2023年新高考数学创新题型14 集合复数逻辑语言（数学文化）（解析版）

2023年新高考数学创新题型微专题（数学文化、

新定义）专题14集合，复数，逻辑语言专题（数

学文化）

一、单选题

1.（2022•高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Km1823-1891）

说''上帝创造了整数，其它一切都是人造的“设为虚数单位，复数Z满足Z=i2lβ°（l+2i）,则Z的共规复数是

（）

A.2+zB.2-iC.1-2/D.1+2/

2.（2022秋.浙江温州.高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVVD-19核酸检测，并将数

据整理如图所示，其中集合S表示（）

感染者未发病者

A.无症状感染者B.发病者C.未感染者D.轻症感染者

3.（2021秋•湖北十堰.高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若P,则4”为真命题，则“由。可以

推出夕’‘，即一旦P成立，q就成立，。是夕成立的充分条件.也可以这样说，若9不成立，那么。一定不成立，

<7对。成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于

险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志''是"能至”的（）

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2022秋・云南曲靖•高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如

有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有

神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（）

A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.（2020.陕西榆林.统考一模）在复平面内，复数z=α+bi（。，⅛∈R）对应向量。Z（。为坐标原点），

设∣OZ∣=r,以射线OX为始边，OZ为终边旋转的角为6,贝l]z=r（cos，+isin，），法国数学家棣莫弗发现了

棣莫弗定理：Z,=ζ（cos^+zsin6＞）,Z2=^（cos0,+∕sin6ζ）,贝I]z,=径[cos（q+a）+isin（q+3],由棣

莫弗定理可以导出复数乘方公式：[r（cose+isin6）]”=k（CoS〃6+isin〃e）,已知Z=（K+小则H=（）

A.2√3B.4C.8√3D.16

6.（2021春•重庆沙坪坝∙高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之

一,它说的是：任何一元〃次复系数多项式“X）在复数集中有"个复数根（重根按重数计）那么/（χ）=χ3-l

在复平面内使/（X）=0除了1和-4+3i这两个根外，还有一个复数根为（）

ʌ1√3.Rl「1√3.n1√5.

22222222

7.（2021春・安徽宣城•高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式e"=cosx+isinx（i为虚数单位），

它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重

要的地位.根据欧拉公式可知，e苧表示的复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（2022・全国•高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔（Re〃eDeSCa"es）创制

的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数z"z∣=l且z∙（l+i）＞0

（其中i是虚数单位），则复数Z=（）

A.√2-^iB.√2+√2i

「&n√2√2.

C.--------1U.----1----1

2222

9.（2022•全国•高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独

立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程％3+1=0,它的

两个虚数根分别为（）

ʌl±√3in-l±√3i

22

c±l+g^iD±1-/

•~2~∙~~

10.（2022.全国,高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到

分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i2=-l,17世

纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用α+历（。、beR）表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面若

复数Z满足方程z?+2z+5=0,则Z=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

ɪɪ.（2022•高一单元测试）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数•三三数之,

剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二•问：物几何？现有如下表示：已知4=kk=3"+2,"wN*},

B={x∖x=5n+3,neN'},C=Kk=7〃+2,〃eN*},若XeACBCC,则下列选项中符合题意的整数X为

A.8B.127C.37D.23

12.（2022秋•浙江温州♦高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑

洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，

就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、”卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定

义：若一个〃位正整数的所有数位上数字的〃次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一

位正整数的自恋数组成集合4,集合B={x|—3<x<4,xwZ},则ACB的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

13.（2019•江西•高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表

示数值的算法，其理论依据是：设实数X的不足近似值和过剩近似值分别为2和4（a,",c,d∈M）,则*

aca+c

2714

是X的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道e=2.71828...,若令而<©<亍则第一次用“调日法”

后得4]1是e的更为精确的过剩近似值2，7即京<41e<],若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可

