2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高二年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市高二下学期期中数学模拟试题

一、单选题

1.在复平面内，复数Z对应的点为（-1,2）,则U=（）

35.

A.1B.iC.—iD.---------i

22

【正确答案】B

【分析】根据复数的几何意义可得z=-l+2i,根据复数除法运算即可求解.

【详解】由题意可得z=-l+2i,故

l+ιl+ι

故选：B.

2.1至9中的质数能够组成没有重复数字的整数的个数为（）

A.24B.36C.48D.64

【正确答案】D

【分析】先得出1至9中的质数2,3,5,7,再排列组合即可.

【详解】由题意得1至9中的质数为2,3,5,7四个数，故能组成的无重复数字的整数有:

A；+Aj+A：+A：=64,即D正确.

故选：D

3.函数f（x）=x+sinx的大致图象是（）

【正确答案】A

【分析】判断函数的奇偶性，通过求导判断函数的单调性，利用排除法即可得解.

【详解】因为/(-x)=(-x)+sin(-X)=-X-Sin尤=-∕(x),所以f(χ)是奇函数，

从而/(x)的图像关于原点对称.故排除B和C.

因为尸(X)=I+cosx≥0,所以f(x)是增函数，故排除D

故选：A.

4.若函数/(力=(炉-以-2)e*有两个极值点且这两个极值点互为倒数，则/'(2)=()

A.14e2B.15e2C.-D.-

ee~

【正确答案】B

【分析】先求函数/(x)的导函数，根据极值点互为倒数应用韦达定理，

得出。，即可求出导函数的值.

［详解］f∖x)=(^~ax~^et+(x2-0x-2)(e')'=(2x-Λ)et+(x2-0x-2)ex

=［χ2+(2-6f)x-(α+2)Jex

函数〃x)的极值点即方程d+(2-a)x-(α+2)=0的两个实根，

由题意可知，两实根互为倒数，则-(α+2)=l,解得α=-3,

所以尸(x)=(f+5x+1卜*,故/⑵=15/,

故选.B

5.为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”、“数学建模”、“古今数学思想”、“数学探究”、

“中国大学先修课程微积分学习指导''五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二

两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式为()

A.30B.20C.15D.10

【正确答案】A

【分析】将五门课程分为两组，每组的数量分别为1、4或2、3,然后将这两组课程分配给高一、

高二两个学年，利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】将五门课程分为两组，每组的数量分别为1、4或2、3,

然后将这两组课程分配给高一、高二两个学年，

所以，每位同学不同的选修方式种数为(Ci+C；)A；=15x2=30.

故选：A.

2

6.定义运算："0=ala4-a2a3,将函数/(x)="‘口"X的图像向左平移多个单位，所得图

%%1cosωx3

像对应的函数为偶函数，则。的可能取值是()

15-73

A.-B.—C.—D.—

4444

【正确答案】C

【分析】根据三角函数图象的变换求得变换后的解析式，再根据偶函数的定义求解.

【详解】由题可知，于⑺="Si"69"=&COSGX-Sinsr=2cos(切尤+g),

1cosωx6

将/(X)的图像向左平移M个单位，所得函数为y=cos(3x+=3+5),

336

因为所得图像对应的函数为偶函数，

所以生0+4=EJI∈Z,解得G=-'+3A∕∈Z,

3642

因为％∈rZ,所以G=LZLK¥，

4444

故选：C.

7.根据以往经验，一超市中的某一商品每月的销售量八单位：件)与销售价格R单位：元/件)满足

关系式y=—R+2(X-50)2,其中20<x<50.已知该商品的成本为20元/件，则该超市每月销售该

商品所获得利润的最大值为()

A.8600元B.8060元C.6870元D.4060元

【正确答案】B

【分析】根据已知销售价格列出利润函数，然后利用导数求得最大值.

【详解】设超市每月销售该商品所获得的利润为/(x)元，

则/(x)=(x-20)——+2(x-50)-=60+2(x-20)(x-50)^,20<x<50,

LX-20

∕,(Λ)=2[(X-50)2+2(X-50)(X-20)]=6(x-30)(x-50),

令片x)>0,得20<x<30,则F(X)在(20,30)上单调递增;令用x)>0,得30<x<50,则〃x)

在(30,50)上单调递减.所以“Λ∙)的最大值为/(30)=8060.

故选：B.

