备考2024年高考数学一轮复习-函数综合练

专题3.9函数综合练

题号一二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（2023•全国•高一专题练习）已知函数/（力是定义在［-2,2］上的奇函数，且当xe（O,2］时,/（x）=x2-2x+2,则

的最小值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2023春・北京•高二北京市第一六六中学校考期中）若函数〃耳二%3—3%+2的零点的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

3.（2023・全国•高三专题练习）已知〃=1窕3。・3,b=303,。=0.3。7,则（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

4.（2023秋•江苏扬州•高三校考阶段练习）“。=3”是“函数〃力=-卜-4在区间［3,+8）上为减函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2023春•黑龙江大庆•高三大庆实验中学校考阶段练习）设函数的定义域为R,7（x+1）为奇函数，/（x+2）

为偶函数，当xe［l,2］时，〃”=依2+6,若〃0）+八3）=12,则［3=（）

5

A.5B.4C.—D.2

2

6.（2023・全国•高三专题练习）蒸发和沸腾都是汽化现象，是汽化的两种不同方式.蒸发是在液体表面发生的汽化

过程，沸腾是在液体内部和表面上同时发生的剧烈的汽化现象.溶液的蒸发通常是指通过加热使溶液中一部分溶剂

汽化，以提高溶液中非挥发性组分的浓度或使溶质从溶液中析出结晶的过程.通过实验数据可知，某液体的蒸发速

度y（单位：L/h）与液体所处环境的温度x（单位：。C）近似地满足函数关系>（e为自然对数的底数，°,b

为常数）.若该液体在10℃时蒸发速度是0.2L/h,在20℃时蒸发速度是0.4L/h,则该液体在40℃时蒸发速度为（）

lOa+b

e=02

翻译这两句信息，可得方程组2。〃”In；这就是将文字信息翻译或数学语言的体现

e—u.q,

A.0.5L/hB.0.6L/hC.0.8L/hD.1.6L/h

7.（2023•江西新余•统考二模）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰

天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的

标志性建筑之一，函数解析式为〃可=1±£二（〃＞（））,则下列关于/（力的说法正确的是（）

A.3«>0,/⑺为奇函数

B.Va>0,/(a)在(。,+℃)上单调递增

C.Ba>0,/(a)在(-8,0)上单调递增

D.Va>0,/(x)有最小值1

8.（2023春.云南文山•高三校联考期中）设数/（%）=］吗（龙?1，2＜产4,若/（彳）=。有四个实数根了和x无

［（x-5）,x＞4

且%＜%＜退＜%,贝u«的取值范围是（）

5x2—1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目栗求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.（2022•海南•校联考模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

A.y=cosxB.y=¥+sinxC.y=ln|x|D.y=x2+l

2

W-（2。23春・浙江•高三校联考期中）已知函数小）=七fY工Y二＞0则下列判断错误的是（）

A.7（x）是奇函数B.7（x）的图像与直线y=i有两个交点

C.7（%）的值域是0+8）D./（X）在区间（-8,0）上是减函数

11.（2022秋・河南南阳•高三校考期末）己知函数/⑺=［工；!'：：函数y=〃x）-〃有四个不同的零点七，々,

X3,x4,且&＜々＜w＜尤4，贝!1（）

A.〃的取值范围是（0,1）B.%的取值范围是（0,1）

,2皆+2为-

C.x3+x4=4D.----------=2

X3+X4

12.（2023春・辽宁本溪•高一校考阶段练习）设函数f（x）的定义域为R,/（X-1）为奇函数，/（x+1）为偶函数，当

xe［T/］时，f（x）=-x2+l,则下列结论正确的是（）

B.〃x+7）为奇函数

C.在（6,8）上为减函数

D.方程/（力+1改=。仅有6个实数解

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.（2023秋•贵州黔西•高三统考期末）已知定义域为R的函数是奇函数且"：）［*）＜o.若对于任意/eR,

不等式/（r-2）+/（2/一Q＜0恒成立，则上的取值范围为.

15.（2023•江苏南京•统考二模）累函数/（x）=£（aeR）满足：任意xeR有/（一力=/（力，＞/（-1）＜/（2）＜2,

请写出符合上述条件的一个函数"X）=.

16.（2022秋•江苏南通・高三江苏省南通中学校考阶段练习）已知函数＞=。2（4'+。2+1-耳的值域为口.则实数。

的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知定义在［m一12H上的函数/（x）=侬?+HX+3M+〃是偶函数.

