新教材同步备课2024春高中数学第10章概率10.1随机事件与概率10.1.3古典概型学生用书新人教A版必修第二册

10.1.3古典概型学习任务1．结合具体实例，理解古典概型．(数学抽象)2．能计算古典概型中简洁随机大事的概率．(数学建模、数学运算)问题：1．丢一枚质量均匀的骰子，丢格外数的概率是多少？2．丢一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？学问点1概率对随机大事发生可能性大小的度量(数值)称为大事的概率，大事A的概率用________表示．学问点2古典概型的定义试验具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有____个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性____．将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．学问点3古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，大事A包含其中k个样本点，则定义大事A的概率P(A)＝__＝____．其中，n(A)和n(Ω)分别表示大事A和样本空间Ω包含的样本点个数．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在区间[0，10]上任取一个数的试验是古典概型． ()(2)任何一个大事都是一个样本点． ()(3)古典概型中每一个样本点消灭的可能性相等． ()(4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． ()2．若书架上数学、物理、化学书的数量分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．类型1古典概型的推断【例1】下列是古典概型的是()A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次消灭正面为止[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________古典概型的推断方法推断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——______和________，二者缺一不行．[跟进训练]1．下列试验是古典概型的为________．(填序号)①从6名同学中选出4人参与数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率．类型2较简洁的古典概型问题【例2】某旅游爱好者方案从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求古典概型概率的步骤(1)推断所给概率模型是否为古典概型．(2)算出样本点的总数n.(3)算出大事A包含的样本点个数m.(4)算出大事A的概率，即P(A)＝mn[跟进训练]2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3“放回”与“不放回”问题【例3】从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后挨次任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]把本例的条件“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________抽取问题是古典概型的常见问题，解决此类问题需要留意两点：一是所给问题是否需要将被抽取的个体进行区分才能满足古典概型的条件，二是看抽取的方式是有放回还是不放回，两种抽取方式对样本点的总数有影响．另外，不放回抽样看作无序或有序抽取均可，有放回抽样要看作有序抽取．[跟进训练]3．(2022·山东聊城一中月考)一个信箱里装有标号为1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后随机地选取2封信，依据下列条件，分别求2封信上的数字为不相邻整数的概率．(1)信的选取是无放回的；(2)信的选取是有放回的．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．(多选)下列试验是古典概型的是()A．在适宜的条件下种一粒种子，发芽的概率B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球为白球的概率C．向一个圆面内部随机地投一个点，该点落在圆心的概率D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A．16B．12C．13．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为()A．12B．13C．14．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好消灭一次正面朝上的概率是________．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．如何推断一个试验是不是古典概型？2．古典概型的概率公式是什么？3．解决有序和无序问题时应留意哪些问题？10.1.3古典概型[必备学问·情境导学探新知]学问点1P(A)学问点2(1)有限(2)相等学问点3k课前自主体验1．(1)×(2)×(3)√(4)√2．3[关键力量·合作探究释疑难]例1C[A项中由于点数的和消灭的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．]发觉规律有限性等可能性跟进训练1．①②[①②是古典概型，由于符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，由于不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．]例2解：(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的大事所包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求大事的概率为P＝315＝1(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个．包括A1但不包括B1的大事所包含的样本点有：(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求大事的概率为P＝29跟进训练2．解：(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6.任取2道题，这个试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共15个样本点，且每个样本点消灭的可能性是等可能的，可用古典概型来计算概率．用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一大事，则A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共含有6个样本点，所以P(A)＝615＝2(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一大事，则B＝{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}，共包含8个样本点，所以P(B)＝815例3解：依据题意，取产品的过程可以用如图所示的树形图直观表示．因此样本空间可记为Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，共包含6个样本点．用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，A包含的样本点个数为4，所以P(A)＝46＝2母题探究解：有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}，共9个样本点．用B表示“恰有一件次品”这一大事，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．大事B由4个样本点组成，所以P(B)＝49跟进训练3．解：(1)记大事A为“选取的2封信上的数字为不相邻整数”．从4封信中无放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12个样本点，这12个样本点消灭的可能性是相等的，A＝{(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(4，2)}，包含6个样本点．由古典概型的概率计算公式知P(A)＝612＝1故无放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为12(2)从4封信中有放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共有16个样本点，且这16个样本点消灭的可能性是相等的．A＝{(1，1)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)}，包含10个样本点.由古典概型的概率计算公式知P(A)＝1016＝5故有放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为58[学习效果·课堂评估夯基础]1．BD[A不是等可能大事，C不满足有限性．]2．C[样本空间的样本点为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，甲站在中间的大事包括乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率是P＝26＝13．A[把2个红球分别标记为红1、红2，2个白球分别标记为白1、白2，本试验样本空间所包含的样本点共有16个，其中取出的2个球同色包含的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率P＝816＝14．38[试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好消灭一次正面朝上的结果