点、直线和平面-平面投影（工程制图课件）

平面投影平面投影平面的表示法1.几何元素表示法不在同一直线上的三点可以确定一个平面。因此在投影图上能用下列任一组几何元素的投影表示平面。不在同一直线上的三点，如图所示；①一直线和直线外一点，如图所示；②相交两直线，如图所示；③平行两直线，如图所示；④

任意平面图形，如图所示，即平面的有限部分，如三角形、矩形、圆形及其他封闭平面图形。⑤2.迹线表示法平面除上述五组表示法外，还可以用迹线表示。迹线就是平面与投影面的交线。如图中的Q平面，就是用迹线表示的一般位置平面，与V面的交线称为正面迹线，用QV表示；它与H面的交线称为水平迹线，用QH表示；VZXHYWQWOQQZQVQXQHQYQVQXXQHYHYWOQWZVZXHYWQWOQQZQVQXQHQYQVQXXQHYHYWOQWZ与W面的交线称为侧面迹线，用QW表示。迹线与投影轴的交点称集合点，分别以QX、QY和QZ表示。PXPVPHPWWZVXHYOOPWYWYHPHXPVZPX如图所示是用迹线表示的铅垂面P用迹线表示的平面简称迹线平面，用几何元素表示的平面简称非迹线平面。各种位置平面投影特性

在三投影面体系中，平面与投影面的相对位置，归纳起来有投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面三种。前两种统称为特殊位置平面。1.投影面平行面平行于某一投影面的平面，称为投影面平行面，简称平行面。投影面平行面与另外两个面垂直。它也有三种情况：

与V面平行的称为正面平行面，简称正平面，如图中的平面ADFG；

与H面平行的称为水平面平行面，简称水平面，如图中的平面ABCD；

与W面平行的称为侧面平行面，简称侧平面，如图中的平面DCEF。（1）H面投影△abc反映实形；以水平面△ABC为例，讨论其投影特性：（2）V面、W面投影积聚成直线，且分别平行于OX轴和OY轴；平面在所平行的投影面上的投影反映实形，其他两投影都积聚成与相应投影轴平行的直线。投影面平行面的共性：2.投影面垂直面垂直于一个投影面，倾斜于其他投影面的平面称投影面垂直面，简称垂直面。垂直面三种情况：

垂直于H面的称为水平面垂直面，简称铅垂面，如图中的平面ACEG；

垂直于V面的称为正面垂直面，简称正垂面，如图中的平面ABEF，

垂直于W面的称为侧面垂直面，简称侧垂面，如图中的平面BCFG。（1）H面投影abc积聚成一直线；以铅垂面△ABC为例讨论其投影特性：（2）abc与OX轴的夹角，即为该平面与V面的倾角β，与OY轴的夹角为该平面与W面的倾角γ；（3）V、W面投影仍为三角形，但小于实形。（1）平面在所垂直的投影面上的投影积聚成一直线，它与相应投影轴所成的夹角，即为该平面对其他两个投影面的倾角；投影面垂直面的共性是：（2）abc与OX轴的夹角，即为该平面与V面的倾角β，与OY轴的夹角为该平面与W面的倾角γ；3.一般位置平面与三个投影面既不平行也不垂直的平面称为一般位置平面，简称一般面。图中平面ACF即为一个一般位置平面。根据平面的投影特点可知，一般面的各个投影都没有积聚性，均小于实形，如图所示。平面投影（二）平面投影（二）平面上的点和直线直线在平面上必须具备下列两条件之一：（1）直线通过平面上的两点。如图所示，在平面P上的两条直线AB和BC上各取一点D和E，则过该两点的直线必在P面上。（2）直线通过平面上的一点，且平行于该平面上的一直线。如图所示，过P面上的C点，作CF//AB，AB是平面P内的一条直线，则直线CF必在P面上。

如图所示，要在△ABC上任作一条直线MN，则可在此平面上的两条直线AB和CD上各取点M（m，m′，m″）和N（n，n′，n″），连接M和N的同面投影，则直线MN就是△ABC上的一条直线。平面上的投影面平行线VZXAHCOBWYD正平线水平线PXPVPZPWPYPHabc′d′平面上平行于投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线有三种：平行于H面的直线称为平面上的水平线；平行于V面的直线称为平面上的正平线；平行于W面的直线称为平面上的侧平线。平面上的最大坡度线平面上对投影面倾角为最大的直线称为平面上对投影面的最大坡度线，它必垂直于该平面上的同面平行线及迹线。最大坡度线有三种：垂直于水平线的称为对H面的最大坡度线；垂直于正平线的称为对V面的最大坡度线；垂直于侧平线的称为对W面的最大坡度线。ABCDEPGHPH

