新教材同步备课2024春高中数学第10章概率10.2事件的相互独立性教师用书新人教A版必修第二册

10.2大事的相互独立性学习任务1．结合有限样本空间，了解两个随机大事独立性的含义．(数学抽象)2．结合古典概型，利用独立性计算概率．(数学运算)3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．大事A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，大事B为“第三名同学抽到中奖奖券”．大事A的发生是否会影响B发生的概率？学问点大事的相互独立性1．相互独立大事的定义对任意两个大事A与B，假如P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称大事A与大事B相互独立，简称为独立．2．相互独立大事的性质当大事A，B相互独立时，则大事A与大事B相互独立，大事A与大事B相互独立，大事A与大事B相互独立．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不行能大事与任何一个大事相互独立． ()(2)必定大事与任何一个大事相互独立． ()(3)若两个大事互斥，则这两个大事相互独立． ()[答案](1)√(2)√(3)×类型1独立性的推断【例1】(源自湘教版教材)一个家庭中有若干小孩，假定生男孩与生女孩是等可能的，设A＝“一个家庭中既有男孩又有女孩”，B＝“一个家庭中最多有一个女孩”，对下述两种情形，争辩大事A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．[解](1)有两个小孩的家庭，样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本大事，由等可能性知概率各为14，这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(A∩B)＝由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，所以大事A，B不独立．(2)有三个小孩的家庭，样本空间Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本大事的概率均为18，这时A含有6个基本大事，B含有4个基本大事，A∩B含有3个基本大事，于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12明显有P(A∩B)＝38＝P(A)P(B)成立，从而大事A与B推断两个大事相互独立的方法(1)定量法：利用P(AB)＝P(A)P(B)是否成立可以精确     地推断两个大事是否相互独立．(2)定性法：直观地推断一个大事发生与否对另一个大事的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独立大事．[跟进训练]1．掷一枚质地均匀的硬币，记大事A表示“消灭正面”，大事B表示“消灭反面”，则()A．A与B相互独立B．P(AB)＝P(A)P(B)C．A与B不相互独立D．P(AB)＝1C[由题得P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝0，故A与类型2相互独立大事概率的计算【例2】甲、乙、丙3位高校生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，(1)3人同时被选中的概率；(2)3人中恰有1人被选中的概率．[解]记甲、乙、丙能被选中的大事分别为A，B，C，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)·P(B)P(C)＝25(2)3人中恰有1人被选中的概率P2＝PABC∪[母题探究]1．本例条件不变，求3人中至少有1人被选中的概率．解：法一：3人中有2人被选中的概率P3＝PABC∪ABC∪由本例第(1)(2)问可知，3人中至少有1个被选中的概率为P＝P1＋P2＋P3＝110法二：3人均未被选中的概率P＝PABC＝由于“3人中至少有1人被选中”与“3人均未被选中”互为对立大事，所以“3人中至少有1人被选中”的概率为1－1102．若本例条件“3人能被选中的概率分别为25，34，13[解]设甲、乙两人恰有一人被选中为大事A，甲、乙都被选中为大事B，丙被选中为大事C，则恰好有2人被选中的概率P＝P(A)P(C)＋P(B)PC＝1120大事间的独立性关系已知两个大事A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有大事表示概率A，B同时发生ABP(A)P(B)A，B都不发生APAPBA，B恰有一个发生AB∪P(A)PB＋PAP(B)A，B中至少有一个发生AB∪AB∪(P(A)PB＋PAP(B)＋P(A)P(B)A，B中至多有一个发生AB∪ABP(A)PB＋PAP(B)＋PAPB[跟进训练]2．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和1(1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率；(3)恰有一个人译出密码的概率；(4)至多一个人译出密码的概率；(5)至少一个人译出密码的概率．[解]记“甲独立地译出密码”为大事A，“乙独立地译出密码”为大事B，A与B为相互独立大事，且P(A)＝13，P(B)＝1(1)“两个人都译出密码”的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝13(2)“两个人都译不出密码”概率为PAB＝PAPB＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝1(3)“恰有一个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个大事为互斥大事，所以恰有一个人译出密码的概率为PAB+AB＝P＝P(A)PB＋PAP(B)＝13(4)“至多一个人译出密码”的对立大事为“两个人都译出密码”，所以至多一个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－13(5)“至少一个人译出密码”的对立大事为“两个人都译不出密码”，所以至少一个人译出密码的概率为1－PAB＝1－1类型3相互独立大事的概率的综合应用【例3】三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的两个元件T2[解]记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为大事A1，A2，A3，则P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝不发生故障的大事为(A2∪A3)A1．