得0的近似分数为

A109C68「19C87

A.B.—C.—D.—

4025732

14.（2022∙上海.高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，

它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质

量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买Iog黄金，售货员先将5g的

祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的祛码放入右盘，将另一黄金放于左盘使

之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）

A.大于IOgB.小于IogC.大于等于IogD.小于等于IOg

15.（2022・高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如

图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（）

A.如果0>6,6>c,那么4>c

B.如果a>b>0,那么a?〉"

C.如果α>b,c>O,那么αc>6c

D.对任意实数“和6,有4+Zri≥2",当且仅当α=h时，等号成立

16.（2022秋•北京丰台♦高一统考期末）《几何原本》卷H的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的

重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，

点尸在半圆。上，点C在直径AB上，⅛OFVAB,设4C=α,BC=b,可以直接通过比较线段。尸与线段

CF的长度完成的无字证明为（）

a+

A.a2+b2>2ab(a>0,b>0)B.^>>∕ab(a>0,⅛>0)

2

a+b∣f+廿a

(α>0,⅛>0)D.--≤∙∕cib(«>0,b>0)

-Ξ-^V-T~a+h

17.（2022•全国•高三专题练习）18世纪末,挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使

复数及其运算具有了几何意义，例如IZl=IOZI,也即复数Z的模的几何意义为Z对应的点Z到原点的距离.已

知复数Z满足∣z∣=2,则∣z-3-4i∣的最大值为（）

A.3B.5C.7D.9

18.（2022∙全国•高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式

∕=cosx+isinx,（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数，XeR）,这个公式在复变论中有非常重要的

地位，被称为“数学中的天桥“，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（）

（I-r-∖2022

A.e'n-ɪ=OB.2cosx=e^br+etτC.2sinx=e"-e*D.-^-+―i=-1

122）

19.（2020•天津•南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国

数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是

指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MUN=Q,MCN=0,M中的每一个元素都

小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割（M,N）,下列选项中一

定不成立的是（）

A.Λ7没有最大元素，N有一个最小元素

B.M没有最大元素，N也没有最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.Λ/有一个最大元素，N没有最小元素

20.（2021春•安徽•高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰

富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图.请研究下面一道不定方程整数解的问题：己知

x202n+y2=2y,（x≡Z,yeZ）则该方程的整数解有（）组.

A.1B.2C.3D.4

21.（2022秋•四川成都•高一成都七中校考期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提

出了“勾三股四弦五'’这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了

勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5,则这个直角三角形周长的最大值等于（）.

25

A.10√2B.IOC.5+5√2D.—

22.（2017.湖北.校联考一模）我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和

周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中第送命题的个数是

A:对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；

P2:如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆：

匕：圆（x-l）2+（y-l）2=4的一个太极函数为F（X）=X3_3/+3X；

P4:圆的太极函数均是中心对称图形；

心：奇函数都是太极函数；

心：偶函数不可能是太极函数.

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

23.（2021春•广东梅州•高二统考期末）欧拉公式*=cosx+isinx（其中i为虚数单位，XeR）是由瑞士

著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在

复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）

A.复数/对应的点位于第一象限B.评为纯虚数

C.复数关二的模长等于;D.启的共粗复数为∙l-3i

√3+ι2e22

24.（2022春・广东梅州•高一统考期末）欧拉公式e"=cosx+isinx（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单