如图所示的△ABC，扩展成平面P后，它与H面的交线为PH，在△ABC上作水平线BG，则PH∥BG。

过A点作AD⊥PH，则AD对H面的倾角α为最大，证明如下：（2）在直角△ADa中，sinα=Aa/AD；在直角△AEa中，sinα1=Aa/AE。又因为△ADE为直角三角形，AD＜AE，所以α＞α1。（1）过A点任作一直线AE，它对H面的倾角为α1；ABCDEPGHPH

所以，垂直于PH（或垂直于水平线BG）的直线AD对H面的倾角为最大，因此称其为“最大坡度线”。ABCDEPGHPH从物理意义上讲，在坡面上，小球或雨滴必沿对H面的最大坡度线方向滚落。同理，平面上对V、W面的最大坡度线也分别垂直于平面上的正平线和侧平线。

由于AD⊥PH，aD⊥PH（直角投影），则∠ADa=α，它是P、H面所成的二面角，所以平面P对H面的倾角就是最大坡度线AD对H面的倾角。ABCDEPGHPH平面内对H面的最大坡度线其水平投影垂直于面内水平线的水平投影，其倾角α代表了平面对H面的倾角；平面内对V面的最大坡度线其正面投影垂直于面内正平线的正平投影，其倾角β代表了平面对V面的倾角；平面内对W面的最大坡度线其侧面投影垂直于面内侧平线的侧平投影，其倾角γ代表了平面对W面的倾角。综上所述，最大坡度线的投影特性是：平面上取点

如果点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。因此在平面上取点，必须先在平面上取辅助线，再在辅助线上取点。在平面上可作出无数条线，一般选取作图方便的辅助线为宜。已知△ABC的两面投影，及其上一点K的H面投影k，求K点的V面投影k′，如图所示。点K在△ABC内，它必在该平面内的一条直线上。k′、k应分别位于该直线的同面投影上。所以，若要求点K的投影，则必先在△ABC内过点K的已知投影作辅助线。XObackb′a′c′例解XObackb′a′c′XObackb′a′c′k′d′（1）先在水平投影上过k任作一直线cd，作过K点的辅助线的水平投影。（2）求出辅助线CD的正面投影c′d′。作图：如图所示（3）过点k作投影连线与c′d′相交即得k′。d平面上的圆CBOPAHDOdbcaPH

如图所示，P平面上有一圆，圆心为O，过圆心O作互相垂直的两直径AB和CD，其中AB为水平线，所以CD是P面的最大坡度线，其投影cd=CDcosα。平面上圆的投影一般为椭圆。

因此cd是直径CD的最短投影，即椭圆的短轴。ab=AB，反映实长，是椭圆的长轴。CBOPAHDOdbcaPH平面投影（四）平面投影（四）平面与平面相对位置

平面与平面的相对位置有平行、相交和垂直三种情况（垂直属于相交的特殊情况）。平面与平面平行若一平面上的相交两直线与另一平面上的相交两直线对应平行，则该两平面互相平行。如图所示，P平面内的两条相交直线AB、AC分别平行于Q平面内的两条相交直线A1B1、A1C1，则P平面平行于Q平面。判别△ABC和△DEF两平面是否相互平行。例在△ABC上的任一点A作两相交直线AG和AK，使它们的V面投影是a′g′∥d′e′，a′k′∥d′f′，由a′g′和a′k′作出ag和ak，因为ag∥de，ak∥df，所以△ABC∥△DEF。解平面与平面相交平面与平面之间，若不平行则必相交。平面与平面相交产生交线。1.一般位置平面与投影面垂直面相交求铅垂面ABC与一般面DEF的交线，并判别可见性。例a′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fma′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fma′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fm如图所示，可求出交线上的一点K（k′，k），再求EF与△ABC的交点M（m′，m），连KM（k′m′，km）即为所求。解显然交线为两平面投影重叠处可见与不可见的分界线，即两平面投影重叠处被分为两部分，交线一侧为可见。a′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fma′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fm

另一侧为不可见，又已知两平面周界边线之间均为交叉直线，且每一对交叉直线中，若一条边线为可见，另一条必不可见。a′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fma′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fm

