2022-2023学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省茂名市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={%6N|-1<x<4},B={xeR\x>3},则

图中阴影部分表示的集合为（）

A.{x|-1<x<3]B.{x|-1<x<3}

C.{0,1,2)D.{0,1,2,3)

2.已知复数2=备，则忆一”=（)

A.B.2C.V-2D.5

3.已知4。是△ABC的中线，AB=a,AD=b＞则近=（)

A.l(b+a)B.2b+aC.(6—a)D.2b-a

4.现有上底面半径为2,下底面半径为4,母线长为2中的圆台，则其体积为（）

P40V10TTD56CUTT

A.40TTB.567r

=~3-■-3-

5.甲、乙、丙、丁4名志愿者参加创文巩卫志愿者活动，现有4、B、C三个社区可供选择,

每名志愿者只能选择其中一个社区，每个社区至少一名志愿者，则甲不在4社区的概率为（）

D.I

A-1B5c・|4

6.已知sin(a-/?)cosa-cos(a-6)si7ia=[,则sin怎+2/7)=()

77

C+

A.-D.-8-

8一

7.已知a=log34,b=log49,c=余则()

A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

8.已知椭圆C：胃+马=1(。>/7>0)的离心率为?,下顶点为8,点时为。上的任意一点,

则|MB|的最大值是()

A.翌bB.—bC.V-3hD.2b

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.某地区国庆七天每天的最高气温分别是22,21,20,20,22,23,24（单位。C）,则（）

A.该组数据的极差为4B.该组数据的众数为20

C.该组数据的中位数为20D.该组数据的第80百分位数为23

10.已知，(x)是定义在R上的偶函数，且f(x-3)=f(x+1),当xe［0,2］时,/(x)=x2+1,

则下列各选项正确的是()

A.当xG［一2,0)时，/(X)=x2+lB.y=/(x)的周期为4

C./(2023)=3D.y=f(x)的图象关于(2,0)对称

11.已知抛物线C：的焦点为尸，准线为4为抛物线上任意一点，点P为A在/上的

射影，线段PF交y轴于点E,Q为线段49的中点，贝11()

A.AE1PFB.直线4E与抛物线C相切

C.点Q的轨迹方程为y2=2x-lD.NQEF可以是直角

｛xex%<0

三;>0,贝版)

A.f(x)的极小值为一:

B.存在实数a,使［/(x)］2+a/(©-1=0有4个不相等的实根

C.若fQ)-ax>0在(0,+8)上恰有2个整数解,则2Wa<去

D.当无e(0,+8)时,函数九(x)=e。/Q)—%—比乂的最小值为1

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知数列｛a.｝的前n项和为%,且右二？与一4,则a“=.

14.圆心在直线y=x+3上，且过点4(2,4),B(l,-3)的圆的标准方程为.

15.(2+ax)(l-乃6的展开式中含一的项的系数为150,则。=.

16.如图，在三棱锥U-ABC中，△1MB和44BC都是边长为2的正三角形，二面角U-AB-C

为。，当60。W0W120。时，三棱锥U-4BC的外接球表面积S的范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在AABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S,4n为边BC上的中线.

(1)证明：AD=2(b2+c2)-a2；

(2)当S=2/3.B=/时，求4D的最小值.

18.(本小题12.0分)

已知等差数列｛&J的公差不为0,其前n项和为Sn,Ss=25,且％,a2,成等比数列.

(1)求｛an｝的通项公式；

4九1

(2)设b-2~»记数列｛4｝的前n项和为"，若〃Wm2+5加对任意neN*恒成立，求Tn的

nan'an+lZ

取值范围.

19.(本小题12.0分)

2023年6月6日是第28个全国“爱眼日”，某市为了了解该市高二同学们的视力情视力情况进

行了调查，从中随机抽取了200名学生的体检表，得到如表所示的统计数据.

视力范围[4.0,4.2)[4・2,4・4)[4.4,4.6)[4.6,4.8)[4.8,5.0)[5.0,5.2)

学生人数203070353015

(1)估计全市高二学生视力的平均数和中位数(每组数据以区间的中点值为代表，结果精确到

0.1)；

(2)视频率为概率，从全市视力不低于4.8的学生中随机抽取3名学生，设这3名学生的视力不

低于5.0的人数为X,求X的分布列和数学期望.

20.(本小题12.0分)

如图，在平面四边形ABCD中，AB//DC,△ABD为边长为2的正三角形，DC=3,点。为的

(2)点E为线段PC上的动点(不含端点)，当平面POD与平面EBD的夹角为30。时，求需的值.