8.设a=3(31n3),旌辿,C=学，则。，b,c的大小关系是()

e332

A.h<a<cB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<b

【正确答案】C

【分析】根据三个式子的结构，构造函数求导判断单调性，进而比较

/(χ)=(,fb=/(6),

c∙=∕(2)的大小，即可得α,b,C的大小关系.

Ine，

【详解】令〃力=(，则。=3(3：｝3)T=ffeʒ

5

3

.Inʌ/ðIn6..In2ln4

b=——=——=/⑹zr，c=-=-=f(4),

3624

由/(X)=叱可得r*)=匕U且x>()，

XX

由r(x)<O可得x>e；所以/(χ)=(在(e,+8)上单调递减,

‘e''

因为一二6.56>6>4,所以了<∕(6)<∕(4))

33

所以Q<∕7<C,

故选：C.

二、多选题

9.等差数列｛q｝的公差为d,前〃项和为S“，当首项卬和d变化时，%+/+%是一个定值，则下

列各数也为定值的有

A.%B.%C.S∣5D.Sg

【正确答案】BC

根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.

【详解】由等差中项的性质可得%+&+%=3&为定值，则％为定值，Hs=曳管9=15%为定

值，但九=曳空』=8(/+%)不是定值.

故选：BC.

本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

4

10∙(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点，且渐近线方程为y=±]X,则下列

结论正确的是()

A.C的方程为工—二=1B.C的离心率为。

9164

C.焦点到渐近线的距离为3D.∖PF∖的最小值为2

【正确答案】AD

4γ2,,2

由双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±gx,可得双曲线C的二-乙，再根据双曲

3916

线的性质对每一个选项进行逐一判断即可.

4

【详解】双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±§x,

h4

可得C=5,焦点坐标在X轴上，所以厂屋

由。2=。2+尸=25,所以~=4,α=3,

所以C的方程为V-亡=1,4正确;

916

离心率为e=g,8不正确;

4×5

焦点到渐近线的距离为启春K=4,C不正确;

IPFl的最小值为c-α=2,。正确.

故选：AD

11.如图，平面43CD工平面ABEF,四边形ABCD是正方形，四边形ABE尸是矩形，若G是EF的

中点，AE=I,AB=2,贝IJ()

A.ACBG=-∖B.EF〃平面ABCZ)

C.AG±BCD.三棱锥C-ABG外接球的表面积是跳

【正确答案】BCD

【分析】利用已知结合数量积的运算求解可判断选项A,由线面平行的判定定理可判断选项B,由面

面垂直的性质定理可判断选项C,计算可得.AGC为直角三角形，再由ABC为直角三角形，可知AC

为三棱锥C-ΛBG的外接球的直径，再由球的表面积公式可判断选项D.

【详解】解：AC=AB+AD,BG=BE+^BA=AF-^AB,

：.AC-BG=(AB+AD)^AFAB^,

又AB.AF.Ao两两相互垂直,

ΛAC-BG=-Alf=-2,A错误，

四边形ABEF是矩形，

•••EFHAB,EFa平面ABCZ）,ABu平面A8CZ）,

Er〃平面ABeDB正确，

平面ABC£）1平面ABE凡四边形ABa）是正方形，BCj_Afi,平面ABCz）C平面ABEF=A8,

.∙.3C，平面ABEF,AGU平面A8EF,：.AGJ.3C,C正确，

AG'=AF2+FG-=2,GC2=BC2+BE2+EG2=6,

AC2=AB2+BC2=S,AGC为直角三角形，

又一ABC为直角三角形，.∙∙AC为三棱锥C-ABG的外接球的直径，

则三棱锥C-ΛBG的外接球的表面积S=4∕rx（竿）=8万.

故选：BCD.

12.现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有4$种放法

B.全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有C>A：种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法

D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C>A：种不同的放法

【正确答案】ACD

【分析】对于A,利用分步乘法计数原理计算可判断A正确；对于B,先将5个球分为2组，再全

排，计算可判断B不正确；对于C,利用分步乘法计数原理计算可判断C正确；对于D,先将5个

球分为4组，再全排，计算可判断D正确；

【详解】对于A,带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里,共有4×4×4×4×4=45

种放法，故A正确；

对于B,带有编号1、2、3、4、5的五个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有C8W

选法，第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为1：4有C；种分法；若两组球个数之比为2：

3有C；种分法，第三步将两组排给两个盒子有A；种排法，因此共有C：（C"C；）A；=180,故B不

正确；

对于C,带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不

投入），第一步选4个球有C；种选法，第二步选一个盒子有种C；选法，共有C〉C：种放法，故C正

确：

对于D,带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5

球分成2：1：1：1的四组共有C；种分法，第二步分给四个盒子有A：种排法，故共有C〉A：=240种

放法，故D正确；

故选：ACD.

