2023年普通高等学校招生“BG杯”线上统一模拟考试Ⅱ（含答案）

绝密★启用前试卷类型：A

2023年普通高等学校招生“BG杯”线上统一模拟考试II

数学

2023.7.30

本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

★祝考/顺利支

注意事项：

1.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案写在答题卡各题目指定区域的相

应位置，若无法打印答题卡，需标清题号作答在白纸上。

2.考生务必在规定时间内在“雨课堂”提交答案，上传的图片需要保证完整、清晰。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的。

1.集合4={(x)，)?41,苍丫€产卜8={(x,y)|xy=18,x,yeN},则48的子集个数为

A.8B.6C.4D.2

2.已知复数z满足i(z-2+i)=2+2i,则|z|=

A.4B.5C.6D.7

3.已知梯形ABCZ)的四个顶点共圆，存在一个120。的内角，且上底与下底的长度之和等

于两腰长度之和，若下底CD的长度为6,则C4CB=

A.16B.20C.24D.36

4,已知(2x+l)"'各二项式系数和为128,其第k项系数最大，则％=

A.2B.3C.4D.6

5.下列函数中，图像与y=在x«(),”)部分关于尸x对称的是

A.y=ln,x+-3)B.y=ex2+1

C.y=ln(x+-1)D.y=ln(x2-5x+1)

6.有5个男孩和5个女孩手拉手围成一圈，恰好有3人没能拉到异性的手的概率为

数学试题第1页(共5页)

7.直线P4,PB,尸C两两垂直，平面ABC与平面心C,平面尸AC,平面24B所成角

分别为〃，名，4，则cos。〕cosacos"的最大值为

A.BB,75C.见D.姬

935

8.已知C在x轴上，48在丁=4》上，ZAC8=y,ABVAC,则C横坐标最小值为

A.1-2>/2B.1-V2C.3-2&D.-1-&

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得。分。

9.为促进全国各地广大高中生交流学习，互帮互助获得优质学习资源，创建了“985、

211上岸群”，群内汇集了五湖四海爱学习的同学，已知河北的人数是福建的四分之

一，河南的人数是河北的三倍，山西是河南人数的六分之一且为6()人，按分层抽样的

方法抽取群内河北、山西、福建、河南四省的同学17人，则下列说法中正确的有

A.抽取河南的同学为7人B.群中河北的同学有150人

C.抽取福建的同学为8人D.群中山西和河北的同学共有180人

10.函数“X)的定义域为N,对定义域内任意的5,看,都有(与-工2乂/(占)-〃七))20，

若〃〃x))=4x,则一定不存在使得

A./(0)=1B./(1)=2C."3)=8D./(5)=13

II.已知等式，|x+a,|=c,则下列说法中正确的有

1=1

A.当〃=2,c=5,q=—I,4=2时，x=—3

B.当〃=2,4=—1,出=2时，c>3

C.当〃=3,q=2,g=一1，4=~4时，cN6

D.若〃=2攵(左£N')，4<%<<%­当时，c取到最小值

12.已知4什2=3〃+1一次小k、bGR,设4=工,42=>，则下列说法中正确的有

A.若p，4为非零整数，-照〃+L2｝为常数列，则pw“，b=\

B.若攵=2,匕=1,则%+2=(〃+i)y一小

c.若，>皿,贝!|4=「・4"+，2・4,其中《耳是常数，4也是屋-灯+。=0的两根

D.若2=6,A=l,x=l,y=2,则｛瓯必用一7｝与｛44%-7｝各项都是完全平方数

数学试题第2页(共5页)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.圆锥的母线长为6,高为3,其体积为；过圆锥顶点截圆锥所得的平面图

形最大面积为(第一空2分，第二空3分).

14.已知定义在［0,3］上的函数/(x)=coss(<y>0),当〃3)取得最大值时，/⑴的可能取

值集合为.

15.已知函数数列｛工(以满足工(x)=W,嘉/x)=2力(x)+x，若人(力+2023=0存在实数

根，贝也的取值集合为.