（1）求相，”的值；

（2）求函数/（X）在其定义域上的最值.

18.（2023秋•四川眉山•高一校考期末）（1）计算：2.5）°-［3|，+］|］；

,-3x

(2)已知罐=1。8327+尼25+2尼2—7幅2,求丁十。的值.

ax+a~x

19.已知函数“X）的定义域为（0,+8）,且对任意的正实数x，y都有〃肛）=/（x）+“y）,且当X＞1时,F（x）＞0,

"4)=1.

⑴求了A

⑵求证:〃尤）为（0,+8）上的增函数;

⑶解不等式/(x)+/(x-3)Wl.

20.已知函数/（同二］士.

⑴判断〃尤）的奇偶性；

（2）判断了（x）的单调性，并用单调性的定义证明；

⑶若方程尤）［2-〃尤）=兄在区间［-2,3］上恰有1个实根，求实数4的取值范围.

21.（2023春•湖南长沙•高二湖南师大附中校考期中）已知关于x的函数/（x）=（4-力）4'+2，，其中XeR.

（1）当几=g时，求/（X）的值域；

⑵若当xe（-8,2］时，函数/（X）的图象总在直线＞=-2的上方，2为整数，求2的值.

22.（2023秋•江苏扬州•高一校考阶段练习）已知函数〃x）=a8+2'是偶函数.

Q4

⑴求实数。的值；

⑵求函数、=〃2力+/（力的值域.

专题3.9函数综合练

题号一二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(2023•全国•高一专题练习)已知函数f(x)是定义在［-2,2］上的奇函数,且当xe(O,2］时，f(x)=x2-2x+2,则

的最小值是()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】先求得x«0,2］时，函数/'(x)的值域为［L2］,结合函数”X)为奇函数，求得函数/'⑴的值域，进而求得

其最小值.

【详解】当x«0,2］时，函数”X)=V-2X+2=(X-1)2+1,

当x=l时,/(^=/(1)=1；当x=2时，/(^=/(2)=2,

所以函数在(0,2］上的值域为［L2］

因为〃尤)是［-2,2］上的奇函数，所以〃尤)的值域为［-2,-1］J{O}U［1,2］,

所以的最小值是-2.

故选：A.

2.(2023春・北京•高二北京市第一六六中学校考期中)若函数〃x)=V-3x+2的零点的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】先求出定义域，再求导，得到函数单调性，并结合特殊值及零点存在性定理得到答案.

【详解】/(x)=d-3x+2的定义域为R,且用勾=3/一3,

当x>l或x<-l时，f(x^=3x2-3>0,当一1<X<1时，/'(%)=3%2-3<0,

故/⑺=丁—3x+2在(-w-1),(1,上单调递增，在(-1,1)上单调递减，

X/(-l)=-l+3+2=4>0,/(1)=1-3+2=0,/(-2)=-8+6+2=0,

故函数/(力=三-3彳+2的零点的个数为2.

故选：c

3.（2023•全国•高三专题练习）已知〃=log30.3,?=c=0.307,则（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】由指对数的性质判断大小关系即可.

O703

【详解】ia=log30.3<0<C=O.3<1<b=3,

所以

故选：B

4.（2023秋•江苏扬州•高三校考阶段练习）“〃=3”是“函数〃x）=Tx-4在区间［3,+8）上为减函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出函数在区间［3,+8）上为减函数的。的取值范围，结合与。=3的关系求出答案

【详解】/（力=-卜-4的图象如图所示，

要想函数"力=卜-4在区间［3,+8）上为减函数，必须满足aW3,

因为｛3｝是｛。|。43｝的子集,

所以““=3”是“函数"力=-卜-a|在区间［3,内）上为减函数”的充分不必要条件.

故选：A

5.（2023春.黑龙江大庆.高三大庆实验中学校考阶段练习）设函数〃x）的定义域为R,7（x+1）为奇函数，/（x+2）

为偶函数，当xe[l,2]时，“力=加+6,若〃0)+〃3)=12,贝()

5

A.5B.4C.—D.2

2

【答案】A

【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数的周期性、代入法进行求解即可.

