新北师大版八年级数学下第一章三角形的证明+同步练习(4份)同步练习含答案

1.1等腰三角形一、选择题1．如图1－22所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，那么∠A等于()A．30°B．40°C．45°D．36°2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，如图1－23所示，那么图中的等腰三角形有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图1－24所示，在□ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，那么BE等于()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm4．下面几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中是等边三角形的有()A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设.6．等腰三角形的顶角α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分成了两个等腰三角形，那么α的度数为．三、解答题7．如图1－25所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)BO＝DO．8．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，如图1－26所示，写出、求证，她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．彬彬：作△ABC的角平分线AD．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要改正．”(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．9．四边形ABCD是正方形．(1)如图1－27(1)所示，点G是BC边上任意一点(不与B，C两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证△ABF≌△DAE；(2)在(1)中，线段EF与AF，BF的等量关系是；(不需证明，直接写出结论即可)(3)如图1－27(2)所示，假设点G是CD边上任意一点(不与C，D两点重合)，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，那么图中的全等三角形是，线段EF与AF，BF的等量关系是．(不需证明，直接写出结论即可)10．如图1－28所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD＝BE，求证△ABC是等腰三角形．11．如图1－29所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上．CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F，求证AB＝FC．参考答案1．D[提示：此题综合考查三角形内角和定理、外角的性质及等腰三角形的性质．由AD＝BD，得∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A，由BD＝BC，得∠C＝∠BDC＝2∠A．由AB＝AC，得∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即∠A＝36°．]2．D[提示：△ABD，△ACD，△AOD，△BOC都是等腰三角形．]3．A[提示：由DE平分∠ADC，得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC，得∠ADE＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC＝6cm，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2(cm)．]4．B［提示：利用等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形，③为等腰三角形．]5．三角形中没有大于或等于60°的角(或三角形的所有内角都小于60°)6．108°[提示：画出图形，利用三角形内角和求解．]7．证明：(1)在△ABC和△ADC中，∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，∴△ABC≌△ADC．(2)由(1)知AB＝AD，又∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO，∴OB＝OD．8．解：(1)过点A作BC的垂线，不一定过BC的中点，如果连接点A和BC中点D，那么AD与BC不一定垂直．(2)证明：作△ABC的角平分线AD，那么∠BAD＝∠CAD，又∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC．9．(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°．在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE．在△ABF与△DAE中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(AAS)．(2)EF＝AF－BF(3)△ABF≌△DAEEF＝BF－AF10．证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠1＝90°，∴∠A+∠D＝∠C+∠1．又∵BD＝BE，∴∠2＝∠D(等边对等角)．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC(等角对等边)，∴△ABC是等腰三角形．11．证明：FE⊥AC于点E，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，∴∠F+∠ECF＝90°．又∵CD⊥AB于点D，∴∠A+∠ECF＝90°，∴∠A＝∠F．在△ABC和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC＝CE，∴△ABC≌△FCE，∴AB＝FC．1.2直角三角形一、选择题1．以下命题中，是真命题的是〔〕A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同位角互补C．等腰三角形的两个底角相等D．直角三角形中两锐角互补2．假设三角形三边长之比为1∶∶2，那么这个三角形中的最大角的度数是〔〕A．60°B．90°C.120°D．150°3．在△ABC中，假设∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，那么其各角所对边长之比等于〔〕A．∶1∶2B．1∶2∶C．1∶∶2D．2∶1∶4．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是〔〕A．相等B．互补C．相等或互补D．相等或互余5．具备以下条件的两个三角形可以判定它们全等的是〔〕A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等D．两个直角三角形中的斜边对应相等二、填空题6．在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，那么此等腰三角形的底边上的高是．7．△ABC中，边长a，b，c满足a2＝b2＝c2，那么∠B＝.8．如图1－46所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，那么海轮行驶的路程AB为海里〔结果保存根号〕．三、解答题9．等腰三角形ABC中，AB＝AC＝cm，底边BC＝cm，求底边上的高AD的长．10．如图1－47所示，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点F处，假设AB＝12cm，BC＝〔1〕求AE的长；〔2〕求重合局部的面积．