16.已知椭圆「：，■+)，=l(a>0),该椭圆的圆周绕点旋转一周形成的轨迹图形的

面积为9乃，则a的取值范围为

3-------------------

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

在AABC中，的对角分别为A&C,其中2sinAsinB=3cosC,c=2；

(1)求tanAtanB

(2)若a+/?=2正，求AABC的面积

18.(12分)

空间中有一个平面。和两条直线机，〃，其中m，〃与a的交点

分别为A,B,记48=1,设直线机与〃之间的夹角为工，

3

(1)如图1,若直线〃?，〃交于点C,求点C到平面a距离

的最大值；

(2)如图2,若直线机，”互为异面直线，直线机上一点P

和直线〃上一点。满足PQ|a,PQ_L”且PQ_L〃z

i.证明：直线机，〃与平面a的夹角之和为定值；

ii.设PQ=d(0<d<l),求点P到平面a距离的最大值

(用d表示).

图2

数学试题第3页(共5页)

19.（12分）

正项数列｛4｝的前〃项积为小｛讨的前”项积为7；,已知1‘［是公差为1的等差数列.

(1)求数列｛q｝的通项公式

(2)记数列的前”项和为S"，证明：S“<(

20.(12分)

已知函数〃x)=V-21nk+l|

(1)求〃x)的单调区间

(2)若/(x)Nor对定义域内任意的x都成立，求a的取值范围

21.(12分)

已知a>(),QC:(x+«)：+/=r2(r>0),直线/(不与y轴垂直)过点C交0C于4,8

两点，E(2a,0),F(-2a,0),AE交BF于点Q

(1)求点。的轨迹方程「(用含a,/•的式子表示)

(2)若「所在的圆与0c相切，M为「上一点，MP,为OC的两条切线，

试求S：的取值范围(用含〃的式子表示)

数学试题第4页(共5页)