【详解】因为“X+1）为奇函数，所以有“X+1）=-〃T+1）,

因为/(x+2)为偶函数，所以有/(x+2)=/(-x+2),

/(x+l)=_〃-X+1)=/(x+2)=-〃-X)=/(-X+2)=-=〃x+2)

n-/(x+2)=/(x+4)n〃x)=/(x+4),

所以函数的周期为4,

由〃x+l)=—〃-x+l)n〃O)=—〃2),

由2)=+2)n”3)="1),

由〃0)+"3)=12=-/(2)+〃l)=12=—(4a+b)+a+6=12na=-4,

/■(x+l)=_/(—_r+l)n/(l)=—/(l)n/(l)=0na+6=0=%=4,

故选：A

【点睛】关键点睛：根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用赋值法是解题的关键.

6.（2023・全国•高三专题练习）蒸发和沸腾都是汽化现象，是汽化的两种不同方式.蒸发是在液体表面发生的汽化

过程，沸腾是在液体内部和表面上同时发生的剧烈的汽化现象.溶液的蒸发通常是指通过加热使溶液中一部分溶剂

汽化，以提高溶液中非挥发性组分的浓度或使溶质从溶液中析出结晶的过程.通过实验数据可知，某液体的蒸发速

度y（单位：L/h）与液体所处环境的温度x（单位：。C）近似地满足函数关系y=e3"（e为自然对数的底数，a,b

为常数）•若该液体在10℃时蒸发速度是.0.2L/h,在20C时蒸发速度是0.4L/h,则该液体在40℃时蒸发速度为（）

[10a+6-Q9

翻译这两句信息，可得方程组2。〃+〃这就是将文字信息翻译或数学语言的体现

Ie—u.4,

A.0.5L/hB.0.6L/hC.0.8L/hD.1.6L/h

【答案】D

【分析】根据已知条件联立方程组，求出e',eJ利用函数值的定义和指数的运算性质即可求解.

（10a+6_Q9

【详解】由题意可知2。“+〃二”，两式相除得』。。=2,一所以J=0.1,

[e=0.4

当元=40时，e40a+l,^（e,0a）4-ei）^1.6,

所以该液体在40℃时蒸发速度为1.6L/h.

故选：D.

7.（2023•江西新余•统考二模）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰

天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的

XX

标志性建筑之一，函数解析式为〃x）=眇+e%）”则下列关于的说法正确的是（）

2a

A.3a>0,/（尤）为奇函数

B.Va>0,/（无）在（0,+℃）上单调递增

C.3a>0,/(x)在(-8,0)上单调递增

D.Va>0,/(x)有最小值1

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义及复合函数的单调性逐一判定即可.

【详解】由题意易得A*）定义域为R,〃“_e"+e"_e”+e=〃⑼，即了⑴为偶函数,

2a2a

故A错误；

令y=』（x>0），则、>1且，随x增大而增大，

XX1

此时M=e"+ea=y+—（y>l）,由对勾函数的单调性得〃单调递增，

根据复合函数的单调性原则得/（*）在（。,+◎上单调递增，故B正确；

结合A项得/⑺在（-8,0）上单调递减，故C错误；

土」］1

结合B项及对勾函数的性质得"=e"+e=y+->2=>/（x）>-,故D错误.

ya

故选：B.

8.（2023春•云南文山•高一校联考期中）设数/（无）=［腿2"一0，2<：’4,若/（彳）=。有四个实数根毛，尤合向x4

（（x-5）,x>4

11

且玉<%<当<工4，则的取值范围是（）

5x2-1

1613

D.(3,co)

A.了‘5B.C.吟

【答案】A

【分析】画出分段函数的图像，结合题意，利用数形结合的方法即可求解.

【详解】作出函数〃力的图象如图所示，

由图可知，当0<0<1时，直线y=a与函数f（无）的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为不，巧，x3,x4,且

xl<x2<x3<x4f

由图可知，点（退，”），（%，。）关于直线x=5对称，则鼻+4=10,

由图可知，2<%,<3,3<x2<4,由/(西)=/(%2)可得Tog2(Xi-2)=log2(X2-2),所以-2=,则有

L…(x+x4)x1cl21

所以，—~----=2%+-----=-----+-----

5%—1入2―1入2-2%2-]

21

令gQ)=--+—;+4,在(3,4)上为减函数,

x-2x—1

且g⑶=£,g(4)=g，

故5+%)%

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.（2022・海南•校联考模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

A.y=cosxB.y=¥+sinxC.y=ln\x\D.y=x2+l

【答案】AC

【分析】对于选项A和C,都满足定义域关于原点对称且/（-x）=〃x）,所以是偶函数，令〃x）=O能解出实数解，

所以存在零点；对于选项B,不满足〃-力=/（力，所以函数不是偶函数；对于选项D,令〃x）=0不能解出实数

解，所以不存在零点.