13.对于函数〃引=与，下列说法正确的是()

A./(√2)<∕(√^)<∕(√3)B./(x)在X=正处取得极大值(

1P

C.f(x)有两个不同的零点D.若〃■在(0,+8)上恒成立，贝麟>5

【正确答案】ABD

【分析】利用导数研究函数/O)的单调性，结合极值的定义判断选项AB；由函数零点的定义可判断

选项C；构造函数g(x)=〃x)+5，利用导数求函数g(x)的最大值，可判断D.

【详解】对于函数Fa)=半，χ∈(o,÷∞),

Jr

z/、1—2IrIX,c、

/W=---3-，Xw(O,+∞);

X

令/'(X)=O,得21nx=l,解得X=

当0<x<五时，ΓU)>O,所以函数在(0,4)上为单调递增函数，

当x>6时，r(x)<0,所以函数在(人,+8)上为单调递减函数，

Λ∕(√^)<∕(^),又/(&)=殍=f(2)<f(6),

Λ∕(√2)<∕(√^)<∕(√3),故A正确；

所以函数在X=G处取得极大值/(五)=上，故B正确；

因为/(x)=0时，Wlnx=O,解得x=l,所以函数/⑶只有一个零点，选项C错误；

因为/(x)<"｝在(0，+8)上恒成立，则Qf(X)+J在(0,+8)上恒成立，

令g(χ)=f(χ)+g=等，则g'(χ)=^zl,

令/(X)=0,解得x-eT，

Λ-V

当0<x<∕时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当χ>e+时，g'(x)<°,则g(x)单调递减，

所以当x-eT时，g(x)g=ge/=-,所以火＞；,选项D正确.

A-C、/maxjZ.2

故选：ABD.

14.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详

解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数

都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是()

第O行I

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行1510IO51

A.在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84

B.由“第”行所有数之和为2""猜想：C+C"C++C'∙=2"

C.在“杨辉三角”中，当〃=12时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为286

D.在“杨辉三角”中，第〃行所有数字的平方和恰好是第2”行的中间一项的数字

【正确答案】ABCD

【分析】根据给定的“杨辉三角”，结合二项式定理、组合数计算、组合数的性质逐项分析计算判断

作答.

【详解】在“杨辉三角''第9行中，从左到右第7个数是C；=84,A正确；

由“第"行所有数之和为2""猜想：C+c;+C；++c∙=τ,

π

因为(l+x)"=C+C%+C%2++C>,贝IJ令x=l得：C+C,+C++C；=2",B正确；

在“杨辉三角”中，当"=12时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为：

C；+C；+C：+.+C：2=C；+C；+C：++4=C+G++C1==C：2+C；2=C：3=286,C正确;

在“杨辉三角”中，第八行所有数字的平方和恰好是第2〃行的中间一项的数字，

即©y+(CJ+©丫+…+C)2=G,

nnw2H2

因为(1+χ)2"=(1+χ)”(1+Λ)=(cθ+CJ1X+cy+C-nx)(c›+C；T/+C7X^++C；)

对应相乘可得X"的系数为©)2+(C：)2+©7+∙+(C：)2,

n

而二项式(l+x)2"展开式的通项公式耳=G,K,r≤2",reN,当r=〃时，T2n=C'',,x,

则广的系数为：q„,所以C)°+(CJ+©J++(C,=C；”,D正确.

故选：ABCD

三、填空题

15.抛物线X=Ly2的焦点坐标为______.

4

【正确答案】(1,0)

【分析】将抛物线化为标准方程，根据定义求得焦点坐标.

【详解】抛物线标准方程为：V=4χ

焦点坐标为：(LO)

本题考查根据抛物线方程求焦点的问题，关键是要将方程化为标准方程的形式，属于基础题.

16.哈尔滨市第一二二中学高二数学组织华容道大赛，七名数学老师依次登场，在安排出场顺序时,

三个班主任需要排在一起登场，这样出场顺序一共有种.(用数字作答)

【正确答案】720

【分析】利用捆绑法即可求解.