22.（12分）

近日，烈日炎炎，麦当劳推出了13.9随心配套餐，该套餐由主食和甜品两部分组成。

主食有汉堡，鸡肉卷，麦片。甜品共五种。该套餐目前备受好评，吸引了许多人前往

食用。假设每名顾客选取各主食、甜品的概率相同且概率相互独立。

（1）现在，有两名顾客前往麦当劳用餐。求两名顾客点到完全相同套餐的概率。

（2）如果一名顾客食用了某一种主食，则他下次继续吃这种主食的概率为‘，吃

4

另外两种主食的概率相同。该顾客第一次选择了汉堡。求该顾客吃第〃次吃汉堡

的概率，并比较第十次吃到汉堡四°和第十次吃到鸡肉卷心的大小。

（3）为尽可能调查顾客对套餐的喜爱程度。麦当劳共召集了及名顾客，并选出k

名a类顾客和k名b类顾客（同一人可同时作为a,b两类顾客），记被分类的顾

客数目为X。求使P（X=4）取得最大值时A的取值。

数学试题第5页（共5页）

2023年普通高等学校招生“BG杯”线上统一模拟考试II

数学参考答案

选择题、填空题（共80分）：

1234512

DBBBCBCD

13.27万，18

I。

15.{A:eZ|A:>14}16.-,1U1，三

3

选择、填空解析：

【第一题解析】

本题考察集合相关概念的定义。

B={(1,18),(2,9),(3,6),(6,3),(9,2),(18,1)},满足的有3个元素，子集个数为23=8。

选D项。

【第二题解析】

本题考察复数相关概念的定义与复数的运算法则。

z=2+2,+2_j=4_3i,|z|=+4。=5,选B项。

【第三题解析】

本题考察平面向量基本知识。

由共圆可知该梯形等腰，延长D4,CB交于E,作设AB=x,则

x+6=2(6-x),解得x=2,由数量积定义，即求|/)4|£)耳=2(),选B项。

【第四题解析】

本题考察二项式定理。

,r7r

2™=128,，〃=7,Tr+I=C；-2-x-,设最大项为1%,则7^27；,Tr+l>Tr+2

2a1

故产2'‘2C；*',即］7-r-r+ln2vrw§nr=2,所以第3项，选B。

7r+15r

C；2->C；2-1>233

了一8一广

【第五题解析】

本题考察图像变换与代数变形。

令e*=f,则y=，；，解得/=y土Jy2-I,x=ln（y±Jy?,由于xw（0,+oo）,故答案

为y=In（x+Jx2T｝选择C项。

【第六题解析】

本题考察排列计数与逻辑推理。

男生和女生将一个环分成了若干段，其中邻段之间的性别不同，每段两端的人能够拉到

手。特殊的，若某一段只有一个人，那么只有一个人能够拉到手。并且由于是环，男生的

段数等于女生的段数，故段数为偶数。因为有7个人拉到手了，那么可能为1段一个人和

3段多个人或5段一个人和1段多个人。但是后者不成立，因为一定有一个性别的人被分

成了三段一个人，但是总共却有五个人。故一定为1段一个人和3段多个人。枚举一个人

的那一段的性别，2种方案：他的左边站着2或3个异性，右边站着剩下的，2种可能，剩

下的4个同性一定站在一起。每个人是不同的，故一共有2x2xSx5xU种方法。又因为

一共有型=9!种方案，P=20X5!X4!=20X24=”,选人项。

109!6x7x8x963

【第七题解析】

本题考察空间向量与不等式。

设平面48c的一个法向量为h（x,y,z）,不妨设乎=1,代求式化为

xyzxyz区邛（均值不等式），选择A项

—<______

（x2+y2+z2

【第八题解析】

本题考察解析几何、导数、三角函数相关知识。

设斗=tan。乃二tan工，―—―=1,xx,=1,得大=1+J5

881+再/2

设A（4r,-4f）,5（4f2+女加，如一4f）,其中女=tan。乃贝!]C（4/一几机一4，），故）2=4，因为

8

BsT,所以（初-4f）2=4（4/+卜力），得/=—-,即求4/一〃=—―~--n=f（n）,求

8（〃+2）16（〃+2）.

导得了⑺+令其为0,得公，（〃+4）_8（"+2）’=0,解得〃=2&或

8（n+2）

（舍），代入得到最小值为1-2a

选择A项

【第九题解析】

本题考察抽样调查相关知识。

根据比例关系，山西60人，河南360人，河北120人，福建480人。(哪有这么第)

360480

分层抽样，河南抽取17.=6人,福建抽取17.=8人。

60+360+120+48060+360+120+480

本题选CDo

【第十题解析】

本题考察抽象函数与其应用。

由/(/(x))=4x,故/(x)eN,若〃=则/(/(x))=4x==4x-4,

不可能，故单调递增，由定义，/(/(0))=0>/(0),又因为

/(0)>0,故/(0)=0«选择A。

构造〃x)=2x显然成立，排除B。

若/⑴23,贝=⑶，故/⑴</(2)43,与/⑴23矛盾，若/⑴=1,则

4=/(/(1))=1，矛盾，故/⑴=2；故"2)="/⑴)=4,〃〃2))=〃4)=8,故

/(3)<8,选择C。

若/(5)=13,则〃13)=〃/(5))=20,因为〃8)=〃〃4))=16,/(13)>/(8)+5=21,

矛盾，故选择D,本题选ACD。

【第十一题解析】

本题考察不等式。

设44《+I，D项：当〃=2时，由三角形不等式何+x|+,+乂2何-闻，成立

故+x|+k+,+4—a,(f=1,2,…，左),当且仅当q**,-q］成”。

对于f=l,2,…，左，不等式相加可得c24+I+。*+2++%*—q—%—'—q-i

当且仅当xe［-a*+1,-4］成立。故D项错误，B项正确。

C项，|x+4|+|x-2|+|x+126+|x+l|26,当且仅当x=-l时取等，正确。

A项，x=2时也成立，错误。

本题选BCo

【第十二题解析】

本题考察数列。

A项，pa'qa“限=pa：+「qka“a.*\+qbcrn是常数，得

pM-qka.％+qba；=pa„-qka^a,,+qba；,_l即pa；+x-qba^,}-qka„{an+x-a^+(qb-p)a^,=0

若p=q,0=1,则有p-%)(%+an_^)=qkan(an+l-an_,)

由于4+产%,得p(a,M+a,T)-P也=。，即%+%-0=0，A项错误

B项，an.2-an+l=an+l-an,^an.2-an+l=an+{-an=...=a2-ax=y-x

累加得a“+2-4=(y-x)(n+l),an+2=(n+l)y-nx,B项正确

C项，由题，dt+d-,=k,dtd2=b

%I""'、，相减得(4-4)%=/(%-44)-4"3-44)

[a„+2-d2an+l=d^an+,-d2an)

故%=々4।+一々+4%df,.,=a；-d,%,c项正确

+l2212

"d：_4d2_4：+44“-d：4d2

D项，因为/?=1,a,.=64*-4,,由A项分析，{“3-a.”"+2}为常数列

易得a：”-6aM*|+。；=-7

左右加上8aM向得(。“+|+。”)2=-7’左右加上4a“4+|得(。“+|=4"M"|-7

D项正确，选BCD。

【第十三题解析】

V=^r2h=^l2-h2)h=27^,截面是顶角为，(0<94120°),腰为6的等腰三角形，

0=90,时面积取得最大值18

【第十四题解析】

本题考察三角函数的周期性和三角恒等变换的性质和运用，

2k冗

思路：/(3)=cos3ty<l,取最大值时33=2%"(左£二)，则。=—^—(Zw),

2kJi44]