法一：(直接法)电路不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A1A法二：(间接法)电路不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1-PA2·PA3]·＝1-求较简单大事的概率的一般步骤(1)列出题中涉及的各个大事，并且用适当的符号表示．(2)理清大事之间的关系(两个大事是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式．(3)依据大事之间的关系精确     选取概率公式进行计算．(4)当直接计算符合条件的大事的概率较简单时，可先间接地计算其对立大事的概率，再求出符合条件的大事的概率．[跟进训练]3．甲、乙二人进行一次围棋竞赛，一共赛5局，商定先胜3局者获得这次竞赛的成功，同时竞赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局竞赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次竞赛的概率；(2)求甲获得这次竞赛成功的概率．[解]记Ai表示大事“第i局甲获胜”，i＝3，4，5，Bj表示大事“第j局乙获胜”，j＝3，4，5．(1)记A表示大事“再赛2局结束竞赛”．A＝(A3A4)∪(B3B4)．由于各局竞赛结果相互独立，故P(A)＝P((A3A4)∪(B3B4))＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52．(2)记大事B表示“甲获得这次竞赛的成功”．因前2局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次竞赛的成功当且仅当在后面的竞赛中，甲先胜2局，从而B＝(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5)，由于各局竞赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)·P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648．1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示其次次摸得白球，则大事A1与A2A．相互独立大事 B．不相互独立大事C．互斥大事 D．对立大事A[由题意可得A2表示“其次次摸到的不是白球”，即A2表示“其次次摸到的是黄球”，由于接受有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故大事A1与2．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用外科口罩的概率分别如表：项目购买A种医用外科口罩购买B种医用外科口罩购买C种医用外科口罩甲0.10.4乙0.30.2则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为()A．0.24 B．0.28C．0.30 D．0.32B[由表知，甲购买A口罩的概率为0.5，乙购买B口罩的概率为0.5，所以甲、乙购买同一种口罩的概率P＝0.5×0.3＋0.1×0.5＋0.4×0.2＝0.28．]3．已知A，B是相互独立大事，且P(A)＝12，P(B)＝23，则PAB＝________，1616[由于P(A)＝12，P所以PA＝12，PB＝1所以PAB＝P(A)PB＝1PAB＝PAPB＝14．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气精确     的概率分别为45和3(1)甲、乙两个气象台同时预报天气精确     的概率为______；(2)至少有一个气象台预报精确     的概率为________．(1)35(2)1920[记“甲气象台预报天气精确     ”为大事A，“乙气象台预报天气精确     ”为大事(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝45(2)至少有一个气象台预报精确     的概率为P＝1－PAB＝1－PAPB＝1－回顾本节学问，自主完成以下问题：1．相互独立大事的定义是什么？具有哪些性质？[提示]对任意两个大事A与B，假如P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称大事A与大事B相互独立．若A，B相互独立，则A与2．相互独立大事与互斥大事有什么区分？[提示]相互独立大事与互斥大事的区分相互独立大事互斥大事条件大事A(或B)是否发生对大事B(或A)发生的概率没有影响不行能同时发生的两个大事符号相互独立大事A，B同时发生，记作：AB互斥大事A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)·P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)课时分层作业(四十八)大事的相互独立性一、选择题1．从应届高中生中选飞行员，已知这批同学体形合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他综合标准合格的概率为A．49B．190C．4B[由题意知三项标准互不影响，∴P＝132．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，其次道工序的次品率为b，则产品的正品率为()A．1－a－bB．1－abC．(1－a)(1－b)D．1－(1－a)(1－b)C[由于2道工序相互独立，所以产品的正品率为(1－a)·(1－b)．]3．