点，以。尸为直径的圆与圆/+,2=/交于尸、Q

a~b~

两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为

A.0B.6

C.2D.75

10.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x,y之间关系最强的是()

11.已知函数/(x)=Y—3x+m,若方程〃x)=0有两个相异实根芭且玉+9<0,则实数〃，的值等于()

A.-2或2B.-2C.2D.0

12.直三棱柱A5C—A'B'C'中，AC=BC=AA,NACB=9O°,E、O分别为A3、88'的中点，则异面直线CE

与CO所成角的余弦值为()

A厢V10V2V15

A.------BR.------rC.Dn.------

4565

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

/\8

13.若x+0(a<0)的展开式中，常数项为5670,则展开式中各项系数的和为一.

\X)

14.若随机变量X〜N(3,CT2),且尸(0<X<3)=035,则P(X>6)=.

15.若关于x的不等式2x2—3x+a<0的解集为(加,1),则实数加=.

一一sina・cos。1/10

16.已知-------z—=-9且tan(a+/?)=—,则tan/?=____________.

l+3cos2a4、)3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数f(x)=ln(x+a)--一x在％=0处取得极值.

(1)求实数a的值；

(2)若关于x的方程/(x)=-gx+6在区间［0,2］上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.

18.(12分)已知椭圆］+/=1(4＞。＞0)的离心率为乎，且/=26

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线/：万一丁+m=0与椭圆交于4,8两点，是否存在实数〃？，使线段四的中点在圆/+y2=5上，若存在,

求出加的值；若不存在，说明理由.

19.(12分)如图，已知椭圆。:［+，=13＞。＞0)的离心率是¥，一个顶点是8(0,1).

(I)求椭圆C的方程；

(II)设P,。是椭圆。上异于点8的任意两点，且BPLBQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定

点的坐标；若不是，说明理由.

20.(12分)某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性

学习活动.

(1)现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学

的概率；

(2)若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组有参加过天文研究性学习活动的同

学个数X是一个随机变量，求随机变量X的分布列和数学期望EX.

21.(12分)已知，椭圆C过点两个焦点为(0,2),(0,-2),E,尸是椭圆C上的两个动点，如果直线ZE

的斜率与Z尸的斜率互为相反数，直线即的斜率为左，直线/与椭圆C相切于点4斜率为42・

（1）求椭圆C的方程；

（2）求勺+七的值.

1a\「1

22.（10分）（1）已知矩阵4=八，的一个特征值为；1=一2,其对应的特征向量a=.,求矩阵A及它的另一

0b\[2

个特征值.

⑵在极坐标系中，设P为曲线C：2=2上任意一点，求点P到直线/：psin,T=3的最小距离.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

分别计算每个销量对应的利润，选出日利润不少于96元的天数，再利用排列组合公式求解.

【详解】

当丫=时：i=18x5=90

当：9时：＞=：9x5='95

当丫=:。时：y=：9x5+l=96

当：■=21时：1=19x5+2=97

日利润不少于96元共有5天，2天日利润是97元

qio

故答案选A

【点睛】

本题考查了频率直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力.

2、A

【解析】

由题意知，（加―2）（根+3）<0=-3<2,则C,D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.

3、B

【解析】

将圆分组：第一组：。・，有2个圆；第二组：oo.,有3个圆；第三组：。。。・，有4个，…，每组圆

的总个数构成了一个等差数列，前〃组圆的总个数为5“=2+3+4+...+（〃+1）=号］乂〃，令S“=55,

解得〃。9.6,即包含9整组，故含有•的个数是9个，故选B.

【方法点睛】本题考查等差数列的求和公式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤：一、通过观

察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.常

见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题

时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比

数列等；（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

4、C

【解析】

由函数的解析式可得/（2）<0,/（3）>0,再根据函数的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案.

【详解】

因为毛是函数/（x）=lnx+x—4的零点，由〃2）=ln2—2<0J（3）=ln3—l>0,

所以函数/（x）的零点七所在的区间为（2,3）,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键,

着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5、C

【解析】

利用待定系数法设复数z,再运用复数的相等求得6.