位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常

重要的地位，被誉为“数学中的天桥“，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（）

iπ

A.e+l=0

B.复数。在复平面内对应的点位于第二象限

C.复数今的共物复数为且-Li

e22

D.复数e"（eeR）在复平面内对应的点的轨迹是圆

25.（2022•高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对

抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念

则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“「是G上的一个代数运算，即对所有

的a、⅛∈G,有a∙bEG,如果G的运算还满足：①Va、b、c∈G,有（"∙b）∙c=α∙（b∙c）;②使得

Va∈G,有e∙α="∙e=α,③VaeG,3⅛∈G,使a∙b=b∙a=e,则称G关于构成一个群.则下列说法正确

的有（）

A.G={-1,0,1}关于数的乘法构成群

B.G={∙4κ1,Z∈Z,⅛≠0}U{x∖x=m,"2∈Z,关于数的乘法构成群

κ

C.实数集关于数的加法构成群

D.G={nz+T∑"∣,","∈Z}关于数的加法构成群

26.（2020秋・江苏盐城•高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股

十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题

的一般解法：如图1,用对角线将长和宽分别为匕和α的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成

一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩

形，该矩形长为4+8,宽为内接正方形的边长/由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设。

为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形对角线A£,过点A作AFlBC于点尸，则下列推理

正确的是（）

②由AE≥AF可得

③由4）≥AE可得

④由Af>≥AR可得42+∕>2≥2".

A.①B.②C.③D.(4)

27.（2022秋.黑龙江佳木斯.高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷∏的几何代数法（以几何方法研

究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过

图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点。在半圆。上，点C在直径A3上，且COLAB.设

AC=a,CB=b,CElOD,垂足为E,则该图形可以完成的无字证明为（）

廿

A,^b≥-b4+

a+b*

c∙明必D.a2+b2≥2∖[ab

28.（2022秋・辽宁大连•高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度

与肚脐至足底的长度之比是包二ɪ（且二i=0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.

22

此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是五二！.若某人满足上述两个黄金分割比

2

例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.168cmB.172cmC.176cmD.180cm

29.（2021秋•全国•高一期末）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和

中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定

义与今天大致相同.而今我们称+为正数α,b的算术平均数，，区为正数。出的几何平均数，并把这两者

结合的不等式疝5管（。>0/>0）叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）

A.若而=4,贝∣Jα+8≥4

B.若〃〉0,力>0,则（"+26）（:+t）最小值为4及

C.若4力∈（0,~HX>）,2cι+b=T,——h—≥4

2ab

2f2o

D.若实数〃/满足0>0,b>0ta+b=49则2→上-的最小值是彳

α+l⅛÷13

30.（2022秋・辽宁大连•高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”

作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用"V”和">”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深

远.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是（）

A.若QbWo且Q<z?,则B.若a>b,Ovcvl,则c"<c?

ab

C.若a>b>l,Ol,则Iog,C<log∕D.若a<b<-l,c>0,则>

三、填空题

31.（2022・全国•高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两

个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数α=5+3i,0=4+3i（i为虚数单位），则/一从=

32.（2022・全国•高三专题练习）《清平乐•六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行

程二万”，假设诗句的前一句为真命题，贝「到长城''是"好汉''的条件（填“充分不必要'“‘必要不充

分,,“充要“既不充分也不必要,,）

33.（2022∙高一课时练习）中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四

日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？“，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可

表示为,此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为.

34.（2022秋•江苏扬州•高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是指以几何方法研究代数问题，这

种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现

证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=0,BC=b,。为AB的中点，

以AB为直径作半圆.过点C作A8的垂线交半圆于£）,连接。。，AD.BD,过点C作的垂线，垂足

为E,过点。作。。的垂线OG,使得OG=Oc∙该图形完成怒＜病＜等＜后尹的无字证明.图

中线段_________的长度表示匕的调和平均数当，线段______________的长度表示。，匕的平方平均

a+b

数」汇直.

35.（2022秋・浙江温州•高三温州中学校联考期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个

问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，

其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有

人，每个人分得两银子

36.（2023∙全国•高三专题练习）著名数学家棣莫佛（De"Qbre,1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论

和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：［r（cosO+isin，）『=r"（cos〃e+isin〃6）,

其中r＞0,〃wN,.已知r（cos-+isin-）=-16,根据这个公式可知『=_____.

