高中人教A版数学课时素养检测6-4-3-2正弦定理

课时素养检测十二正弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(2020·珠海高一检测)锐角△ABC中,下列不等关系总成立的是()A.sinA<cosB B.sinB<cosAC.sinA>sinB D.sinB>cosA【解析】选D.因为锐角△ABC中,0<C<QUOTE<A+B<π,所以QUOTE>A>QUOTEB>0,因为sinA>sinQUOTE=cosB,故选A选项不正确;因为sinA与sinB大小不定,所以C选项不正确;所以cosA<cosQUOTE=sinB,所以B不正确,D选项正确.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=QUOTE,∠B=60°,则∠C=()A.30° B.45°C.150° D.30°或150°【解题指南】利用正弦定理解三角形,根据大边对大角,即可得解.【解析】选A.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=QUOTE,∠B=60°,则由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE=QUOTE,因为c<b,所以C=30°.3.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则得此三角形()A.无解 B.有两解C.有一解 D.解的个数不确定【解析】选B.如图,因为bsinA<a<b,所以B有两解.4.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA∶sinB∶sinC等于()A.6∶5∶4 B.7∶5∶3C.3∶5∶7 D.4∶5∶6【解题指南】sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.【解析】选B.因为(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.令QUOTE=QUOTE=QUOTE=k(k>0),则QUOTE解得QUOTE所以sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.【补偿训练】在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于()A.1∶2∶3 B.3∶2∶1C.1∶QUOTE∶2 D.2∶QUOTE∶1【解析】选C.因为A∶B∶C=1∶2∶3,A+B+C=π,所以A=QUOTE,B=QUOTE,C=QUOTE,由正弦定理,得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=1∶QUOTE∶2.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB+bcosA=4sinC,则△ABC的外接圆面积为()A.16π B.8πC.4π D.2π【解题指南】设△ABC的外接圆半径为R,由acosB+bcosA=4sinC,利用余弦定理化简可得c=4sinC,利用正弦定理可求2R=QUOTE=4,解得R=2,从而可得结果.【解析】选C.设△ABC的外接圆半径为R,因为acosB+bcosA=4sinC,所以由余弦定理可得a×QUOTE+b×QUOTE=QUOTE=c=4sinC,所以2R=QUOTE=4,解得R=2,所以△ABC的外接圆面积为S=πR2=4π.【补偿训练】在△ABC中,若sinA=QUOTE,a=10,则边长c的取值范围是()A.(0,10)B.(10,+∞)C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,得c=QUOTE=QUOTEsinC,又sinC∈(0,1],所以c∈(0,QUOTE].6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足sinBQUOTE=2sinAcosC+cosAsinC,则下列结论可能正确的是()A.a=2b B.b=2cC.B=QUOTE D.C=QUOTE【解析】选AD.由题意,得sinB+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),cosC(2sinBsinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,得C=QUOTE或2b=a.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=QUOTE,则b=________.

【解析】因为在△ABC中,A=105°,C=45°,所以B=180°AB=180°105°45°=30°.再由正弦定理QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得b=1.答案:18.在△ABC中,若AB=QUOTE,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为________.