/(I)=cos—,左=3〃一2(〃£,)时，/(I)=cos(2n-=cos(-—=~~^f

771

k=3n-l(n£二)时，/(I)=cos(2n--=cos(-—,

k=3n(nG)时，/⑴=8s2wr=l,

于是/⑴可取值1和

【第十五题解析】

本题考察数列与函数相关知识。

设£(X)=4*+〃X，由，+I(X)=2/,(X)+X,得/=〃_|也=孙+1,伪=0吗=1

(2"T

故4=2"T也=2j,£(x)=2n-|x2+(2n-'-l)x,其最小值-匕导-4-2023

令f=2"T,则--809分+1±0,当”414,fW2'3=8192时,/-8094/+1=f(f-8094)+l>(),

成立；当"413时，z2-8094r+l=/(/-8094)+l<0,综上，k的取值范围为#eZ|%214}

【第十六题解析】

本题考察二次函数、解析几何、分类讨论。

对于任意一个平面图形。，绕某点P旋转一圈，则。上每一点4都会形成一个圆，若始

的值域为［小目，则会形成一个圆环，外径为4，内径为弓。故对于椭圆上任意一点

A(x,y),设尸则以2=犬+(>-')2=(1-/万2-2)+/+/=g(y),(视为关于y的函

数)。问题转化为求其在［-1,1］最大值与最小值之差M。其对称轴为x=£。

当0<"1时：对称轴大于0,开口向上，最大值一定在-1处取，即(/+1『；若

工41,最小值为产+/+一一;否则取右端点，为。-I)"

1-aa-1

只需定性分析，M在［0,1-/］是关于f的二次函数，在口-/,+8)为射，是一次函数

同理，4>1时，M在是关于/的二次函数，在［万_1,+8)是一次函数。

二次函数的那一段一定大于小，原因是g(y)不单调，极差一定大于端点函数值之差。

由分析可得，1=2时，有"=4’,是在一次函数这一段，得匕2二,即1姮

32333

由于是椭圆，故答案为隹武陷

33

解答题(共70分):

17.(10分)

（1）由2sinAsinB=3cosC

得-2sinAsinB=-3cosC=_3cos[〃-（4+B）]=3cos（A+B）

即-2sinAsinB=3cosAcosB-3sinAsinB

即sinAsinB=3cosAcos3所以tanAtan5=3

(2)(法一)

由cosC=a+”——-,代入a+b=242得cosC=--1

labab

tanAtan8=sin'sinB=3,即§而不皿B-cosAcosB=2cosAcosB

cosAcosB

即cosC=2cosAcosB

442*b~-ci~+4ci~—b~+4ZB»8

故r---1=2-----------------------------,代入a+b=2J2,得ab=一

ab4b4a5

痂、八_2,1,痂0_1,.18V15_V15

成cosC=-----1=—sinC=------,iSxS..=—cibsinC——,-------=------

ab44MRBrC22555

（法二）

因为a+6=Vic,即sinA+sin8=VisinC

.4+8A—Bnr,4+8A+B

2sin-------cos-------=2,2sin--------cos-------

整理得tan—tan—=3-272,

22

联立可得tan4+tan0=2"（J7）,所以tan£=tanC=?ta呼=后

2262V51-tan2%

JWy.sinC=^^-,cosC=—=0——-,i^ab=-,所以S4ABe=」absinC=

44lab5的25

18.（12分）

（1）设点C到平面a的距离为h,作C”_LAB于点H,可知

设C4="CB=a,在中，由余弦定理可知：

a2+b2-TabcosZACB=AB2=1,

由于直线机与”之间的夹角为工，且它们交于点c,则NACB=M,

33

从而/+从一她=1,X-ab>ab,贝!JabWl（4=力时取等）；

AIIC=-absmZACB=-AI3CH,所以CH=®abM昱,

,2222

所以点C到平面a的距离4无，其最大值为走；

22

(2)(i)

