新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布7.5正态分布课件新人教A版选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布7.5正态分布学习任务1．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．(直观想象)2．了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．(数学运算)3．会用正态分布去解决实际问题．(逻辑推理)必备知识·情境导学探新知01自然界与工程技术中的随机变量是最常见的．诸如，机械加工中零件的几何尺寸(直径、长度、宽度、高度)、强度、质量、使用寿命这些变量都不具备离散型随机变量的特点．它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，这种变量如何构建适当的概率模型刻画随机变量的分布？知识点1正态曲线(1)连续型随机变量大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至________，但取一点的概率为_，我们称这类随机变量为连续型随机变量．整个实轴0(2)正态曲线的定义我们称f(x)＝_______________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．

上方1x＝μx＝μx轴

标准正态分布μσ2(3)正态分布的特征①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿___平移，如图1．x轴②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“____”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“____”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2．瘦高矮胖(4)正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．知识点3正态总体在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则(1)三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．(2)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值几乎不可能发生，它在产品检查、质量检验中起着重要的作用．1．(多选)以下关于正态密度曲线的说法中正确的有(

)A．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交B．曲线关于直线x＝μ对称C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状D．曲线与x轴之间的面积为1BCD

[A中正态密度曲线与x轴永远不相交，A错，其余均正确．]√√√

√AD

[根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠右，可知μ1<μ2＝μ3，故B、C错误；因为σ越小，数据越集中，图象越瘦高，所以σ1＝σ2<σ3，故A、D正确．]√3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________．

关键能力·合作探究释疑难02类型1正态曲线及性质类型2服从正态分布的随机变量的概率类型3正态分布的实际应用【例1】

(1)如图是一个正态曲线，总体随机变量的均值μ＝________，方差σ2＝________；◆

类型1正态曲线及性质

202

0.47725

√

B

[由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确．因为函数图象关于直线x＝80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同；分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确．]◆类型2服从正态分布的随机变量的概率【例2】

(1)已知随机变量X～N(5，1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，求P(6≤X≤7)．(2)设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．①求c的值；②求P(－4≤X≤8)．附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．

(2)①由X～N(2，9)可知，正态曲线关于直线x＝2时称．因为P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，所以2－(c－1)＝(c＋1)－2，解得c＝2．②由X～N(2，9)知μ＝2，σ＝3，所以P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．反思领悟

利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)．②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解．[跟进训练]2．设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．[解]

因为ξ～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2．(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827．

◆

类型3正态分布的实际应用【例3】

(源自湘教版教材)在某次数学考试中，假设考生的成绩ξ服从正态分布ξ～N(90，100)．(1)求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率；(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人．

反思领悟

解答正态分布的实际应用题，其关键是转化，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．[跟进训练]3．某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？[解]

由于外直径X～N(4，0.52)，则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.0027，而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．学习效果·课堂评估夯基础03

1234√A

[由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ越小，故有σ1>σ2>σ3．]2．设随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，则实数a＝(

)A．0

B．1

C．2

D．41234√C

[因为P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，所以P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a)．因为X～N(2，σ2)，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2．]3．某种零件的尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(3，1)，则不属于区间[1，5]这个尺寸范围的零件数约占总数的________．12344.55%

[属于区间[μ－2σ，μ＋2σ]，即区间[1，5]的取值概率约为95.45%，故不属于区间[1，5]这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.45%＝4.55%．]4.55%4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．1234

10回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出三个常用的概率值吗？[提示]