_44_

37.（2022秋•辽宁沈阳•高一沈阳市第八十三中学校考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”

是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数X的不足近似值和过剩近似值分别为2和

a

-,a,b,c,de^,则处［是X的更为精确的近似值.已知畜＜兀＜果，试以上述兀的不足近似值乎和

cQ+cJOzU36

过剩近似值指为依据，那么使用两次“调日法”后可得兀的近似分数为.

38.（2021∙江苏.高一专题练习）由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学

家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将

有理数集Q划分成两个非空的子集M与N,且满足MUN=Q,MCN=0,M中的每一个元素都小于N

中的每一个元素，则称（",N）为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割（M,N）,下列选项中一定不成

立的是.

①M没有最大元素，N有一个最小元素；

②M没有最大元素，N也没有最小元素；

③M有一个最大元素，N有一个最小元素；

④M有一个最大元素，N没有最小元素；

四、解答题

39.（2022秋♦江苏盐城∙高一盐城中学校考阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特

殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，

是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不

少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元：（3）

整体代入：（4）整体求和等.例如，ab=\,求证：---+—[=1.证明：原式=*T■―-τ----r^i■—I=L

l+α∖+bab+a∖+bl+b∖+b

波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生

长'’类似问题,我们有更多的式子满足以上特征.阅读材料二:基本不等式例W等（a>0力乂）），当且仅当α=b

时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在x>0的条件下，当X为何值时，X+1有最小值，最

小值是多少？

专题14集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）

一、单选题

1.（2022•高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Km“ecker,1823-1891）

说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的“设为虚数单位，复数Z满足Z=严2°（l+2i）,则Z的共轨复数是

（）

A.2+zB.2-zC.l-2zD.1+2/

【答案】C

【分析】利用虚数单位的幕的运算规律化简即得Z=l+2i,然后利用共扼复数的概念判定.

【详解】解：i202°）5"5=I,.∙.Z=1+2i,Z=1-2/,

故选：C.

2.（2022秋•浙江温州.高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COWZM9核酸检测，并将数

据整理如图所示，其中集合S表示（）

【答案】A

【分析】由S=AlB即可判断S的含义.

【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合8的交集，

所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，

故选：A.

3.（2021秋•湖北十堰•高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若P,则夕’为真命题，则”由。可以

推出，'，即一旦P成立，。就成立，。是。成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么P一定不成立，

q对P成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于

险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.

【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时"能至”一定不成立，

所以"能至''是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，

故选：B.

4.(2022秋・云南曲靖•高一校考期中)杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如

有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有

神助一般，由此可得，“读书破万卷''是"下笔如有神”的()

A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.

【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的

阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.

因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.

故选：C

5.(2020・陕西榆林•统考一模)在复平面内，复数z=α+5(。，Z>eR)对应向量OZ(O为坐标原点)，

设IOZl=乙以射线OX为始边，OZ为终边旋转的角为。，贝∣Jz=r(cose+isin6),法国数学家棣莫弗发现了

棣莫弗定理：ZI=MCoSa+isin6∣),z2=r,(cos⅛+Zsin<⅞),贝!］华=住［cos(q+<⅞)+isin(α+2)］,由棣

莫弗定理可以导出复数乘方公式：［r(cos，+isin，)T=r"(cos〃，+isin〃，)，已知Z=(G+i),则H=()

A.2√3B.4C.8√3D.16

【答案】D

【解析】根据复数乘方公式：ECoSe+isinα)］"=∕∙"(cos∕+isin"6),直接求解即可.

【详解】Z=(J+=12管■+}=16^cos-^-+∕sin

=16cos^4×-^j+zsin^4×-^j=-8+8Λ∕3Z,

FI=1Gy+（8可=16.

故选：D

【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复

数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.

6.（2021春.重庆沙坪坝.高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之

一，它说的是：任何一元〃次复系数多项式/（x）在复数集中有"个复数根（重根按重数计）那么/（χ）=V-I

在复平面内使"x）=0除了1和-；+乎√这两个根外，还有一个复数根为（）

ʌ1√3.Rl省.「1√3.nI√5

22222222

【答案】B

【分析】利用方程根的意义，把-1+迫，・代入方程，经化简变形即可得解.