(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示大事“第一次取出的球的数字是1”，乙表示大事“其次次取出的球的数字是2”，丙表示大事“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示大事“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立B[大事甲发生的概率P(甲)＝16，大事乙发生的概率P(乙)＝16，大事丙发生的概率P(丙)＝56×6＝536，大事丁发生的概率P(丁)＝66×6＝16.大事甲与大事丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；大事甲与大事丁同时发生的概率为16×64．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是13A．19B．16C．1D[设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为大事A，B，C，则P(A)＝13，P(B)＝12，P(C)＝停车一次即为大事ABC故概率为P＝1-5．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是1A．2个球都是红球的概率为1B．2个球不都是红球的概率为1C．至少有1个红球的概率为2D．2个球中恰有1个红球的概率为1ACD[设“从甲袋中摸出一个红球”为大事A1，“从乙袋中摸出一个红球”为大事A2，则P(A1)＝13，P(A2)＝12，且A1，A2相互独立.2个球都是红球为A1A2，其概率为13×12＝16，A正确；“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立大事，其概率为56二、填空题6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9．在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．0.26[所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26．]7．设某批电子手表的正品率为23，次品率为1427[由于第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为28．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，竞赛挨次如下：第一局，甲对乙；其次局，第一局胜者对丙；第三局，其次局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对其次局败者，则乙连胜四局的概率为________．0.09[乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最终再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09．]三、解答题9．计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分，每部分考试成果只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，3(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性更大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．[解](1)记大事A＝“甲获得合格证书”，大事B＝“乙获得合格证书”，大事C＝“丙获得合格证书”，则P(A)＝45×12＝25，P(B)＝3由于P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙获得合格证书的可能性更大．(2)设大事D＝“三人考试后恰有两人获得合格证书”，则P(D)＝PABC＋PABC＋PA即甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得合格证书的概率为113010．若P(AB)＝19，PA＝23，P(B)＝13，则下列关于大事AA．大事A与B互斥B．大事A与B相互对立C．大事A与B相互独立D．大事A与B互斥且相互独立C[由于P(A)＝1－PA＝1－23而P(B)＝13，所以P(A)P(B)＝1又由于P(AB)＝19，所以P(AB)＝P(A)P(B所以大事A与B相互独立．]11．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是12A．5564B．164C．1A[设大事G＝“C闭合”，大事H＝“D闭合”，大事T＝“A与B中至少有一个不闭合”，大事R＝“E与F中至少有一个不闭合”，则P(G)＝P(H)＝12，P(T)＝P(R)＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R12．(多选)甲、乙两队进行排球竞赛，实行五局三胜制(当一队赢得三场成功时，该队获胜，竞赛结束)．依据前期竞赛成果可知在每一局竞赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为1A．甲队获胜的概率为8B．乙队以3∶0获胜的概率为1C．乙队以3∶1获胜的概率为1D．乙队以3∶2获胜的概率为4AB[对于A，在乙队以2∶0领先的前提下，若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队取胜，所以甲队获胜的概率为P1＝23对于B，乙队以3∶0获胜，即第三局乙获胜，概率为13对于C，乙队以3∶1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为23对于D，若乙队以3∶2获胜，则第五局为乙队取胜，第三、四局乙队输，所以乙队以3∶2获胜的概率为2313．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时，均从一叶跳到另一叶)，而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的2倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．13[由题意知，青蛙沿逆时针方向跳的概率是23，沿顺时针方向跳的概率是13.青蛙跳三次要回到A叶上只有两条途径：第一条，按A→B→C→A，此时停在A叶上的概率P1＝23×23×23＝827；其次条，按A→所以跳三次之后