【详解】

i^z-a+ai(aeR),则(a+ai)i=2—初，即一。+出=2—初

—ci=2a=-2

,c.故选C・

a=-b"b=2

【点睛】

本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.

6、C

【解析】

函数/(x)=2sin(2x+°)的图象向右平移彳个单位，可得g(x)=2sin(2x-?+可，g(x)=2sin-^+可的

nTT5乃57r

图象关于y轴对称，所以—2+0=人乃+々，攵=0时可得e=9,故./■(x)=2sin(2x+3),

3266

/(⑼=2sin(,+^)=2sin芳=2,〃夕)=一2不正确，故选C.

7、A

【解析】

分析：根据规律从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，确定第9个数.

详解：因为从第3个数起，每一个数等于前两个数之差，所以第9个数是-19-31=-5(),

选A.

点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法为：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、

联想(联想常见的数列)等方法.

8、D

【解析】

由数学归纳法的证明步骤可知：当”=1时，等式的左边是1+2+3+1+3=1+2+3+4,应选答案D.

9,A

【解析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率.

【详解】

设PQ与X轴交于点A,由对称性可知轴,

又|PQ|=|OF|=c,.1PA|=/,二PA为以OF为直径的圆的半径,

.•4为圆心|。4|=£.

2

又P点在圆f+>2="上,

222

CC2日nC2^-£1-2

—I-----=a~9即—=cT匕一r一4•

442a

:.e-V2,故选A.

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，

运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半

功倍，信手拈来.

10、D

【解析】

ac

在频率等高条形图中，一^与一j相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论.

【详解】

在频率等高条形图中，'•与「相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，

a+bc+d

四个选项中，即等高的条形图中xi,X2所占比例相差越大，则分类变量x,y关系越强，

故选D.

【点睛】

本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题

11、C

【解析】

分析：利用导数法，可得当x=-l时，函数取极大值m+2,当x=l时，函数取极小值m-2,结合方程f(x)=0有两

个相异实根XI,X2,且X|+X2<0,可得答案.

详解：I,函数f(x)=x3-3x+m,

/.fr(x)=3x2-3,

令F(x)=0,贝！Jx=±l,

当x<-l,或x>l时，f(x)>0,f(x)为增函数；

当-IVxVl时，f（x）<0,f（x）为减函数；

故当x=-l时，函数取极大值m+2,

当x=l时，函数取极小值m-2,

又•方程f（X）=0有两个相异实根Xi,X2,且X1+X2V0,

Am-2=0,

解得m=2,

故选：C.

点睛：本题考查的知识点是利用导数法研究函数的极值，方程根的个数判断，难度中档.对于函数的零点问题，它和

方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函

数一个含参的函数，注意让含参的函数式子尽量简单一些。

12、B

【解析】

以C为原点，C4为x轴，（方为）'轴，CG为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE与CD所

成角的余弦值.

【详解】

以C为原点，C4为x轴，CB为）'轴，CC为工轴，建立空间直角坐标系，

设AC=BC=A4'=2,

则C（O,O,O）、A（2,0,0）、3（0,2,0）、£（1,1,0）,C'（0,0,2）,D（0,2,l）,

C£=（I],0）、CD=（O,2,T）,

设异面直线CE与所成角为e,

CEC'D2_V10

贝!Jcos0=----------

CE\\CDV2.V5-5

，异面直线CE与C'D所成角的余弦值为上

5

故选：B

【点睛】

本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、256

【解析】

根据二项式展开式的通项公式求得。，再用赋值法求出各项系数的和.

【详解】

由二项式的展开式的通项公式得=/屋产

Tr+t

贝！J8-2r=0,厂=4所以C；/=5670,

所以a4=81,a<0,a=—3.

所以L+父/尤—3，再令X=1,

I龙1kxj

得展开式中各项系数的和=(-2)8=256.

故答案为256.

【点睛】

本题考查二项式展开式中的特定项和各项系数和，属于中档题.

