新高考数学复习：第2讲 高考分段函数处理策略

第2讲分段函数

函数与香蕉赛跑,跑到前面的香蕉觉得热，把外套脱了，结果后面的函数踩到，摔成两段，

就变成分段函数了，高考单独考一种函数，过于单一，而分段函数可以同时考查多种类型的函

数形式，是一种折中的考法，洪荒老师以全新、独一无二的视角阐述三大类分段函数即左右分

段函数、上下分段函数以及隐形分段函数.

第1节左右分段函数

g(彳)，彳2。

(不同区间•函数不等式不一样，

{h(J?)，尤<Q

当支)々时・f(/)=g(£),当时,/(1)=/'(4•),你别形而上学，认为分段函数只能分成

两段，分段函数可以是多段.只是高考常考两段而已.当然你也别不行就不上学)，同时再送你

Jim包子=馒头

一个“包子分段函数/殳)=馅””，开始咱们的分段函数的学习.

Ilim包子=丸子

'怯一>一

洪荒说/

(1)切记分段函数不是几个函数，而是一个函数，只不过在不同的区间，解析式不一样

而已.

(2)求分段函数fGr。)值时，要先确定才。在哪个区间，然后代入对应的解析式求值.

(3)分段函数出现形如的求值时，遵循“先内后外”即先计算/■(工。)，再计

算先“立。力

洪荒映例

x2,

例E1(2015•浙江•文T12)已知函数/«)=■6、则/(/(一2))=

J7H----6,z>l,

,/(z)的最小值是.

解析”/(—2))形如"/[/(I。)]”，由“洪荒说”可知遵循“先内后外”即要解决

/(/(—2)),得先解决“/(—2)”(将“一2”代入那个表达式？自己先烧点脑细菌)，但怎么求

/.(•r)的最小值呢？洪荒老师送你两种方法，具体解析如下：

14

V-2<1(</(—2),应代入/(.r)=*),贝I/(—2)=4,，f(/(-2))=f(4)

/6、61

14>1•代入/(i)=«r+--6中;=4+工一4=——.

解法一(分类讨论)：

(1)当时，/(7)=12在尤=0处取得最小值f(l)min=/(0)=0即/(£))0.

66

(2)当1>1时，/(了)=工-1——6£[24-6,+8)(。\-一”为对勾函数.其最小值

在1=痣处取得，若不知对勾函数何物.查看58页的•、洪荒说”.此处就不解释).

综上所述(切记只要分类讨论.就要综上所述)：/(父)>2再一6即/'(无)„而=24一6,故

分别填一；，2一6.

解法二(图像法)：

由题可作出/(1)的图像(分段函数图像切记关

注分界点是否连续.比如此例分界点在才=1,将其带

入。2”中.函数值为1.同时将其代入。+9-6”中，

JC

得函数值也为I.分界点函数值相等.说明连续)如下：

可知其最小值在1=病处确定最小值即f(])min=2

历一6(是不是比分类讨论容易,但有个前提得精通作图.一谈作图.是不是让你血气上涌、头

晕目眩、四肢乏力、胸闷恶心,别怕.请查看第4讲.你就会了)，故填一—92代—6.

洪荒再说

通过上例，你会发现图像法处理分段函数还是方便很多，分段函数遇到图像就像白骨精

遇上孙悟空——原形毕露，为此洪荒老师给你总结3点：

(1)只要碰到分段函数求最值或取值范围，切记“画双图最简单”(画出各个区间的图

像).

(2)作分段函数图像时，切记关注分界点是否连续.

(3)若作图困难者，请查看第4讲.

3JC"*1,oc]

',则满足的a

{2'，]>1

的取值范围是().

'2'

A.不，1B.[0,1]C.p+-D.[l,+oo)

O

解析既然求取值范围，应该有不等式呀！但纵观题干，只有等式=怎么

建立不等式呢？洪荒老师送你一问“为什么/(/(a))=2/⑺呀？"，自己回答便知，具体解析

15

如下：

由可知自己想明白

为什么/（“））1.同时涉及到分段函数,求取值范

围.由“洪荒再说”可知宜用图像法,但分段作图，

要注意什么？），然后作出了（2）的图像如下，再做

直线》=1,显然与/（工）交于点A,其横坐标

22

为•r=W，...要f（a）^1成立（只能取.r—.「右边

oo

2

的图像），必有a>W，故选C.

0

,0<了<1„ml,11

例❸(2017•山东•文T9)设/(])=，右/(«)=/(«+1),则/1一I=

2(工一1),了》1<a)

).

A.2B.4C.6D.8

解析要求是不是要先求解a才行，但a在那个区间呢？臣妾不知道呀！压力山

大，咋办？分类讨论呗，洪荒老师不愿意，而是选择图像处理，具体解析如下：

由题可作出/（工）的图像如下（注

意」（?）在彳=1处是不连续的哟！①=1代

入万得1,代入2（工一1）得0,不相等.故不

连续），要/'（a）=/（a+l）（说明自变量％”

与％+1”只能分布在分界点“1”的一左一右,

才能保证/（a）=/（a+1））,由题可知0V

3

aVI,二a+1>1（洪荒老师希望你明白a+1还必须小于万，自己想想为什么），则

/（。）=/（。+1）可化为4=2（。+1—1）（%”与%+1”在分界点“1”的一左一右.分别代入对

应的解析式），解得a=—=/(4)=2X(4-1)=6,故选C.