【详解】对于选项A,因为函数丁=侬犬的定义域为xeR,且cos（-x）=cosx,所以V=cosx是偶函数；令cosx=0

7T

解得x=5+E,AeZ,所以函数存在零点，

故选项A正确.

对于选项B,因为走+sin（-x）=Y^-sinxw交+sinx,所以该函数不是偶函数，故选项B错误.

2v722

对于选项C,因为函数y=hiW的定义域为｛X|XH。｝,且词一可=1川小所以丁=13才是偶函数；令111凶=0解得了=±1,

所以函数存在零点，

故选项C正确.

对于选项D,令尤2+1=0,即/=-1,无实数解，所以函数不存在零点,

故选项D错误.

故选：AC

I尤2%>0

°（2。23春・浙江•高三校联考期中）已知函数小）=七工二。,则下列判断错误的是（）

A.y（x）是奇函数B./（幻的图像与直线y=l有两个交点

C."X）的值域是［0,+8）D.Ax）在区间（-8,0）上是减函数

【答案】AB

【分析】根据分段函数的解析式及基本初等函数的图象与性质逐一分析即可.

【详解】如图所示，作出函数图象，显然图象不关于原点中心对称，故A不正确;

函数图象与直线V=1有一个交点，故B错误；

函数的值域为0+8）,且在区间（-8,0）上是减函数，即C、D正确;

故选：AB

1函数>=/（x）—。有四个不同的零点七，巧,

11.（2022秋・河南南阳•高三校考期末）已知函数“X）

元3，九4，且玉<9V工3<%4，贝U（）

A.。的取值范围是（0,1）B.尤2-玉的取值范围是（。/）

,23+29-

C.w+z=4D.----------=2

x3+x4

【答案】AC

【分析】结合/（x）的图象，由图可知%<0,。</<1,由二次函数的对称性，可得工3+匕=4,可得答

案.

【详解】y=/（x）-。有四个不同的零点七，x°,马，匕，即方程“力=。有四个不同的解.

〃尤）的图象如图所示，由图可知。\<0,0<x2<1,所以马-再>。，

即x2—xt的取值范围是(0,+co),

2xi+2为1

由二次函数的对称性，可得£+无4=4.因为1.2%=2也-1，所以2项+2*=2，故----

x3+x42

12.(2023春•辽宁本溪•高三校考阶段练习)设函数〃x)的定义域为R,/(x-1)为奇函数，/(x+1)为偶函数，当

xw[T,l]时，〃力=一公+1,则下列结论正确的是()

B./(x+7)为奇函数

C.〃x)在(6,8)上为减函数

D.方程〃"+1改=0仅有6个实数解

【答案】BD

【分析】根据/(x-1)为奇函数，/(x+1)为偶函数，推出函数/(x)的一个周期为8、/(x)的图象关于点(-1,0)对称、

关于直线x=l对称，再根据这些性质可判断A错误，B正确，C错误；作出了(无)与y=-lgr的大致图象，结合图

像可判断D正确.

【详解】因为/(x+1)为偶函数，所以/(尤+1)=〃一X+1),

所以/(无-1+1)=/(-(x-1)+1),即/(X)=/(-%+2),

因为〃x-l)为奇函数，所以〃》-1)=-〃一%-1),

所以/(-x+3-1)=-/(-(-x+3)-1),即/(-尤+2)=-f(x-4),

所以以x)=-于(x-4),所以-4)=-/(x-4-4)=-/(x-8),

所以/(尤)=/(尤一8),所以f(x+8)=/(x),即函数/⑴的一个周期为8.

