河南省洛阳市高三上学期期中考试理数试卷

洛阳市2020—2021学年高中三年级期中考试数学试卷（理）本试卷分第I卷(选择题）和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页，第n卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.第I卷(选择题，共60分)注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 考试结束，将答题卡交回.一、选择题:本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z=i1-iA.1 B.22 C.2D.2 2.已知集合A={x|x2-3x<0}，B={x|log2A.(0,1) B.(0,3) C.(1,3) D.(3,+∞}3. 已知向量a,b均为非零向量，且|a|=丨b|=|a一b|，则a与b的夹角为A.π6 B.π3 C.2π3 D.4. 执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2,则输人的x满足A. x≥4B. x≤1C. x≤-1或x≥4D. 1≤x≤45.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=7a1= ，则aA.2 B. 3 C.36.7. 已知四个命题:P1:∃x0∈R,sinxP3:∃x0∈R,x以下命题中假命题是A.P1VP4 B.P2VP4C.P1VP3 D.P2VP47. 若a,b,c 满足3a=4,4b=3，c=A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<cD.a<c<b8. 函数fx=ex-9. 已知F1F2是双曲线C:x22-y2=1的两个焦点，过点F1A.23 B.33 C.22310. 已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA丄平面ABC，AB=2，BC=1,PA=AC=2,则球O的表面积为A.2π B.8π C.32π3D.64π11. 已知函数fx=Sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为πA.函数fx的最小正周期为2π； B.函数fx的图象关于点(C.函数fx在[3π4，π]上单调递增 D.函数fx的图象关于直12. 如图，△ABC为等边三角形，D，E,F分别为AB,AC,BC的中点，AF∩DE=G，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点A'的位置，下列命题中，错误的是A. 动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上B. 恒有平面A'GF丄平面BCDEC 三棱锥A'EFD的体积有最大值D. 异面直线A'E与BD不可能垂直第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 已知下x，y满足不等式组x≥0x-y≤04x+3y≤12，则z=y-1x-1 14. 已知直线y=2x+1与曲线y=x3+15. 抛物线C:x2=8y的焦点为F，过F且倾斜角为π4的直线l与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在l的右下方，则△DAB面积的最大值为_16. 设a>2，fx=exx-a有三个零点；③fx的所有零点之和为0.其中正确的结论是________ .(填序号）三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+1-r(1) 求r的值，并求出数列的通项公式；(2) 令 bn=2n18. (本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，B，c，若2c-ba(1)求A;(2)若b=32，c=2,点D为BC中点，求a及AD.19. (本小题满分12分）如图四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄底面ABCD.PA=AB=2，点E，F分别是棱PB，PC的中点.(1)求证PB丄AF；(2)若AD=1,求二面角A—EC—D的平面角的余弦值。20.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2十y2b21(a>b>0)人心率为其左,右焦点分别是F1,F2,椭圆上的4个点A,B,M,N满足：直线AB过左焦点F1，直线AM过坐标原点O，直线AN的斜率为-32，且△ABF2的周长为8.(1) 求椭圆C的方程；(2) 求△AMN面积的最大值.21. (本小题满分12分）已知函数fx=lnx+ax2+(a+2)x+1(a∈R).