【解析】如图所示,由正弦定理,得sinC=QUOTE=QUOTE.而c>b,所以C=60°或C=120°.所以A=90°或A=30°.所以S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知△ABC中,a=QUOTE,b=QUOTE,B=45°,求A,C和边c.【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE.因为a>b,所以A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°45°60°=75°,c=QUOTE=QUOTE,当A=120°时,C=180°45°120°=15°,c=QUOTE=QUOTE.10.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sinQUOTE的值.【解析】(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正弦定理、余弦定理得a=2b·QUOTE.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2QUOTE.(2)由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由于0<A<π,所以sinA=QUOTE=QUOTE=QUOTE.故sinQUOTE=sinAcosQUOTE+cosAsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知在△ABC中,a=1,b=QUOTE,B=45°,则A等于()A.150° B.90° C.60° D.30°【解析】选D.由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,得sinA=QUOTE.又a<b,所以A<B=45°,所以A=30°.2.在△ABC中,若∠A>∠B,则下列结论一定正确的是()A.sinA>sinB B.sinA<sinBC.sinA>cosB D.cosA>cosB【解题指南】先由三角形大角对大边,再由正弦定理变形公式判断.【解析】选A.设∠A,∠B对应的边分别为a,b,因为∠A>∠B,所以a>b,由正弦定理得,2RsinA>2RsinB,即sinA>sinB.【补偿训练】在△ABC中,若sinA>sinB,则A与B的大小关系为()A.A>BB.A<BC.A≥B D.A,B的大小不能确定【解题指南】先由正弦定理说明a>b,然后再根据△ABC中大角对大边的原理去判断.【解析】选A.由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB.因为sinA>sinB.所以a>b,所以A>B.3.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A+cos2B=2cos2C,则下列结论正确的是()A.C≤60° B.C>60°C.a2+b2=c2 D.a2+b2=2c2【解题指南】利用二倍角公式化简条件等式,利用正弦定理建立三角形的边长的关系式,利用余弦定理的变形公式确定角的取值范围.【解析】选AD.由cos2A+cos2B=2cos2C,得12sin2A+12sin2B=2(12sin2即sin2A+sin2B=2sin2由正弦定理可得a2+b2=2c2.由余弦定理可得c2+2abcosC=2c2,所以cosC=QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,所以cosC的最小值为QUOTE,由于函数y=cosx,x∈(0,π)为减函数,所以0<C≤QUOTE,即C≤60°.4.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2acosB=c,且满足sinAsinB(2cosC)=sin2QUOTE+QUOTE,则△ABC为()A.锐角非等边三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.根据等式2acosB=c,利用正弦定理化简得2sinAcosB=sinC,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosBcosAsinB=sin(AB)=0,因为A与B都为△ABC的内角,所以AB=0,即A=B.方法一:由sinAsinB(2cosC)=sin2QUOTE+QUOTE变形得sin2A[2cos(π-2A)]=QUOTE(1cosC)+QUOTE=1QUOTEcosC=1QUOTEcos(π-2A),即sin2A(2+cos2A)=1+QUOTEcos2A,sin2A(1+2cos2A)=QUOTE+cos2A,(1cos2A)(1+2cos2A)=QUOTE+cos2A,得cos4A=QUOTE,cos2A=QUOTE,得cosA=±QUOTE,由于0°<A<90°,所以A=B=45°,C=90°,则△ABC为等腰直角三角形.方法二:由sinAsinB(2cosC)=sin2QUOTE+QUOTE变形得sinAsinB(2cosC)=QUOTE(1cosC)+QUOTE=1QUOTEcosC,QUOTE[cos(A+B)cos(AB)](2cosC)=1QUOTEcosC,所以QUOTE(cosC1)(2cosC)=1QUOTEcosC,即(cosC+1)(2cosC)=2cosC,因为2cosC≠0,所以cosC+1=1.所以cosC=0,所以C=90°,则△ABC为等腰直角三角形.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=QUOTEbsinA,则sinB=________.

【解析】由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,所以sinA=QUOTEsinB·sinA,故sinB=QUOTE.答案:QUOTE6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则QUOTE=________.

【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b,即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(πA)=2sinB,有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,QUOTE=2.方法二:如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即QUOTE=2.答案:27.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足2b=a+c,且AC=90°,则cosB=________.

【解析】因为2b=a+c.所以由正弦定理,得2sinB=sinA+sinC.因为AC=90°,所以2sinB=sin(90°+C)+sinC,所以2sinB=cosC+sinC.所以2sinB=QUOTEsin(C+45°).①因为A+B+C=180°且AC=90°,所以C=45°QUOTE,代入①式中,2sinB=QUOTEsinQUOTE.所以2sinB=QUOTEcosQUOTE.所以4sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEcosQUOTE.所以sinQUOTE=QUOTE.所以cosB=12sin2QUOTE=1QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则QUOTE的值等于________,AC的取值范围为________.

【解题指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函数的值域求取值范围.【解析】设A=θ,则B=2θ.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=1⇒QUOTE=2.由锐角△ABC得0°<θ<45°,又0°<180°3θ<90°⇒30°<θ<60°,故30°<θ<45°⇒QUOTE<cosθ<QUOTE,所以AC=2cosθ∈(QUOTE,QUOTE).答案:2(QUOTE,QUOTE)三、解答题(共38分)9.(12分)已知在△ABC中,D为BC的中点,cos∠BAD=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE,(1)求∠BAC的值;(2)求QUOTE的值.【解析】(1)因为cos∠BAD=QUOTE,cos∠CAD=QUOTE,所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD为锐角,所以sin∠BAD=QUOTE,sin∠CAD=QUOTE,cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)=QUOTE×QUOTEQUOTE×QUOTE=QUOTE,因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE.(2)在△ABC中,QUOTE=QUOTE,在△ABD中,QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,又因为BC=2BD,所以QUOTE=QUOTE.10.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b=6,a=2QUOTE,A=30°,试求ac的值.【解析】由正弦定理QUOTE=QUOTE得sinB=QUOTE=QUOTE.由条件b=6,a=2QUOTE,b>a知B>A.所以B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°AB=180°30°60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=2QUOTE,b=6,c=4QUOTE,所以ac=2QUOTE×4QUOTE=24.(2)当B=120°时,C=180°AB=180°30°120°=30°,所以A=C,则有a=c=2QUOTE.所以ac=2QUOTE×2QUOTE=12.11.(14分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为acsin2B.(1)求si