22

【详解】因’+走，是方程"x）=0的根，

、

z1√3Λ31/16.2ɪ

即2222」+乌2

22

乌

g1乌

=(-ɪ---+

2222

2(-

与

(-1乌

--+

222

所以」且√是方程"χ）=0的根.

2

故选：B

7.（2021春•安徽宣城•高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式*=cosx+isinx（i为虚数单位）,

它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重

要的地位.根据欧拉公式可知，e争表示的复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据欧拉公式代入求解即可.

【详解】解：根据欧拉公式声=CoSX+isinx,

ZB争3π..3π√2√2.

4422

即它在复平面内对应的点为,

故位于第二象限.

故选：B.

8.(2022•全国•高三专题练习)“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔(RMeOescsies)创制

的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数z,忖=1且z∙(l+i)>0

(其中i是虚数单位)，则复数z=()

A.√2-√2iB.√2+√2i

r,√2√2,n√2√2.

2222

【答案】C

【分析】根据条件，设z=α+bi,再列式求。力，即可得到复数.

【详解】设z="+历，a2+b2=∖,①

(α+6i)(l+i)=(α-b)+(α+6)i>0,得α+6=0,B,a-b>O②，

由①②解得：α=也，b=一显,

22

所以Z=走一也i.

22

故选：C

9.(2022•全国•高三专题练习)2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独

立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程％3+1=0,它的

两个虚数根分别为()

ʌ1士占r-l±√3i

22

c±l+√¾D±1-后

【答案】A

【分析】根据方程根的定义进行验证.

【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轨复数，因此排除CD,

∙,J+Gi、3,,l+3∙√3i+3∙(√3i)2+(√3i)3.,-8+3√3i-3√3i,

Aλ41ff贝ii，(-----)+1=------------------------------------+1=---------------------+[1=Uλ,

288

因此选项A正确，则选项B错误(因为3次方程只有3个根(包括重根)).

故选：A.

10.(2022.全国•高三专题练习)人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到

分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了F=-I,17世

纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，ma+bi(a.b∈R)表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面若

复数Z满足方程Z2+2Z+5=0,则Z=()

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

【答案】C

【分析】设出复数Z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.

22

【详解】设z=α+bi(α,bwR),Hz+2z+5=0,K∣J(«+⅛i)+2(α+⅛i)+5=0,

即(/-/+2q+5)+2b(α+l)i=0,而α,beR,则一"：2：+5=。，解得

2⅛(a+l)=0[b=±2

所,以z=—1±2i.

故选：C

II.(2022•高一单元测试)中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：今有物，不知其数,三三数之,

剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二•问：物几何？现有如下表示：已知A=kk=3"+2,"eN*},

8=kk=5"+3,"eN*},C=HX=7"+2∕eN*},若XeACBCC,则下列选项中符合题意的整数X为

A.8B.127C.37D.23

【答案】D

【解析】将选项中的数字逐一代入集合A、B、C的表达式，检验是否为A、B、C的元素，即可选出正确

选项.

【详解】因为8=7xl+l,则8任C,选项A错误；

127=3×42+1,则127eA,选项B错误;

37=3×12+1,则37eA,选项C错误；

23=3x7+2,故23eA；23=5×4+3,⅛xeB;23=7x3+2,故XeC,贝∣j23eAcBcC,选项D正确.

故选：D.

12.(2022秋・浙江温州•高一校考阶段练习)在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑

洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，

就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、”卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定

义：若一个〃位正整数的所有数位上数字的"次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一

位正整数的自恋数组成集合4集合B={x|-3<x<4,xwZ},则AcB的子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【分析】根据自恋数的定义可得集合A,再根据交集的定义求出ACB，从而可得答案.