21.(本小题12.0分)

已知双曲线C；捻-，=l(a>0/>0)的离心率为年(的右焦点尸到其渐近线的距离为L

(1)求该双曲线C的方程；

(2)过点S(4,0)的动直线，(存在斜率)与双曲线C的右支交于4、B两点，x轴上是否存在一个异

于点S的定点7,使得|S*•|TB|=|SB|•|7;4|成立.若存在，请写出点了的坐标，若不存在请说

明理由.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=aex-ln(x+2)+Ina-2.

(1)当a=1时，求f(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)若/(无)有两个零点%1，x2,求实数a的取值范围，并证明：+%24-2>0.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由集合4=(xEN\-1<x<4]={0,1,2,3},B={x&R\x>3},

又由阴影部分表示的集合为AD(CRB)={0,1,2).

故选：C.

根据题意求得结合A={0,123},结合阴影部分表示的集合为ADCCRB),即可求解.

本题主要考查了利用Uenn图表达集合的关系和运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由题意知，2=三=再黑恶=凶尸=1一"

所以z—t=1—2i,

所以|z-t|=|1-2i|=J12+(-2)2=7-5.

故选：A.

利用复数的除法法则和复数的减法法则，结合复数的模公式即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为4。是△4BC的中线，AB—a,^D-b>

则方=AB+JC=AB+2'BD=AB+2(AD-AB)=2AD-AB=2b-a-

故选：D.

利用向量的线性运算求解.

本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：由R=4,r=2,=2CU，

则圆台的高h-yjZ2—(/?—r)2=6，

根据圆台体积公式得V=1(R2+r2+Rr)h=京x阴+22+4x2)x6=567r.

故选：B.

由R=4,r=2,Z=求得圆台的高h=V/2-(7?-r)2=6.再根据圆台体积公式即可求解.

本题考查圆台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：4名志愿者分配到3个社区的方法共有戏题=36种，

其中甲在4社区的方法有两种情况，

若4社区分配2名志愿者，则从乙丙丁三人中选择1人连同甲一起去4社区，则有废掰=6种情况,

若4社区只有甲这1名志愿者，则从乙丙丁中选择2人去BC两个社区其中之一，则共有戏6=6种

情况，

故甲不在4社区一共有36-6-6=24种，

故甲不在4社区的概率为第=|.

Jo3

故选：C.

根据分配分组问题，结合排列组合以及分步分类即可求解个数.

本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：因为sin(a—6)cosa—cos(a—0)sina=；,

所以sin[(a-/?)-«]=sin(-j?)=

所以sin/?=-；,

所以sin(与+2夕)=—cos2p=—(1—2sin2p)=一，.

故选：D.

利用两角差的正弦公式及诱导公式求出sin/?,再由诱导公式及二倍角公式计算可得.

本题主要考查了和差角公式及诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题.

7.【答案】4

【解析1解：a=log34<log33\/~3=

a<c,

3

b=log49>log48=

・•・b>c,

­­a<c<b,

故选：A.

将|分别变形为以3为底的对数及以4为底的对数，利用对数函数的单调性求解.

本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：由椭圆C的离心率6=字，可得a=Cb,所以椭圆的方程为当+马=1,

33bz/

设M(x0,yo),则马+4=1,可得以=3炉一3端

3bb

又由点B(O,-b),

222

可得|MB|2=欧+(y0+b)2=3b-3M+(y0+b)=-2(y0-1)+与，

因为一bSyoWb，所以|MBF2,所以iMBLax=型产.

故选：A.

设MQo，yo)，得到系+卓=1，求得=仇一52十孚，结合二次函数的性质，即可求

解.

本题主要考查椭圆的性质，属于中档题.

9.【答案】AD

【解析】解：该组数据的极差为：24-20=4,故A正确；

将该组数据从小到大的排列为：20,20,21,22,22,23,24,

所以该组数据的众数为20,22,故8错误；

该组数据的中位数为22,故C错误；

由7x80%=5.6,

所以该组数据的第80百分位数为从小到大的排列的第6个数据为23,故O正确.

故选：AD.

利用极差、众数、中位数和第p百分位数的定义即可求解.

本题主要考查了极差、众数、中位数和第P百分位数的定义，属于基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：/(x)是定义在R上的偶函数，设刀€[-2,0),则一xe(0,2],

/(x)=/(-x)=x2+1,故A正确；

由/(x-3)=/(x+l)得/(x+4)=f(x),二/。)的周期为4,故8正确；

••"(2023)=/(3)=/(-I)=/(I)=2,故C错误；

•."(3)力一〃1),故。错误.