11．如图1－48所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．〔1〕求证B′E＝BF；〔2〕设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜测a，b，c之间的一种关系，并给出证明．12．三个牧童A，B，C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原那么是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时，他们所需走的最大距离〔看守点到本区域内最远处的距离〕相等．按照这一原那么，他们先设计了一种如图1－49〔1〕所示的划分方案，把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心〔对角线交点〕，看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图1－49〔2〕所示，三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图1－49〔3〕所示，把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个要所需走的最大距离相等．〔1〕牧童B的划分方案中，牧童〔填“A”“B”或“C”〕在有情况时所需走的最大距离较远．〔2〕牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原那么?为什么?〔提示：在计算时可取正方形边长为2〕参考答案1．C[提示：可以举出例子说明A，B，D为假命题．]2．B[提示：设三边长分别为a，a，2a，那么a2+〔a〕2＝〔2a〕23．D[提示：∠A＝90°，∠B＝30°，∠C＝60°．]4．C[提示：如图1－50〔1〕所示，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD⊥BC于点D，A′D′上B′C′于D′点，且AD＝A′D′，根据HL可判定Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B＝∠B′．如图1－50〔2〕所示，可知此时两角互补．]5．B[提示：利用HL可证明．]6．a或a[提示：由题意可以画出如图1—51所示的两种情况．]7．60°[提示：b2=3a2，c2=4a2c2=a2+b2，b=a，c=8．40+40[提示：在Rt△ACP中，APC=45°，AP=40,∴AC=PC=40．在Rt△PCB中，∠PBC=30°，BC=40,∴AB=AC+BC=40+40.]9．解：∵AD为底边上的高∴BD=CD=BC=×=(cm)．在Rt△ABD中由勾股定理，得AD===2cm10．解：(1)∵∠CBD=∠FBD(轴对称图形的性质)，又∠CBD=∠ADB(两直线平行，内错角相等)，∴∠FBD=∠ADB(等量代换)．∴EB=ED(等角对等边)．设AE=xcm，那么DE=(16一x)cm，即EB=(16一x)cm，在Rt△ABE中，AB2=BE2一AE2即l22=(16一x)2一x2，解得x=3．5．即AE的长为3．5cm．(2)BA⊥AD，∴S△BDE=DE•BA=×(16—3.5)×12=75(cm2)．11．(1)证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE．在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′F=B′E．∴B′E=BF．(2)解：a，b,f三者关系有两种情况．①a，b,c三者存在的关系是a2十b2=c2.证明如下：连接BE，那么BE=B′E．由(1)知B′E=BF=c∴BE=c．在△ABE中，∠A=90°∴AE2+AB2=BE2∵AE=aAB=b，∴a2+b2=c2．②a．b，c三者存在的关系是a+b>c证明如下：连接BE，那么BE=B′E．由(1)知B′E=BF=c，BE=f．在△ABE中，AE+AB>BE∴a+b>c.12．解：(1)C[提示：认真观察，用圆规或直尺进行比拟，此方法适用于标准作图．](2)牧童C的划分方案不符合他们商量的．划分原那么．理山如下：如图1－52所示，在正方形DEFG中，四边形HENM，MNFP，DHPG都是矩形，且HN=NP=HG，那么EN=NF，S矩形HENM=S矩形MNFP，取正方形边长为2．设HD=x，那么HE=2一x,在Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG，得EH2+EN2=DH2+DG2，即(2一x)2+l2=x2+22，解得x=,∴HE=2－x=,∴S矩形HENM=S矩形MNFP=1×=,∴S矩形DHPG≠S矩形HEMN∴牧童C的划分方案不符合他们商量的原那么．1.3线段的垂直平分线一、选择题1．MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，那么∠CAD和∠CBD之间的大小关系是〔〕A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD＝∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.无法判断2．如图1－75所示，在△ABC中，AD垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，那么AB＋DB与DE之间的数量关系是〔〕A.AB＋DB>DEB.AB＋DB<DEC.AB＋DB＝DED.无法判断3．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，假设△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，那么△ABC的腰长和底边BC的长分别是〔〕A．24cm和12cmB.16cm和22cmC．20cm和16cmD．22cm和16cm4．如图1－76所示，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，其作法是〔〕A.连接BA并延长与l的交点为PB.连接AB，并作线段A月的垂直平分线与l的交点为PC.过点B作l的垂线，垂线与l的交点为PD.过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，使A′O＝AO，再连接A′B，那么A′B与L的交点为P5．假设一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是〔〕A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定二、填空题6．到线段AB两个端点距离相等的点，在.7．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，假设AD＝2cm，那么BD＝cm．三、解答题8．如图l－77所示，在△ABC中，∠BAC＝110°，PM，QN分别垂直平分AB，AC，求∠PAQ的度数．9．如图1－78所示，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8cm，AB＝6cm，BC边的垂直平分线DE交BC于E，交AC于D，求△ABD的周长．10．如图l－79所示，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于点D，假设△DBC的周长为35cm，求BC的长．11．如图1－80所示，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，△ADE的周长为12cm，求BC的长．12．如图1－81所示，A，B是公路l〔l为东西走向〕两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东45°方向上．〔1〕求A，B两村之间的距离；〔2〕为方便村民出行，方案在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置．〔保存清晰的作图痕迹，并简要写明作法〕13．如图1－82所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．参考答案1．