【详解】解：依题意,A={1,2,3,4,5,6,7,8,9},B={-2,-1,0,1,2,3},

故Aβ={l,2,3},故ACB的子集个数为8.

故选：D.

13.（2019∙江西•高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表

示数值的算法，其理论依据是：设实数X的不足近似值和过剩近似值分别为2和4（α,4c,"eN.）,则"其

aca+c

是X的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道e=2.71828…，若令2带7<e<］14，则第一次用“调日法”

后得4看1是e的更为精确的过剩近似值，即2养7<e<41£，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可

得e的近似分数为

109r68-19-87

A.—B.—C.—D.—

4025732

【答案】C

【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案.

【详解】第一次用“调日法''后得意是e的更为精确的过剩近似值，即意<e<£；第二次用“调日法”后得崇

是e的更为精确的过剩近似值，即养第三次用“调日法”后得£是e的更为精确的不足近似值，即

1968所以答案为19

故选：C

【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.

14.（2022•上海•高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，

它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质

量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买IOg黄金，售货员先将5g的

祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的祛码放入右盘，将另一黄金放于左盘使

之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）

A.大于IOgB.小于IOgC.大于等于IogD.小于等于Iog

【答案】A

【分析】设天平左臂长为。，右臂长为b（不妨设。>〃），先称得的黄金的实际质量为叫，后称得的黄金的

实际质量为吗.根据天平平衡，列出等式，可得吗,吗表达式，利用作差法比较叫+网与io的大小，即可

得答案.

【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为。，右臂长为b（不妨设”>b）,

先称得的黄金的实际质量为叫，后称得的黄金的实际质量为加2.

由杠杆的平衡原理：bmy=a×5,am,=h×5.解得见=学，科=曳.

ba

,5b5a

则γλ叫+网=—+—.

ab

下面比较町十加2与I。的大小：（作差比较法）

因为（町+∕n7）-IO=-+—-10=^^——»

「吃，abab

因为山b,所以5（∕xα）->0,即m}+m2>10.

ab

所以这样可知称出的黄金质量大于10g.

故选：A

15.（2022.高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如

图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（）

A.如果α>b,b>c,那么α>c

B.如果a>b>Q,那么”2>从

C.如果4>Ac>O,那么ac>6c

D.对任意实数。和6,有当且仅当“=6时，等号成立

【答案】D

【分析】直角三角形的两直角边长分别为。力，斜边长为J则。2=/+〃，利用大正方形的面积与四个直

角三角形面积和的不等关系得结论.

【详解】直角三角形的两直角边长分别为a/,斜边长为J则/=〃2+从，

在正方形的面积为¢2,四个直角三角形的面积和为2必，因此有C2≥2",即/+∕≥2αb,当且仅当α=b

时，中间没有小正方形，等号成立.

故选：D.

16.(2022秋・北京丰台•高一统考期末)《几何原本》卷H的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的

重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形,

点F在半圆。上，点C在直径AB上，S.OFlAB,设AC=α,BC=b,可以直接通过比较线段OF与线段

CF的长度完成的无字证明为()

+

A.a2+b2>2ab(4>0,b>0)B.>∖[ab(a>0,b>0)

2

D.^~≤4at>(a>0<⅛>0)

(0>0,b>0)

a+b

【答案】C

【分析】由图形可知OF=；AB=g(α+6),OC=g(α-8),在RtaOCF中，由勾股定理可求CF,结合CF≥OF

即可得出.

【详解】解：由图形可知，OF=∣AB=l(α+⅛),OC=^a+b)-b=^a-b),

在Rt△(?C尸中，山勾股定理可得，

,/CF>OF,

故选：C.

17.(2022∙全国•高三专题练习)18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使

复数及其运算具有了几何意义，例如IZl=IQZl,也即复数Z的模的几何意义为Z对应的点Z到原点的距离.B

知复数Z满足国=2,则∣