高二上学期期末复习【第一章 空间向量与立体几何】十大题型归纳（拔尖篇）（原卷版）

2023-2024学年高二上学期期末复习第一章十大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1根据空间向量的线性运算求参数题型1根据空间向量的线性运算求参数1．（2023上·福建泉州·高二校考阶段练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若BE=AA．x=-12,y=C．x=-12,y=-2．（2023上·河北·高二校联考阶段练习）在四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，OM=λMAλ>0，NA．13 B．3 C．12 D3．（2022·高二课时练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是上底面A1(1)AE=x(2)AF=x(3)EF=x4．（2023·高二课时练习）如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体．（1）化简12AA1+BC+（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N=14C1B，设MN=αAB+βAD题型2题型2向量共线、共面的判定及应用1．（2023下·江西宜春·高二校考期中）如果A(1,5,-1),B(2,4,1),C(a,3,b+2)三点共线，那么a-b=（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·河南新乡·高二统考期末）下列条件能使点M与点A,B,C一定共面的是（

）A．OMB．OMC．OMD．OM3．（2022上·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1,AB的中点，E在4．（2023·高二课时练习）如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=(1)求证：A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；(2)求证：平面ABCD//平面EFCH(3)求证：OG=k题型3题型3空间向量的夹角及其应用1．（2022上·山东·高二校联考阶段练习）已知向量a=(1,0,3)，单位向量b满足a+2b=2A．π6 B．π4 C．π32．（2023下·上海浦东新·高二校考阶段练习）空间有一四面体A-BCD，满足AD⊥AB，AD⊥AC，则所有正确的选项为（

）①DB⋅②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若AB<DA且AC<DAA．② B．①③ C．②④ D．②③④3．（2023上·安徽蚌埠·高二统考期末）在三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAB，平面PAC⊥平面ABC.

(1)证明：PA⊥平面ABC；(2)若PA=22AB=22BC,D为PC中点，求向量AP4．（2023·全国·高二专题练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是(1)求CD(2)求AO与CB的夹角的余弦值(3)判断AO与CD题型4题型4利用空间向量的数量积求模1．（2023下·福建莆田·高二统考期末）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，

A．9 B．29 C．47 D．42．（2023下·甘肃天水·高二统考期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=

A．AC1=a+b+C．AC1=a+b+3．（2023上·福建泉州·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，A1C

(1)试用a,b,c(2)若∠BAC=90∘，∠BAA1=∠CA4．（2022上·北京通州·高二统考期中）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=22，(1)求AB⋅(2)求∠DAA(3)求OA1题型5题型5利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题1．（2023上·河北保定·高二统考期中）若a,b,A．a-b，2a+b-c，3C．a-b，a+b-c，2b2．（2022上·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知O、A、B、C为空间中不共面的四点，且OP=A．34 B．-18 C．13．（2022·高二课时练习）A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，AF=25AM，判断三点C、4．（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM=(1)判断MA,(2)判断点M是否在平面ABC内.题型6题型6利用空间向量基本定理解决夹角、距离、垂直问题1．（2023下·江苏泰州·高二统考期末）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=60°A．3 B．2 C．5 D．62．（2023下·湖南·高二校联考阶段练习）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2，CC1=2，AA1与ABA．14 B．155 C．1053．（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC=4,∠ABC=∠BCP=∠DCP=120(1)利用空间向量证明PA⊥BD；(2)求AP的长.4．（2023上·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设AB=a，AC=(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．题型7题型7空间向量平行、垂直的坐标表示1．（2023下·广东揭阳·高二统考期末）已知空间向量a=1,2,-2，b=3,λ,μ-1，若a//A．1 B．-1 C．2 D．-22．（2023上·河南洛阳·高二统考期末）设x，y，z∈R，向量a=(x，1，1)，b=1，y，z，c=2A．57 B．36 C．3 D．93．（2022上·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知a=(2,-1,-4),(1)若(a-b(2)若(a+3b)⊥(4．（2023上·安徽亳州·高二校考开学考试）已知点A(1)若c=3，且c//BC(2)若ka+b与k(3)求cosa题型8题型8利用空间向量研究点、线、面的距离问题1．（2023上·浙江宁波·高二校联考期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1DA．2 B．233 C．1 D2．（2023上·河南新乡·高二统考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4,PD=455,E是PA的中点，FB=2PF，则点

A．3105 B．2105 C．3．（2022下·湖南长沙·高一校考期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD

(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM//平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求P到直线CE的距离.4．（2023下·天津红桥·高一统考期末）如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4,E是PD的中点.

(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；(3)求B点到平面EAC的距离.题型9题型9利用空间向量求空间角1．（2023上·贵州铜仁·高二统考期末）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点E，F分别是B1C

A．36 B．1117 C．1762．（2023下·江苏南京·高二统考期末）已知平面α与平面β的法向量分别为n1与n2，平面α与平面β相交，形成四个二面角，约定：在这四个二面角中不大于90∘的二面角称为两个平面的夹角，用θ表示这两个平面的夹角，且cosθ=cosn1,n2=n1⋅n2n1⋅

A．63 B．42121 C．-3．（2023上·天津津南·高二校考期末）如图，AE⊥平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD⊥AB,AB=AD=1，AE=BC=2CF=2.

(1)求证：BF//平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.4．（2023下·全国·高一期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，顶点在A1

(1)求证：A1C(2)求棱AA1与(3)在线段B1C1上确定一点P，使AP=14题型10题型10利用空间向量研究存在性问题1．（2023上·江西·高三校联考期末）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为2的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段BC上的动点，则下列结论不正确的是（

）A．存在点E、使得A、F、D、E四点共面；B．存在点E，使DE⊥DF；C．存在点E，使得直线DE与平面CDF所成角为π3D．存在点E，使得直线DE与直线AF所成角的余弦值352．（2023上·北京·高二清华附中校考期末）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱B1①存在点P，使得PA②存在点P，使得BD1⊥③△PA④四面体A1其中，所有正确的结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023上·上海普陀·高二校考期末）正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高，E､F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角(1)求证：直线AB∥平