在/(x)=/(-x+2)中，=得/g[[彳+2]=/1-1),

在〃>1)=一"一一1)中，令人一;，得"-|卜-/心-1)=-“一£|，

x/H)=4+i=r所以佃卜T故A错误；

因为/(x+8)=/(x),所以/(x+7)=〃x—l),

所以/(T+7)=/(T-1)=-/(X-1)=—/(X-1+8)=-/(X+7),从而〃x+7)为奇函数，故B正确;

因为/(%)=-犬+1在区间(T，。)上是增函数，且了⑺的一个周期为8,

所以〃x)在(7,8)上单调递增，在(6,8)上不为减函数.故C错误；

因为/(尤-1)为奇函数，所以/(%)的图象关于点(-1,0)对称，

因为/(x+1)为偶函数，所以/(X)的图象关于直线尤=1对称，

又当时，/(x)=-x2+l,

作出〃力与〉=-脸的大致图象，如图所示.

如

尸Tgx

y=f(x)

X

-1

其中y=-Igx单调递减且-lgl2＜-1,所以两函数图象有6个交点,

故方程/(可+1股=。仅有6个实数解，故D正确.

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.(2023秋•贵州黔西•高三统考期末)已知定义域为R的函数/(x)是奇函数且山上/^＜。.若对于任意fwR,

司一々

不等式/(产-2/)+/(2--Q＜0恒成立，则左的取值范围为.

【答案】(-8,-；)

【分析】根据奇偶性得到了(产-2。＜/(左-2/)，再根据单调性得到〃一2/＞左-2产恒成立，之后参变分离，求出左的

取值范围.

【详解】解：因为是定义域为R上的奇函数，且对于任意feR,不等式-2。+/(2/一勾＜0恒成立，

所以_2/)＜寸(2产—左)=/(左—2/)，即/(产—2t)＜/(左一2/),

又因为所以在R上〃X)是单调递减函数，

则有t2-2t>k-2t2恒成立，即3t2-2t>k恒成立，

11

令g«)=3»-2乙feR,贝(1gsm^=一耳，所以上<-§，

所以上的取值范围是(-00,-；).

故答案为：

【答案】19

【分析】根据指数塞的运算性质即可求解.

1

【详解】(-1.8)°

A/OXH+

4(3V』*249

=l+-x--10+32=l+-x——10+27=19.

9⑵94

故答案为：19

15.(2023•江苏南京•统考二模)幕函数〃x)=x"(aeR)满足：任意xeR有/(—x)=/(x),且"—1)<〃2)<2,

请写出符合上述条件的一个函数〃x)=

2

【答案】户(答案不唯一)

2

【分析】取"％)=/，再验证奇偶性和函数值即可.

222

【详解】取/(%)=/,则定乂域为R,且/(_%)=(_%)4=卢=/(%),

2

〃一1)=1，〃2)=23=力，满足〃T)<〃2)<2.

2

故答案为：声.

16.(2022秋・江苏南通・高三江苏省南通中学校考阶段练习)已知函数y=log2(4J：+a•2，+l-a)的值域为R.则实数a

的取值范围是.

【答案】或aW-2(0+l)

【分析】根据题意可得85)=4，+心2工+1-。能取到所有的正数，采用换元法令"2二/>0,则可得

/7(。=/+必+1-。/>0能取到所有的正数，讨论a的取值，结合二次函数性质即可求得答案.

【详解】若使得函数y=log,(4'+a•2,+1-q的值域为R,

令g(x)=4'+a-2'+l-a,贝|g(x)=4,+a+1—。能取至I」所有的正数,

令"/=2',才>0,令h(t)=厂+at+1—a,£>0,

则h(t)=t2+at+l-a,t>0能取到所有的正数，

当—40,即时，用⑺在，>0时递增，

2

故需满足飘。)《。，

当-■!>(),即0<。时，需满足/7(-学40,

即(—―)-+ci(——)+1—a<0,解得a<—2(-\/2+1)

综合以上可得实数a的取值范围是a21或。4-2(&+l),

故答案为：或。《-2(0+1).

四、解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知定义在恤-1,2间上的函数/(X)=侬2+依+3加+〃是偶函数.

(1)求相，”的值；

(2)求函数/(X)在其定义域上的最值.

【答案】⑴叫，〃=0;

(2)最小值为1,最大值为苗31.

【分析】(1)根据函数为偶函数及定义域可得〃-1+2m=0,求解可得机，根据偶函数的定义可得”的值;

(2)由(1)得函数/(元)的解析式及定义域可得函数的图象，即可得函数的最值.

【详解】(1)：/(x)=〃优2+办+3加+〃是偶函数，

函数的定义域关于原点对称.