4

显摆一下

2/1-2,丁《],

1.(2015•全国1•文T10[012])已知函数/(1)=/八、’且/(々)=一3,

1―1og2(l+l)，1>l，

则/(6—。)=()

16

J.

II

II

(3彳一力，z<l,(

2.(2015•山东•文T10[013])设函数八7)=I，、1若用J=4,则〃=()

731

A.1B—C.--D.—

842

一一+2,彳&1

3.(2022•浙江•T14[014])已知函数/(z)=Ji，则；

jr

若当比,6]时,则b—a的最大值是^.

第2节上下分段函数

对于北方人而言，南方意味着湿和远方，上下分段函数意味着什么呢？很多时候上下分

(a,a)b

段函数都会同"max",“min”搭配，形如/(x)=max{a方>=|(当a时./(I)=a.

\b,a〈b

当a<b时，/(I)=〃,看起来很复杂，其实就是“谁大就取谁”即a大的地方/(z)=aJ)大的

a,a《b

(不作解释.送你一句“谁小就取谁"，自己食

(b,a>b

用).

洪荒说//

碰到“上下分段函数”，只需记住一句话“画双图，取上下”即画出两个函数的图像，若是

max，就取上方，若是min,就取下方(若不是大明白.先看例1.再回看).

洪荒典例

(a,(a)

例设max{a,〃}=，则函数/(I)=max{.M—w,1——}的单调增区间

n\bAa<b)

为()

y,+ooB.(-oo,-i],0,j

，[:0,1]

(a,(a)

解析见到max{a,〃}=(谁大就取谁)，由“洪荒说”可知“画双图，取上下”(到

底取上方还是下方呢？既然谁大就取谁，当然取上方)，首先作出“炉一工”，“1一丁”的图像如

图1(自己思考/负半轴“是怎么得到的)，然后取上方如图2蓝色的部分，便是/(力)的

17

学从入门到精通

II

图像（洪荒老师分两部分画图，当然你自己做题，可直接拿出数学史上最无耻的四个字“由题

可知”便可），由图像可知/（a）在（一8,1）上单调递减，/（z）在［},0）上单调递增，/（才）

在（0,1）上单调递减，”工）在［1,+8）上单调递增，显然/（］）在［］,（））,［1,+8）上单调递

增（max.洪荒老师也叫他“马克思”函数，画双图.去上下，是不是简单多了,不信,你去某猿或

某帮搜索一下答案），故选D.

设min{p,q,r}表示p,q,r三者中较小的一个，若函数/（JC）=min{z+1,一

21+7,--z+l},则函数”了）的最大值为（）

A.7B.3C.lD4

解析见到“min”，由“洪荒说”可知“画双图，取

上下"*但你可能会说，不是三个函数嘛！咋办？咱

被窝里放屁——能文能武呀！那就“画三图，取上下

呗”，具体解析如下：

由题可知分别在坐标系画出+1”，“―

2H+7”，”——工+1”的图像（画三图），又因为min

{/）,q,厂）表示p,q,r三者中较小的一个（谁小就取

谁即取下方），则/（1）的图像如下蓝色的部分（取下

方），则f（H）在工=2处即刑+1”与“s2—2平J，的

交点处取得最大值（把z=2代入上方两个函数中一个便可，当然此题相对特殊，三个函数都

在.r=2处相交）即2+1=3（洪荒老师选择代入中），，/<r）ma*=3,故选B.

Ml?1A卜

b,a，

_则函数/Cz）=①。（2一久）的值域为________.

{a,a<b.

2.（2010•湖南•理T8［016］）设min{p,q}表示二者中较小的一个，若函数/（z）=

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-H!---------------------------2—■-西羲=

IIS

min{|H|,6+“}的图像关于直线1=一!对称，则£的值为（）

A.-2B.2C.-lD.1

第3节B篇形分段函数

为了你自己的奥迪，爱人的迪奥，孩子的奥利奥，咱们再努力学习最后一种分段函数即隐

形分段函数，何为隐形分段函数？请看“洪荒说”.

洪荒说/

（1）隐形分段函数通常是指函数八］）表达式中含有绝对值或具有奇偶性时，都在隐含

的告诉你是分段函数（就像“如果多年以后,我未嫁、你未娶”隐含的告诉你“咱俩到底有多

丑？”,而不是“此处略去一万字”），见到之后，要有分段函数的思维.

（2）含有“绝对值”或具备“奇偶性''是"隐形分段函数”不假，但你也别拿着鸡毛当令牌,

一见到“绝对值”或“奇偶性”，就往分段函数方向走，洪荒老师只是为了告诉你一种思维或

者是处理“绝对值”或“奇偶性”的一种途径而已.

洪荒典例

例H函数yb—3I的单调减区间为,

解析见到“IZ—3I”，相当舒爽.由“洪荒说”可知为隐形分段函数即）=

jc（J7-3））3

.，则：

1（3-x）V3

3

（1）当时，jy=z（1一3）在［3,+8）上单调递增（）：丫（.7—3）的