证：如图，过点P作直线/|〃，由题知直线/与平面a必相交于一点，设其为

点D,连接D4,DB,则尸，Q,D,5共面，又且。Bua,于是

PQ\DB,又/||〃，则四边形尸。8。为平行四边形，因为PQ_L〃且PQ_Lm,所

以且BO_L〃?，又/门机=P,所以即_L平面以。，

PHLAD于H,则又ADCBD=D,WOPHLa,

设.PH=h,则尸到平面a的距离也为人且直线m,〃与平面a的夹角分别为

NR4H和NPD”；由于直线，〃与〃之间的夹角为土，则直线相与/之间的夹角

3

也为三，贝ljNAPO=工，于是NPAH+NPDH=%-ZAPD=红,

333

即直线相，〃与平面a的夹角之和为定值空；

3

(ii)

因为_L平面为。，所以3OJ.A。，由(i)问知O8=PQ=d,

则LA5£>中，AD2=AB2-BD2=\-d2,则49=J1-/,XZAPD=-,

3

由(1)问同法算得PH43>/1彳=苴三还，

22

即点P到平面a距离/?的最大值为/(4)=-丁(0“I),

19.（12分）

（1）由题，—=tn_x-n（n>2）,4=q故f,=〃+l

(2)L'+U>(〃+1)!,由于\-品n

77+1)1

n2+111

X—>0,即证〃W4时，S„>-

(〃+l)!(〃+1)！(M-1)!(n+1)!n\T„4

11^Uii'

s〃=+r(«-J)U(2!+3!++(n+l)!j

0!1!1!2!nl)

11f11111111

0!(n+1)!(2!3!(n-l)ij1!2!n'.(n+1)!

1111f45n

<—+—+—+—+—+—+..+

1!2!3!4!5!6!

\

1_7

(n+l)!<4

20.（12分）

（1）”x）的定义域为（YO,-1）U（-1,8）

-1-⑸

单调减区间为-0°'-2-

(2)因为*-21n|x+l|之奴，构造g(x)=x2-21n|x+l|-如NO,求导得

22犬+(2—67)X—67—2

g'(x)=2x--r-a=---------------------

x+1

对于方程〃(2=2/+(2-办-々-2=0,△=(2-4+8(〃+2)=/+4々+20>0

设方程的两根为方,工2（%＜9），由于〃（一］）=-2V。，故大＜一1＜七

可知g（x）在（-1,乙）单调递减，在（X2,收）单调递增

U

若&.0,则8（工2）＜8（。）=。，矛盾，故&=0，Wx,x2==0,a=-2

当。=-2时,下证g（x）W0恒成立,令g（x）=0,得％=-2,%=0

XS，-2)-2(-2,-1)(-1,0)0(0,+oo)

/'（X）—0+—0+

/WX极小值7极小值7

故g(x)±min{g(-2),g(O)}=O成立,综上，。的取值范围为{-2}

21.(12分)

(1)(法一)

设A(X1,yJ,8(X2，%),Q(x,y)，AE:y=—二-(x-2a),BF:y=一(x+2a)

X]—2。x7+2,ci

联立得(-----——x=2a[--—十———由于y+、2=。，玉+々=-2。

I王一2a+2aJ(玉一2〃x2+2aJ

y工0,约去得(%2+2々+石-2a)x=2ci^x2-\-2a-xx+2ci)

得x=2.-2a,x、='，回代，y=—(工—2々)=2%，%=与

2Xj-2a2

故(X[+〃1+y；=户=(x+4〃1+V=4,(yw0)

(法二)

设A(-a+“o),5(-a—,-%),Q(x,y),由°C方程，y1+t2=r2

由于4QE共线：。=」一。上=七网

x-2at-a-2ay0t-3a

由于BQF共线：。=上=上=2

x+2at-ayQt-a

联立得上=上3=史必=超=2(差比定理)，故y=2%

yQt-3at-ala

又因为x-2〃=2f-6〃2=x+4〃，故(X+4〃)2=y2=4/(ywO)

(2)(法一)

设M（Xo，y0）,4为。到直线NP的距离，&为点M到直线NP的距离

2

S=-d2-2yjr-d；=心一d：d；

22

①/-=3〃时，N尸:+〃)(x+〃)+)%-9〃=0,(x0+4a)+=36a

9a2([_]2q2_6aq

%+(%+a)=21a2+6ax

Jy：+(Xo+a『Jy：+(%+a0

222422

l9a(12a-6ax0)Sia(12a-6ax())-a(^12a-60ro尸

S=I---------------------------------------------；——=----------------------

222

121/-6"(21a-6ax0)7a-2ax0

%e(-10a,2a),令12/-6〃x()=/e(0,72/)