人教A版高中数学必修4阶段训练第1章阶段综合提升第2课三角函数的图象与性质及其应用

阶段强化训练(二)一、选择题1．函数y＝tan(sinx)的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(,2),2)，\f(\r(,2),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－tan1，tan1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))C[sinx∈[－1,1]，又－eq\f(π,2)＜－1＜1＜eq\f(π,2)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，所以ymin＝tan(－1)＝－tan1，ymax＝tan1.]2．将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移eq\f(π,3)个单位，得到的图象对应的解析式为()A．y＝sineq\f(1,2)x B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C[函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，再将所得的图象向左平移eq\f(π,3)个单位，得到函数y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6))).]3．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的单调递增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,8))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(π,2)))C[令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得kπ－eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(3π,8)(k∈Z)，k＝0时，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))，又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,8)))，故选C.]4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))或y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,4)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,4)))D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))C[由图可知A＝2,4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)＋\f(π,8)))＝eq\f(2π,ω)得ω＝2，且2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)))＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)∴φ＝2kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)，又∵|φ|＜π，∴φ＝eq\f(3π,4)，故选C.]5．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()C[∵P0(eq\r(2)，－eq\r(2))，∴∠P0Ox＝eq\f(π,4).按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－eq\f(π,4).此时P点纵坐标为2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,4)))，∴d＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(π,4))))).当t＝0时，d＝eq\r(2)，排除A，D；当t＝eq\f(π,4)时，d＝0，排除B.]二、填空题6．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的定义域为________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3π,8)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))[2x－eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，即x≠eq\f(3π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.]7．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________.4[观察图象可知函数y＝sin(ωx＋φ)的半个周期为eq\f(π,4)，所以eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,2)，ω＝4.]8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)，若将f(x)的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度所得的图象与将f(x)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度所得的图象重合，则ω的最小值为________．4[由条件可知，图象变换后的解析式分别为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(ωπ,3)＋φ))和y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,6)＋φ))，由于两图象重合，所以eq\f(ωπ,3)＋φ＝－eq\f(ωπ,6)＋φ＋2kπ(k∈Z)．即ω＝4k(k∈Z)，由ω＞0，∴ωmin＝4.]三、解答题9．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1.(1)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时x的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．[解](1)当2x＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)，则x＝kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)时，f(x)max＝3.(2)当2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，即kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)时，函数f(x)为增函数．故函数f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)．10．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？[解](1)由图象知A＝eq\f(－\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),2)＝eq\f(1,2)，k＝eq\f(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),2)＝－1，T＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π，∴ω＝eq\f(2π,T)＝2.∴y＝eq\f(1,2)sin(2x＋φ)－1.当x＝eq\f(π,6)，2×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴所求函数解析式为y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1.(2)把y＝sinx向左平移eq\f(π,6)个单位得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)倍，得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的eq\f(1,2)倍，得到y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，最后把函数y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象向下平移1个单位，得到y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1的图象．1．同时具有下列性质的函数可以是()①对任意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；②图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称；③在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上是增函数．A．f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))B．f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))D．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))B[依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x＝eq\f(π,3)为对称轴，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上是增函数．对于A选项，函数周期为4π，因此A选项不符合；对于C选项，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－1，但该函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上不是增函数，因此C选项不符合；对于D选项，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))≠±1，即函数图象不以直线x＝eq\f(π,3)为对称轴，因此D选项不符合．综上可知，应选B.]2．已知函数f(x)＝－2tan(2x＋φ)(|φ|＜π)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,16)))＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,16)，\f(11π,16))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,16)，\f(9π,16)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,16)，\f(5π,16))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,16)，\f(5π,16)))A[由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,16)))＝－2得－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)＋φ))＝－2，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)＋φ))＝1，又|φ|＜π，所以φ＝eq\f(π,8)，f(x)＝－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,8)))，令kπ－eq\f(π,2)＜2x＋eq\f(π,8)＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z得eq\f(kπ,2)－eq\f(5π,16)＜x＜eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,16)，k∈Z.可得f(x)的单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(5π,16)，\f(kπ,2)＋\f(3π,16)))，k∈Z，令k＝1，可得f(x)的一个单调递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,16)，\f(11π,16))).]3．函数y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)(x∈R)的最大值为________．3[由题意有y＝eq\f(4,2－cosx)－1，因为－1≤cosx≤1，所以1≤2－cosx≤3，则eq\f(4,3)≤eq\f(4,2－cosx)≤4，由此可得eq\f(1,3)≤y≤3，于是函数y＝eq\f(2＋cosx,2－cosx)(x∈R)的最大值为3.]4．对于函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≤cosx，,cosx，sinx＞cosx，))给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)对称；④当且仅当2kπ＜x＜eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤eq\f(\r(2),2).其中正确命题的序号是________．③④[作出函数f(x)的图象如图所示：由图象可知f(x)为周期函数，T＝2π，①错误；当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋eq\f(3π,2)时，取最小值－1，故②错误；x＝eq\f(π,4)＋2kπ(k∈Z)和x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)都是该图象的对称轴，故③正确；当2kπ＜x＜eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，f(x)图象在x轴上方且f(x)max＝eq\f(\r(2),2).故0＜f(x)≤eq\f(\r(2),2).故④正确．]5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值