又：函数“X)的定义域为［〃7-1,2间,

〃2-1+27〃=0,解得，"=g.

又/(f)=如2-/ix+3m+n,

所以mx2—njc+3m+n=mx2+nx+3m+n^^n=0.

i「22一

(2)由⑴得函数的解析式为/(力=§/+1,定义域为—,

其图象是开口方向朝上，对称轴为％=0的抛物线，

・・•当x=0时，/(^=/(0)=1,

221431

//-+--X-+1---

3-33927

18.(2023秋•四川眉山•高一校考期末)(1)计算：一(-2.5)°-(3|『+1||；

I〃-3x

(2)已知优=log327+lg25+21g2—7啕2,求〃十〃的值.

ax+a~x

【答案】(1)y;(2)1.

乙9

【分析】(1)根据指数塞的运算化简求值，即可求得答案；

(2)根据对数的运算法则化简求值，可得优的值，再结合指数的运算即可求得答案.

12

【详解】⑴原式=(I)33I291991

-I—=---------1—=

22'42442

x3

(2)6z=log33+21g5+21g2-2=3+2(lg5+lg2)-2=3+2-2=3,

所以+〃-31_(优)+(〃-x)_(优+「).(〃2x+

+axax+axax+ax

a2r+a-2x-l=(ax)+(/”)—1=(/)-1=32+Q^-1=^-

19.己知函数“X)的定义域为(0,+8),且对任意的正实数x，y都有/(孙)=/(尤)+/(y),且当x>l时,〃x)>o,

〃4)=L

⑴求了A

(2)求证:f(无)为(0,+功上的增函数;

(3)解不等式〃x)+〃x-3)WL

【答案】(1)-2

(2)证明见解析

(3)(3,4]

【分析】(1)利用赋值法，先令工=y=1求出”1)；令X=y=4，可求得“16)；再令尤=16,y=」，可求得/

16A

(2)设国>%>0,根据单调性定义结合当先>1时,/(x)>0证明即可;

(3)将〃X)+〃X-3)<1转化为/[x(x-3)]v〃4),再根据(2)的结论，列不等式组求解即可.

【详解】⑴因为/(取)=〃x)+f(y)"(4)=l,

令》='=1,则〃1)=〃1)+/(1),解得"1)=0,

令尤=y=4,则〃16)=〃4)+/(4)=2,

令A16,y=[则〃1)=〃16)+/偿]，

16"6/

所以=卜〃16)=_2.

(2)设%>%2

因为当x〉l时,〃x)>0,则

令y=5,则/(I)=/(x)+/(J,即H=一/(X),

所以/(占)一『(尤2)=/(为)+/['[=7{±]>0,

\X1J\X2)

根据单调性定义,“X)为(0,+8)上的增函数.

(3)因为“X)在(0,+功上为增函数，

又〃尤)+〃x-3)=/卜(彳一3)]V1="4),

x>0

所以，x-3>。，解得3<x44,

x(x-3)<4

即原不等式的解集为(3,4］.

20.已知函数

⑴判断〃尤)的奇偶性；

(2)判断了(x)的单调性，并用单调性的定义证明；

⑶若方程-〃*)=几在区间［-2,3］上恰有1个实根，求实数4的取值范围.

【答案】(1)奇函数

(2)单调递增，证明见解析；

⑶“。［(一1所4'万24一-

【分析】(1)根据奇偶性的定义求解；

(2)根据单调性的定义证明；

⑶先求出/(x)的值域，令/=/(%),将原方程等价于直线y=几与函数>=产-1只有一个交点即可.

【详解】(1)因为y(x)=|^,定义域为R,

2-x-l1-2X2X-1

又)=

2一%+11+2”2X+1

所以/(%)是奇函数;

(2)函数/(%)单调递增,

/2再-12日_1(2%-1)(2*+1)-付+1)(2J)

设尤1＞々，则有：“尤|)一『(无2)=亍晅

2范+1-(2%>+1)(2%2+1)

2(24-2,

(2%+1)(2也+1)'

因为玉,2%>2*，2"+1>0,2传+1>0,

所以/(%)-/(9)>。，即/(%)>/(%)，

所以函数〃x)单调递增；

「37-

(3)由于〃无)是单调递增的，当xe［-2,3］时，〃x)w,

「37一

令t=/(x),则［〃x)丁?-=X等价于方程〃一52=0在re时有一个根,