B[提示：△CAD≌△CBD]2．C[提示：因为AB＝AC，BD＝CD，所以AB＋DB＝AC＋DC＝EC＋DC＝DE]3．D[提示：AB的垂直平分线与边AC交于D，那么BD＝AD，故BD＋DC＝AC，所以AB＝60－38＝22〔cm〕，AC＝22cm，BC＝38－22＝16〔cm〕．]4．D[提示：由D中作法知，直线l垂直平分AA′，那么PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，两点之间线段最短．]5．C[提示：直角三角形的三边垂直平分线交于斜边的中点处．]6．线段AB的垂直平分线上7．2[提示：AD＝CD＝BD．]8．解：∵∠BAC=110°，∴∠B＋∠C；180°－110°=70°．∵PM，QN分别垂直平分AB，AC，∴△BPM≌△APM，△CQN≌△AQN．∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝70°．∴∠PAQ=∠BAC－∠BAP－∠CAQ＝110°－70°＝40°．9．解：∵DF垂直平分BC，∴BD＝DC，∴AC=AD＋DC=AD＋BD＝8cm．又∵AB＝6cm，∴AB＋AD＋DB＝14cm，即△ABD的周长为14cm．10．解：因为D正垂直平分AB，垂足为正，D正交AC于点D，所以DA＝DB，所以BD＋DC＝AD＋DC＝20cm．又因为△DBC的周长为35cm，即BD＋DC＋BC＝35cm，所以BC=15cm．11．解：因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，所以DA＝DB，EA=EC，所以BC＝BD＋DE＋EC＝DA十DF＋AE，即为△ADE的周长．又因为△ADE的周长为12cm，所以BC＝12cm．12．解：如图1－83所示．〔1〕方法1：设AB与CD的交点为O，根据题意可得∠A=∠OBD=45°，∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形，∴AO＝，BO＝，∴A，B两村的距离为AB=AO＋BO＝＋2＝3〔km〕．方法2：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E，易证四边形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝2．在Rt△AEB中，由∠A=45°，可得EF＝CA＝3，∴AB＝〔km〕．〔2〕作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于两点M，N，作直线MN；②直线MN交l于点P，点P即为所求．13．解：OE⊥AB证明如下：在△BAC和△ABD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD，AB＝BA，∴△BAC≌△ABD，∴∠OBA＝∠OAB，∴OA＝OB．又AE＝BE，∴OE⊥AB．

1.4角平分线一、选择题1．如图1—101所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别在D′,C′的位置，假设∠EFB=65°，那么∠AED′等于〔〕A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图1—102所示．在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．假设AB=6cm，那么DEB的周长为〔〕A．12cmB．8cmC．6cmD．4cm3．如图1—103所示，D，E分别是△ABc的边AC．Bc上的点，假设△ADB≌△EDB≌△EDC，那么∠C的度数为〔〕A．15°B．20°C．25°D．30°4．如图1—104所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，以下结论不一定成立的是〔〕A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP二、填空与解答题5．补全“求作∠AOB的平分线”的作法：①在OA和OB上分别截取OD，OE．使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C；③连接OC．那么OC即为∠AOB的平分线．6．如图1—105所示，D，E，F分别是,ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证AD平分∠BAC．7．如图1—106所示，AD为ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，求证AM⊥EF．8．如图1—107所示，,在EAABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25．△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？?如果有，请作出这一点，并且说明理由，同时求出这个距离；如果没有，请说明理由．〔简要说明作图过程即可〕9．某考古队为进行考占研究，寻找一座古城遗址，根据资料记载，这座古城在森林附近，到两河岸距离相等，到古塔的距离是3000m．根据这些资料，考古队员很快找到了这座古城的遗址．请你运用学过的知识在图l—108上找到古城的遗址〔比例尺为1：100000〕．10．学完了“角平分线”这节内容，爱动脑筋的小明发现了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在如图1—109所示的RtAABC的斜边AB上取点E，使BE=BC，然后作DE⊥AB交AC于点D，那∠BD就是∠ABC的平分线．你认为他的作法有道理吗？说说你的看法．11．现有一块三角形的空地，其三边的长分别为20m，30m，40m，现要把它分成面积为2：3：4的三局部，分别种植不同的花草，请你设计一种方案，并简单说明理由．12．如图1—110〔1〕所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题．〔1〕如图1一110〔2〕所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系；〔不要求写证明〕〔2〕如图1-110〔3〕所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而〔1〕中的其他条件不变，那么〔1〕中所得的结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由．参考答案1．C[提示：折痕EF恰为∠DED′的角平分线，∴∠DEF=∠D′EF．又∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED′=65°×2=130°∴∠AED′=180°一∠DED′=50°．]２．Ｃ［提示：易知DE=DC，AE=AC=BC，∴BE＋DE＋BD=BD＋DC＋BE＝BC＋BE=AC＋BE=AE＋BE=AB=6cm．]3．D[提示：易证∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°．]4．D[提示：证明△OAP≌△OBP，可得答案．]5.大于DE长．6．证明：如图1一l11所示，过点D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，因为S△DCE=S△DBF,所以CＥ•DG=BF•DH，又CE=BF，所以DG=DH，所以点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC．7．证明：因为AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，所以DF=DE．AF=AE，∠FAM=∠AF=AE，∠FAM=∠EAM，AM=AM，AD=AD，DF=DE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，所以Rt△ADF≌Rt△AD〔HL〕．所AF=AE．在△AMF和△AME中，所以△AMF≌△AME〔ＳＡＳ〕，所以∠AMF=∠AME．又因为∠AMF＋∠AME=180°，所以∠AMF=∠AME=90°，即AM⊥EF8．解：有，如图1一112所示，作∠BAC，∠ACB的平分线，它们的交点P即为符合要求的点．