故选：AB.

利用f(x)是定义在R上的偶函数可判断4利用/'(x-3)=f(x+1)得f(x)的周期可判断BC；利用

特殊值可判断D.

本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题.

11.【答案】ABC

【解析】解：设准线与x轴交于点M，由抛物线知原点。为FM的中点，，〃y轴，

所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知|4P|=依川，所以4E1PF,故A正确；

由题意知，E为线段PF的中点，从而设4(%,y])，/片0,则E(0,为，

直线4E的方程：：7=含0+与)，

与抛物线方程y2=4x联立可得：丫=金(?+/)，

由衣=4与代入左式整理得：y2-2yly+衣=0,所以/=4yf-4yf=0,

所以直线4E与抛物线相切，故8正确；

设点Q(x,y),则点4(2x-l,2y),

而4是抛物线C上任意一点，于是得(2y)2=4(2x-l),即必=2x-l,

所以点Q的轨迹方程为y2=2%-1,故C正确；

因点Q的轨迹方程为必=2x-l,则设Q(竽,t),

令E(O,zn),有加=丽=(竽，t-血)，

EF­~EQ=m2~tm+=(m-t)2+t2+^>0>

于是得NQE尸为锐角，故力错误.

故选：ABC.

分别应用抛物线定义，直线与抛物线位置关系的判定，求轨迹方程的方法，向量法判断垂直进行

求解.

本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：当％<。时，/'(X)=xex+e*=ex(x+1),

・,・当％<一1时，f(x)<0,.•・/(%)在(一8,-1)上单调递减；

当一IV%V0时，/(%)>0,・・・/(%)在(一1,0)上单调递增,

f(x)的极小值为八一1)=-3

同理可得，当久>0时，f(x)在(0,1)上单调递增：f(x)在(1,+8)上单调递减,

由图可知A正确;

令七=f(x),则/4-at-1=0有两个实根“，％且0),今E(01~)»

(g(-1)>0

则令g(t)=/+Q£—1,・•・g(0)=-1v0,・•・{e,

■)>o

a<--e

eJ所以无解，故3错误；

{a>e--

由储。募得太a4,故。正确；

h(x)=xex—x—Inx,

则九'(x)=ex+xex-1—：=Q+l)(ex—；),由%>0,知％+1>0,

设3则t(x)在(。，+8)上单调递增，又吗)=，1-2<0,t(l)=e-l.>0,

所以存在即€专1),使得九'(3=0,即/。=/，

所以当％W(0,&)时,h!(x)<0,九(久)单调递减；

当％W(%o，+8)时,hr(x)>0,九(x)单调递增，

所以h(x)诙=八(&)=X。/。-X。一仇X。=X。《一X。+X。=1,故O正确.

故选：ACD.

根据题意，利用导数研究函数/Q)的性质，即可画出其函数图像，即可判断力，换元令t=/(x),

由二次函数根的分布列出不等式，即可判断氏列出不等式求解，即可判断C,求导得到函数/i(x)

的极值，即可判断D.

本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，数形结合思想，

属难题.

13.【答案】2n+1

【解析】解：因为%=2an-4,

所以当n>2时，Sn_x=2a„_x-4,两式相减得多-Sn_r=2an-4-(2an_x-4),整理得an=

2即-1，

即n>2时，an=2an.!，

又当n=1时，Si=a[=2al-4,解得的=4,

所以数列{a"是以4为首项，2为公比的等比数列，

n

所以an=4x2nT=2+i.

故答案为:2n+1.

根据Sn，即的关系即可得数列｛斯｝是以4为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项即可求

解.

本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题.

14.【答案】(x+2尸+(y—I)2=25

【解析】解：直线ZB的斜率为言=7,线段的中点为(I』)，

115

艮X+

线段48的垂直平分线的方程为：y-1=7-py=-7-7-

联立｛'［一：；+''解得即圆心坐标为(一2,1方

半径r=J(一2—2尸+(1-44=5,

所以所求圆的标准方程为：(x+2)2+(y-l)2=25.

故答案为：(x+2)2+(y-l)2=25.

通过求圆心和半径来求得圆的标准方程.

本题主要考查了圆的性质及定义在圆的方程求解中的应用，属于基础题.

15.【答案】-6

rrr

【解析】解：(l-x)6展开式的通项为：Tr+1=Ca-x)=(-l)Clx,

(2+czx)(l-x)6展开式中一的系数为2(一1)4《+a(-l)3髭=30-20a=150,Aa=-6.