14、0.15

【解析】

由X〜N(3,<J2),得P(O<X<3)=P(3<X<6)=035,两个式子相加，根据正态分布的对称性和概率和为1即

可得到答案.

【详解】

由随机变量X〜N(3,(T2),且P(0<X<3)=0.35,根据正态分布的对称性得P(3<X<6)=035且正态分布的概

r…八1-0.35x2…

率和为1,得P(X>6)=-------------=0.15.

2

故答案为0.15

【点睛】

本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题.

1

15、一

2

【解析】

由不等式2x2-3x+aV0的解集为(小，1)可知：x=m,x=l是方程2必-3x+a=0的两根.根据韦达定理便可分别

求出m和a的值.

【详解】

由题意得：1为2f—3x+a=0的根，所以。=1,

,11

从而2x—3%+1<0—<x<1tn——

22

故答案为1

【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

16、-1

【解析】

通过sina,cosa的齐次式，求得tana的值；再利用两角和差的正切公式求解tan/?.

【详解】

sina•cosa_sinacostztana1

l+3cos2asin?a+4cos2atan2«+44

.•.tana=2

tana+tan/?_2+tan夕_1

又tan(a+£)

1-tanatan£l-2tan£3

解得：tan/?=-l

本题正确结果：-1

【点睛】

本题考查同角三角函数关系以及两角和差公式的应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(l)a=l；(2)be-1+ln3,^+ln21.

17、

【解析】

(I)函数〃无)=ln(x+a)-f-x,对其进行求导，在％=o处取得极值，可得.(0)=(),求得“值；

53

(II)由Q=1知/(x)=ln(x+l)—/一次,由/(1)=一］工+人，得］n(x+l)-12一〃=()令

9(x)=ln(x+l)-x2

则关于X的方程/(x)=-|x+力在区间［0,2］上恰有两个不同的实数根，转化为。(x)=0在［0,2］上恰有两个不同实

数根，对8(x)对进行求导，从而求出匕的范围；

【详解】

(I)广(力=^--2x-l,x=0时，/(x)取得极值，.•./'(())=0,

1

故一2x0-1=0,解得。=|.经检验。=1符合题意.

0+«

53

(II)由々=1知/(x)=ln(x+l)-%2-x,由/(%)=一耳元+6,得］n(x+l)-f十万不一^二。

3

令°(x)=ln(x+l)-x2+—x-/7,

则”x)=—；x+人在［°，2］上恰有两个不同的实数根,

等价于O(x)=0在［0,2］上恰有两个不同实数根.

_2x+l=_(4X+5)(1)

22(x+l)

当X€(0,l)时,o'(x)>0,于是e⑺在［0,1］上单调递增;

当xw(l,2)时,d(x)<0,于是。(x)在［L2］上单调递增;

^?(0)=-&<0,

3

依题意有〈=Zn(l+1)-1+--/?>0,In3-l</?<ln2+-.

以2)=/〃(1+2)—4+3—HO.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程的实数根问题，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的

思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，属中档题.

18、（i）r*2_=i；（2）实数%不存在，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和「的关系，解方程可得进而得到椭圆方程；（2）设义.，

羽丫：小：I,线段/:的中点为联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的1：坐标,

代入圆的方程，解方程可得明，进而判断不存在.

试题解析：（1）由题意得e=解得a=JI.b=c=】故椭圆的方程为X：+1=1；

（2）设；：，线段的中点为1/，工：..1」联立直线：与椭圆的方程得，即

3?:*♦2mx-疗-2=0，

A=-4*二）>。即<3，

占网

河产一工7，

X+X.»»!In:

所以X，=------=-------V=V'•":=——，

r23。”3

即又因为\!点在圆丁•「=5上，

33

可得—3

33

解得，=二3与<3矛盾.

故实数，.不存在.

考点：椭圆的简单性质.