由此对V面可见性的判别，因ED、EF两直线为同一平面，故交点M（m′，m）之后的一段也和K（k′，k）之后一样，均为不可见。a′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fma′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fm这时又由于e′k′可见，即e′m′亦为可见，则与之交叉的重叠段b′c′为不可见（画虚线）。可判别其余部分的可见性。a′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fma′d′cebkadXOk′e′b′c′f′m′fm2.两个一般位置平面相交a′cekadXOk′e′d′f′m′bfb′c′a′cegadXOe′d′f′g′bfb′c′a′cegadXOe′d′f′g′bfb′c′k′1′(2′)2k1求一般面△ABC与一般面△DEF的交线，并判别其可见性。例如图所示，可看作是在直线DF的基础上，添加一直线DE而形成相交两直线所表示的一般面与△ABC相交，求交点。解2.两个一般位置平面相交a′cekadXOk′e′d′f′m′bfb′c′a′cegadXOe′d′f′g′bfb′c′a′cegadXOe′d′f′g′bfb′c′k′1′(2′)2k1可分别求出两个交点再连接成交线。再根据重影点判别两平面投影重合部分的可见性。2.两个一般位置平面相交a′cekadXOk′e′d′f′m′bfb′c′a′cegadXOe′d′f′g′bfb′c′a′cegadXOe′d′f′g′bfb′c′k′1′(2′)2k1平面与平面垂直平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况。若直线垂直于平面，则包含此直线所作的一切平面均垂直于该平面。如图所示，AB垂直P面，包含AB所作的平面Q、R等都垂直于平面P。

由此可知，若两平面互相垂直，则由第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线，必在第一个平面上。

如图所示，若P、Q两平面互相垂直，则由平面Q上任意一点A向平面P所作的垂线AB必在平面Q上。

反之若所作垂线AB不在平面Q上，则Q、P两平面不垂直，如图所示。平面投影（三）平面投影（三）直线与平面的相对位置直线与平面的相对位置有平行、相交和垂直三种情况（垂直属于相交的特殊情况）。直线与平面平行若直线平行于平面上的任一直线，则此直线必与该平面平行。如图所示，直线AB与平面H上的任一直线CD（或EF）平行，则AB∥H面。过△ABC外一点D，作一条水平线DE与△ABC平行。例解

求作水平线DE与△ABC平行，可以先在△ABC上作一条水平线，使DE与该直线平行，则DE∥△ABC，DE与该水平线的同面投影必平行。XOabcc′a′b′d′d（1）在△ABC上任作一水平线BF（b′f′，bf）；（2）过d′作d′e′∥b′f′；过d作de∥bf，则DE即为所求。作法

判别直线是否与平面平行，可归结为在平面上能否作出一直线与该直线平行。XOabcc′a′b′d′df′ee′f直线与平面相交直线与平面之间，若不平行则必相交。直线与平面相交产生交点。直线与平面相交的交点，是直线与平面的共有点，该点既在直线上又在平面上。求解交点的投影，则需利用直线和平面的共有点或在平面上取点的方法。

平面与平面的交线是一条直线，是两平面的共有线，求交线时只要先求出交线上的两个共有点（或一个交点和交线的方向），连之即得。

在投影图中，为增强图形的清晰感，必须判别直线与平面、平面与平面投影重叠的那一段（称重影点）的可见性。1.投影面垂直线与一般位置平面相交利用投影面垂直线的积聚性，可直接求出交点。求作铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点。例OXace(f)bf′a′e′b′c′利用直线的积聚性投影可直接找到交点K的H面投影k，再利用面上取点的方法即可求出k'。解OXace(f)bf′a′e′b′c′OXace(f)bf′a′e′b′c′4′k′（3′）k(4)3

对V面上线面投影重影段的可见性，必须利用交叉直线重影点的可见性来判别，如图a′b′及a′c′与e′f′的交点均为重影点，可任选其中的一点如4′（3′）。OXace(f)bf′a′e′b′c′OXace(f)bf′a′e′b′c′4′k′（3′）k(4)3

它们是AB上的Ⅲ点与EF上的Ⅳ点在V面上重影，由其H面投影可知，Ⅳ点在前，即e′k′段可见，而k′f′的重影段则为不可见（画虚线）。OXace(f)bf′a′e′b′c′OXace(f)bf′a′e′b′c′4′k′（3′）k(4)32.一般位置直线与投影面垂直面相交利用投影面垂直面的积聚性投影，即可直接求出交点。求铅垂面ABC与一般位置直线DE的交点，并判别可见性。例CADKEBHcebkad

因K在DE上，k必在de上；又因K在△ABC上，故k必积聚在△ABC的H面投影abc上，即k必是de与abc的交点。由k作OX轴的垂线与d′e′相交于k′，K（k′，k）即为所求。解CADKEBHcebkada′d′cebkadXOk′e′b′c′又因直线DE穿过△ABC，在交点K之前的一段为可见，交点K之后则有一段被平面遮挡而为不可见，显然交点K为可见与不可见段的分界点。CADKEBHcebkada′d′cebkadXOk′e′b′c′由于铅垂面的H面投影有积聚性，故可根据它们之间的前后关系直接判别其V面投影的可见性。CADKEBHcebkada′d′cebkadXOk′e′b′c′

即ke一段均在k之前，k′e′为可见，而k′之后的