故答案为：-6.

求出(1-x)6的展开式通项，然后利用含久4项的系数为150列方程求解.

本题考查二项式定理，属于基础题.

16.【答案】［罟，等］

【解析】解：根据题意，取AB的中点0,连接U。，C0,

因为△1MB和4ABC都是边长为2的正三角形，

所以U。LAB,CO1AB,

所以W0C为二面角IZ-4B-C的平面角，所以。=NVOC,

B

设AlMB,△ABC的外心分别为F,E,

在平面HOC内过点F作UO的垂线，过点E作0C的垂线，交于点G,

则G为V-4BC外接球的球心，

因为△ABC是边长为2的正三角形，E为AABC的外心，

所以CE=|,。七=煮，

又由GE=OEtan^,则腔=CE2+GE2=^+^tan21（30°<!<60°）,在C,,刍,

故球的表面积S=4TTR2£善，甯.

故答案为：［申,竽］.

根据题意，取4B的中点0,连接V。，CO,则NVOC为二面角的平面角，设AV4B,LABC

的外心分别为凡E,在平面UOC内过点F作V。的垂线，过点E作。C的垂线，交于点G,则G为U-4BC

外接球的球心，从而表示出外接球半径，进而可求出球的表面积的范围.

本题考查球的表面积计算，注意球与三棱锥的位置关系，属于中档题.

17.【答案】解：（1）证明：因为4。为边BC上的中线,

所以在△ABC中，^ADB+^.ADC=n,

所以cosZJlDB4-cosZ-ADC=0,

在△4D8和△AOC中，由余弦定理可得必应心笆.

2ADBD

AD2+CD2-AC2八

----2-A--D-C-D----=U，

又因为BD=CD,

所以=如2+c2-7），

所以4Z）=［12（万+,2）—a2,得证；

(2)因为S=2c，8=?

所以S=gacsinB=--rac=2A/-3>

24

所以ac=8,

在^ABC中，由余弦定理炉=a24-c2—2accosB,可得/=a24-c2—ac,

又由(1)可得40=^yj2(h2+c2)-a2=1Va24-4c2—2ac,

所以4D=a24-4c2—2ac>4ac—2ac=2ac=2,当且仅当a=2c时等号成立，

所以/D的最小值为2.

【解析】⑴由题意可得〃D8+AADC=7T,在^ADB^WLADC中，由余弦定理可得理也吟©+

2ADBD

222

AD+CD-AC=结合B0=c。，即可证明；

2ADCD

(2)利用三角形的面积公式可求ac=8,在△ABC中，由余弦定理可得/=(^+c?-ac,由(1)结

论利用基本不等式即可求解的最小值.

本题考查了余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算

能力和转化思想，属于中档题.

18.【答案】解：(1)设等差数列｛a。的公差为d,且d彳0,

（（Q1+d）2=+4d）

由题意得:g:rs即「+竽d=25

解得｛建J,

所以%=1+2（71-1）=2n—1；

G）因为％=^；=（2九一1）2.（2H1）2一

所以〃=瓦+匕2+万3+…+bn

1.11.11..111

=却―/+/_/+/_/+…+^7一^7]

所以，

因为乙<m2+；m对任意nGN*恒成立，

所以苏+扣封，解得771w一1或?n2

所以m的取值范围为(一8,-1]u[1,+°°).

【解析】(1)设数列｛斯｝的公差为d,且dWO,然后由题意列方程组，求出由,d,从而可求出通

项公式；

4九111

(2)由⑴得%=cNoG，然后利用裂项相消法可求出〃=力一左7不]，则〃<所以

(ZH—1))乙(Z71+JL)L

m2+>p从而可求出zn的取值范围.

本题考查等差数列基本量的运算和裂项相消法求数列的前项和，属于中档题.

19.【答案】解：（1）由表中数据，估计全市高二学生视力的平均数为：

星=击X（4.1x20+4.3X30+4.5X70+4.7x35+4.9x30+5.1x15）=4.57«4.6,

由表中数据，视力小于4.4的频率为蒜=0.25,视力小于4.6的频率为蝶=0.6,

所以中位数在4.4至4.6之间，设中位数为X,

则照=0.5—0.25,解得x《4.5；

（2）由题意，全市视力不低于4.8的学生共有45人，从这些学生中随机抽取1名学生，

这名学生取自区间［4.850）的概率为,=取自区间［5Q5.2）的概率为左=

则从全市视力不低于4.8的学生中随机抽取3名学生，这3名学生的视力不低于5.0的人数X服从二项

分布，即*-8(3,»

故P(X=0)=(1-1)3=摄,P(X=l)=Cjx|x(l-1)2=§=I，

P(X=2)=Cjx(扔x(l-|)=^=1,P(X=3)=(|)3=%

故X的分布列为：

X0123

8421

P

279927

E（X）=3xg=l.