(1) 讨论函数fx(2) 若a=2,证明：当x>0时ex请考生在第22、23题中任选一做答，如果多做，则按所做的第一题计分,做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22. (本小题满分10分）选修4一4极坐标和参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，1),曲线C1的参数方程为x=2+2costy=2sint(t为参数).以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为(1) 把C1(2) 设C3分别交C1，C223. (本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数fx=x-⑴求M;(2)证明：当a,b∈M时，|a+b|<丨1+abI.洛阳市2020—2021学年高中三年级期中考试数学试卷参考答案(理）一、 选择题15BCBCA 610DADBB 1112CD二、 填空题13.3 14.2 15.162 16.①②③三、 解答题17.解：（1) ∵Sn=2n+1∴当n=1时,a1=S1=4—r.当n≥2 时,an=Sn ∵{an}是等比数列，∴a1=4—r ∴r=2,∴an=2n((2) ∵bn∴Tn==12-1-=11218.解：（1)由正弦定理，原式可化为2sinC—sinB=sinA(sinCtanA即2sinC—sin(A+C)=sinA(sinCtanA—cosC)，∴2sinC—sinAcosC—cosAsinC=sinCsin2∵sinC≠0,sin2AcosA即sin2A+cos2cosA=22又0<A<π， ∴A=π4(2)由余弦定理可得a∴a=10,∵D是BC的中点，∴BD=a又cosB=a2∴AD2=AB2+BD22AB•BD•cosB=17∴AD=1719.解：∵PA丄底面ABCD,BC⊂平面ABCD，∴PA丄BC. 而BC丄AB，PA∩AB=A，∴BC丄平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC丄PB. 连结EF，∵E,F点分别是棱PB,PC的中点，∴EF为△PBC的中位线，∴EF//BC，∴EF丄PB. 又△PAB为等腰直角三角形，E为斜边的中点，∴AE丄 PB 而EF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，EF∩AE=E，∴PB丄平面AEF. 又AF⊂平面AEF， ∴PB丄AF.(2) 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系.则D(0，1，0)，C(2，1，0)，B(2，0,0)，P(0,0,2)，∴E(22,0,22) ∴AC=(2,1,0),AE=(22,0,设平面ACE的法向量为m=(x1,y1,则m•AC=2则m=-1，2,1 ， 设平面DCE的法向量为n=(x2,y而DC=(2，0,0)，DE=(22,-1, 则n•取y2=1，则n=(0，1，2 ∴cos<m,∴二面角A—EC—D的平面角的余弦值为620.(1)由椭圆的定义知4a=8. ∴a=2. ∵c从而b2=a2—c2=3. 椭圆C的方程为x24十(2)设直线AN:y=32x+t代入曲线C:化简得3x2—3tx—3=0设A(x1,y1)，N(x2,由△>0得：t2<1x1+x2=t x1•xlAN|=1+94|x1x2|=1+=1+94•4-点O到直线AN的距离d=|t|1+9∵直线AM过坐标原点，∴S△AMN=2≤1223=2∴△AMN面积的最大值为2321.(1)∵ fx=lnx+ax2+(a+2)x+1(a∈R).， ∴ f'=2ax若a≥0,则f'x>0，fx在(0,+∞若a<0,由f'x>0得0<x<1a由f'x<0得x>1∴函数fx在(0,1a）上单调递增，在(1a，+综上，当a≥0时，则fx在(0,+∞当a<0时，fx在(0,1a）上单调递增，在(1a⑵由⑴可知，当a=2时，fx在(0，12)上单调递增，在(12，+f(x)max=f12=ln∴fx=lnx—2x2+1<0,xlnx>—2x3+x,∵ex-x2∴ex记h(x)=ex-x2+2x-1(x>0)，则h’(x)=ex-2x+2记φx=ex-2x+2，则φ'由φ'x=ex当x∈(0，ln2)时，φ'x<0,当x∈(ln2,+∞)时，φ'x>0，∵函数φx在(0，ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，∴φ(x)max=φln2=∴φ(x)>0,即h’(x)>0,故函数h(x)在(0,+∞)上单调递增.∴ h(x)>h(0)=e0-1=0,即,∴ ex22. 解:（1)由x=2+2cos(x-2)2+y2=4,∴x=ρcos∴C1的极坐标方程为,ρ2-4(2)设点P，Q的极坐标分别为(ρ1,π6)，Q(ρ将θ=π6代入ρ=4cosθ,得将θ=π6代入ρ=2sinθ，得ρ2所以IPQ|=|ρ1-ρ2所以点A(0，1)到曲线θ=