丫23

19、（I）二+丁=1（II）直线PQ恒过定点（0,——）

45

【解析】

试题分析：（I）设椭圆C的半焦距为c.求出b利用离心率求出a,即可求解椭圆C的方程；（II）证法一：直线PQ

2

的斜率存在，设其方程为y=kx+m.将直线PQ的方程代入、+y2=i消去y,设p（%,y）,Q（x2,^2）,利用韦达

定理，通过BP_LBQ,化简求出5〃72一2〃?—3=0，求出m,即可得到直线PQ恒过的定点.证法二：直线BP,BQ

丫2

的斜率均存在，设直线BP的方程为丫=1«+1,将直线BP的方程代入、+>2=1,消去y,解得x,设P（%,y）,转

化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标

试题解析：（I）解：设椭圆C的半焦距为J依题意，得〃=1,

22

H口p~2—.c.=-a-----l-=——3

a2a24

解得"=4.

2

所以，椭圆。的方程是r上+丁=1.

4

（U）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为），=履+机.

将直线PQ的方程代入f+4y2=4,

消去整理得（1+442）f+8切收+4加2-4=0.

设P(石,％),Q(x2,y2),

,8km4m2-4八、

则%+%=----r9X•X=--------.(1)

•1+4左21-1+4公

因为且直线3P,3Q的斜率均存在,

y.—1—11

所以山一•~—=T,整理得王9+乂以一⑶+%）+1=°・（2）

X\X2

因为y=履］+机，y2=Ax2+m,

22

所以X+%=Mx1+电）+2机，yxy2=kx}x2+加左（％+x2）+/n.（3）

将（3）代入（2）,整理得

（1+公）工［工2+4（加-1）（玉+々）+（加-if=。.（4）

将（1）代入（4）,整理得5加2一2加一3二0.

,3

解得力=-g,或m=1（舍去）.

所以，直线P。恒过定点（0,-

证法二：直线BP,BQ的斜率均存在，设直线8P的方程为y="+l.

将直线外的方程代入Y+4y2=4,消去y,得（1+4/»2+8日=o

解得x=0,或％=一三.

1+4《

1-4£

设所以金询

1+4公

-Sk1-4公

所以P（

1+4公1+4公)

1Xkk2-4

以-丁替换点P坐标中的左，可得0（上行

k4+二公+4，

1-44281c

y---------2x4--------：

从而，直线PQ的方程是1,=_RJ+”厂.

i+4户一户+41+4­4+/

依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在>轴上.

3

在上述方程中，令x=0,解得y=-j.

所以，直线P。恒过定点（0,—|）.

考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程

420

20、（1）一（2）分布列见解析，Ex=—

77

【解析】

r'r1

（1）恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学为事件A，则P（A）=*,计算得到答案、

241

（2）随机变量x=2,3,4,计算尸（》=2）=亍，P（X=3）=~,P（X=4）=~,得到分布列，计算数学期望得到答

案.

【详解】

（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件A,

4

一

则其概率为P（A）一7-

(2)随机变量x=2,3,4,

「37C'C'4C2

*尤=2)=4=4,p(x=3)=3=3,尸(x=4)=W—1.

'/C；7'7Cf7'/C；7

.•.随机变量x的分布列为

X234

24]_

P

777

【点睛】

本题考查概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

22

21＞(1)匕+±=1；(2)0.

106

【解析】

(1)可设椭圆C的方程为《+'=1(。＞人＞0),由题意可得c=2,由椭圆的定义计算可得进而得到b,即可得

到所求椭圆方程；

(2)设直线力用y=A|x-|^|+|(代入椭圆方程，运用韦达定理可得"的坐标，由题意可将衣换为一女，可得产的

坐标，由直线的斜率公式计算可得直线所的斜率，设出直线/的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：

判别式为0,可得直线/的斜率，进而得到所求斜率之和.

【详解】

解：(1)由题意可设椭圆c的方程为、■+方

且c=2,2a=J（|）2+（|+2尸+J（|）2+（|一2）=亭+萼=2而,

即有a—V10，b=yjcT—c2=A/6>

2V2

所以椭圆的方程为v匕+巴=1;

106

+1,代入椭圆方程可得

⑵设直线力区y=k

（5+3A:2）x2+3^（5-3jt）x+3（|-y）2-30=0,