【详解】利用捆绑法，共有A；A；=720种安排方法，

故答案为:720.

17.已知-一］尸N*)的展开式中所有二项式系数之和是64,则它展开式中N的系数

【正确答案】-3

【分析】利用二项式定理系数的性质，求出"，然后通过二项式定理的通项公式求出/项即可.

【详解】解：［4-十］的展开式的二项式系数之和为64,所以2"=64,所以〃=6,由二项式定

理的通项公式得：

(+1=CX-^=)6τ(--^=)r=(-∙∣),'Qx3'r,当r=1时，展开式中炉项的系数为：(一；卜:=-3∙

故答案为.-3

18.已知函数/(x)=e'+奴-2,其中αwR,若对于任意的与,x2∈［2,y)，且王＜w，都有

Λ2∕(XJ-Xj(X2)<。(八一w)成立，则实数a的取值范围是.

【正确答案】(Fe2+2]

【分析】根据题意转化为"'.'"V"%)+"对任意的不比e[2,÷w)恒成立,令MX)J(XH”,

ɪiX?X

进而转化为"(x)≥0恒成立，得到o-2≤xe'-e'在[2,+∞)恒成立，令g(x)=xe'-e`,利用导数求

得函数g(x)为单调区间和最小值，得到α-2≤e2,即可求解.

【详解】由对于任意的与,工2w[2,+∞),且再<x2,都有々/(玉)一玉/(w)<α(%-%2)，

则，(%)+"</㈤+"对于任意的.Λ⅛∈[2,田>)恒成立，

x]x2

令MX)=,则不等式等价于Λ(Λ1)<Mw)对于任意的xe[2,田)恒成立，

即人(x)在区间[2,+∞)单调递增，

又由"x)=e"+αr-2,可得MX)=/+f2+α,

则"(X)=""F",即"(X)=胆，-3+2一〃≥。在[2,+∞)恒成立，

即xe*-e*+2-αNO在[2,+∞)恒成立，即a-2≤xe'-ev在[2,+∞)恒成立，

令g(x)=xe*-e',xe[2,+∞),可得g'(x)=Λe*>0恒成立，

所以函数g(x)为单调递增函数，所以g(x)≥g(2)=e2,

则q-2≤e"解得α≤e2+2,所以实数。的取值范围是(一"+2].

故答案为.(—,/+2]

知识方法：对于已知函数的单调性求参数问题：

(1)已知可导函数/(x)在区间。上单调递增，转化为区间。上/'(x)N0恒成立；

(2)已知可导函数/(x)在区间。上单调递减，转化为区间。上r(x)WO恒成立；

(3)已知可导函数/(x)在区间。上存在增区间，转化为∕qx)>O在区间。上有解；

(4)已知可导函数/(χ)在区间。上存在减区间，转化为r(χ)<o在区间。上有解.

四、解答题

19.已知αeR,函数/(x)=—5(4—1)厂—ar—3.

(1)当a=l时，求函数y=∕(x)在点(3J(3))处的切线方程；

(2)若函数/O)在区间(2,4)上是减函数，求。的取值范围.

【正确答案】(1)8x-y-21=0;(2)a≥4.

(1)求出f(x)在x=3处的导数，即切线斜率，求出/'(3),即可求出切线方程;

(2)可得/W40在(2,4)恒成立，由此可建立关系求解.

【详解】f'(x)=x2-(a-∖)x-a,

(1)当a=l时，/(3)=∣×33-^(l-l)×32-l×3-3=3,

∕,(3)=32-(l-l)×3-l=8,

・・・在点(3J(3))处的切线方程为y-3=8(x-3),即8x-y-21=0.

(2)函数/O)在区间(2,4)上是减函数，

.∙.f∖x)=X2--l)χ-a=(χ+l)(χ-a)≤0在(2,4)恒成立,

而》+1>0在(2,4)恒成立，

.^.x-a≤0在(2,4)恒成立，这时“24,

•••当函数Ax)在区间(2,4)上是减函数时，aN4.

20.在“ABC中，a,上C分别为内角A,B,C的对边，且2ccosC=a8s3+ACOSA.

(1)求C的大小；

(2)若6=3a,c=√7,求..ABC的面积.

【正确答案】(1)C=g;(2)也.