【解析】（1）由平均数，中位数的定义，取每组数据的中间值作代表直接计算即可；

（2）根据表中数据，在视力不低于4.8的范围内任取一名学生，这么学生来自于区间［4.8,5.0）和区间

［5.052）的概率，再根据二项分布求出X=0,1,2,3时的概率即得分布列和数学期望.

本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题.

20.【答案】解：（1）因为△力BD为边长为2的正三角形，点。为AB中点,

连接OC交BD于点G,

因为4B〃DC,DC=3,

所以0c=VOD2+DC2=2V-3.

因为PC=<13,

所以PC?=PO2+OC2,

所以P。1OC,

又因为PO_L。。，OD,OCu平面。BCD,ODnOC=0,

所以P。_L平面OBCD,

因为8。u平面OBCD,

所以PO1BD,

在底面OBCD中，△BGO,

所以需=卷=器，进而BG=；,OG=?，

所以。口2=OG2+GB2,

所以BD1OC,

因为P。，OCu平面POC,POCOC=0,

所以BD1平面POC,

因为PCu平面POC,

所以BD1PC.

(2)由(1)可知，OB、OD、OP两两垂直，

所以以。为原点，OB,OD,OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,

所以P(0,0,l),B(l,0,0),C(3,<3,0),D(0,<3,0).

根据题意可得诟=(1,0,0)为平面P。。的一个法向量,

设而=APC.

所以E(34,q4,l-；l)(0<；l<1)，

所以说=(34-1,C入,1-X),DE=(3A,-C,1-4)，

设平面BDE的一个法向量为元=(x,y,z),

则0.屁=(34-l)x+y/~3Ay+(1-2)z=0

'\jiDE=3Ax+(OA-V-3)y+(1-2)z=0'

取x=3,则y=，3，z=

所以元=(3,q,?^),

1-A

因为平面P。。与平面EBD的夹角为30。，

所以cos3(T=|cos〈而，孙=|黑右I，

n

1

解得

所以2A-6◎

>4-

1

A=

所以当平面P0。与平面EB。的夹角为30。时，黑=4-

【解析】(1)根据三角形的边角关系可得线线垂直，进而根据线线垂直即可得线面垂直，即可求证.

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角，即可求解.

本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题.

21.【答案】解：(1)由已知可得(cC，解得Q=2,b=1,

e=a=~

2

、Q2+b=C2

双曲线C的方程为^—y2=1；

4J

(2)假设存在定点T满足已知条件，故设T(m,0),

•••|S*.|7B|=|SB|.|771|,••瑞瑞，

在△ATS和ABTS中，由正弦定理得：

Ml_|7川|SB|_\TB\

sinZATS~sin乙4ST'sin乙B7S-siMBST'

|S/1|_sin^ATS|S8|_sinzBTS

‘两=sihST'\TB\=sin^BST9

v乙AST=7i—乙BST,:.sinZ.AST=sin乙BST,

X-Ssin^ATS=sinz.BTS,可得〃TS=NBTS,

•・・直线AT与直线BT的倾斜角互补，得欧丁+卜的=0,

当直线1的斜率为0时，显然不符合题意；

当直线，的斜率不为0时，设直线［的方程为％=ny+4,ri。0,A(%"i)，B(x2,y2V

%=ny+4

2

联立，卜%2一丫9=1得(九2—4)y+8ny+12=0,

8n12

・，・乃+先=一;^，％为=

又・.,直线I与双曲线C的右支交于4B两点,

xx>072yly2+4n(%+y2)+16>0

12加”优+力)+8>0

+%2>0

4>0S16(n2+12)>0

{污一4。0<n2H4

f-4(r^+16)

层-4>U

—32

代入根与系数的关系可得：(n>°，解得0</<4.

16(n24-12)>0

<n2W4

•••^AT+^BT=°，'Xy-m+x?-m=°'

人］，，C人/，，l

又％1=72yl+4,%2=ny2+4，

y-y

•'西+4工+9瓦m=仇即筋为、2+(4-巾)(71+及)=0，

•■12n,+(4-m)(一^=0.

B