34

【分析】(1)先利用正弦定理将2ccosC=acosB+6cosA转化为

2sinCcosC=SinAcos8+sinβcosA,再利用两角和的正弦公式化简可求得答案；

(2)由余弦定理结合已知条件可求出a=l,b=3,然后利用三角形的面积公式可求得结果

【详解】解：(1)∙.∙2ccosC=acosB+"cosA,

/.根据正弦定理三=工=，7;可得，

sinAsinBsinC

2sinCcosC=sinAcos8+sinBcosA,

2sinCcosC=sin(A+B),

Λ2sinCcosC=SinC.因为SinCW0,

/.CoSC二g,又C∈(θ,))

：.C=~.

3

(2)由余弦定理/=〃2+〃一2"∕7cθsC,人=3。得7=9/+/—3/，

解得α=l,由b=3α得。=3

所以一ABC的面积S=-ahsinC=-×∖×3sin-=^^-

2234

所以ΛBC的面积主叵.

4

21.如图，在四面体ABCD中，ABlAC,AoJ_平面ABC,点M为棱AB的中点，AB=AC=2,

(I)求直线BC与MO所成角的余弦值；

(II)求平面河和平面BZ)C的夹角的余弦值.

【正确答案】(I)也；(H)叵.

410

(I)以A为原点，分别以AB，AC,Az)的方向为X轴，y轴，Z轴的正方向的空间直角坐标系，

利用空间向量的夹角公式可求得结果；

(II)利用两个平面的法向量可求得结果.

【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以A8，AC,A。的方向为X轴，y轴，z轴的正方向

的空间直角坐标系(如图)，可得A((),(),0),M(1.0,0),8(2,0,()),C(0,2,0),“0,0,6)

D

(I)依题意3C=(-2,2,0),Λ∕D=(-1,O,√3).

..BCMD∣-2×(-l)+2×0+0×√3∣、万

cos<BC,MD>==―「——~~「—-=—,

11BCMD√4+4+0×√l+0+34

所以直线BC与MD所成角的余弦值为也.

4

(H)易知，AC=(0,2,0)为平面ABO的一个法向量，

依题意，可得BC=(-2,2,0),βD=(-2,0,√3).

TO-BC=O,j-2x+2y=0

设加=（X,y,z）为平面BCf）的法向量,

tn-BD-0,[-2X+Λ∕3Z=0

不妨令z=2,可得m=（瓜瓜2）.

∣w∙AC∣j√3∣_√3δ

因此有^osAC＞卜

∣w∣∣AC√3+3+4xj0+4+0—10

由图可知平面ABf）和平面BDC的夹角为锐角，

所以平面说和平面8。C的夹角的余弦值为我.

10

关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.

22.已知数列｛《,｝满足.a2=-6,«5=0,an+2+an=20,,+l

⑴求｛可｝的通项公式;

⑵若数列3,%%,，%是等比数列，且仁=8,求心关于〃的表达式.

【正确答案】（IM=2〃-10

(2)⅛,,=3×2n^'+5

【分析】(1)根据等差数列的定义判断得数列｛α,,｝是等差数列，计算公差d,再写出通项公式即可;

(2)根据(1)写出数列｛%,｝的通项公式，再根据等比数列计算公比，写出等比数列｛%｝的通项公

式，两式相等即可得尤,关于”的表达式.

［详解］(1)an+2+an=2αn+1an+2-an+l=an+l-an

所以数列｛〃“｝是等差数列，

设其公差为d,则d=%J=2,

,

..an=O2+("-2)d=2"-10.

所以数列｛%｝的通项公式为4=2"-10.

(2)由(1)知=2"-I(V=2Z,,-10.

因为数列3,项,外,,%是等比数列，且K=8,

.∙.数列3,%%,%•的公比q/=WI2=2,

由等比数列的通项公式可得q=3x2"

.∙.2⅛,,-10=3×2n,.∙.⅛,,=3×2"τ+5

23.已知函数/(x)=@+lnx-2(aeR).

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)若方程/(x)=α√+?有两个不同的实数根，求α的取值范围.

【正确答案】(1)答案见解析

⑵l⅛)

【分析】(1)对/(x)求导，分类讨论“40和a>0时尸(x)的正负，即可得出/U)的单调性；

(2)解法一：“方程"x)=Οr2+?有两个不同的实数根”等价于"函数g(x)=lnx-"