04 模块四　统计与概率 【正文】听课手册

微专题12计数原理微点1排列组合基本问题例1(1)用五种不同颜色给三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点涂色,要求每个顶点涂一种颜色,且在同一条棱上的两个顶点涂不同颜色,则不同的涂法有 ()A.840种 B.1200种C.1800种 D.1920种(2)[2023·济南二模]已知abc表示一个三位数,如果满足a>b且c>b,那么我们称该三位数为“凹数”.没有重复数字的三位“凹数”共有个.(用数字作答)

[听课笔记]

【规律提炼】对于排列组合的问题,要熟练掌握基本原则和基本方法,例如有限制条件的排列问题服从特殊元素或特殊位置优先原则,相邻问题用捆绑法、不相邻问题用插空法、定序问题用倍缩法等,分类过多的问题考虑间接法,特别注意分类要谨防重复与漏解.自测题1.[2023·湛江一模]小明在设置银行卡的数字密码时,计划将自己出生日期的后6个数字0,5,0,9,1,9进行某种排列得到密码.若排列时要求两个9相邻,两个0也相邻,则小明可以设置不同的密码的个数为 ()A.16 B.24 C.166 D.1802.[2023·山东济宁二模]某中学举办田径运动会,某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加4×100米接力赛,其中甲只能跑第1棒或第2棒,乙只能跑第2棒或第4棒,那么甲、乙都参加的不同安排方案种数为 ()A.48 B.36 C.24 D.12微点2二项式定理及其应用例2(1)[2023·江苏无锡四校联考]已知(x-2)5+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a1= ()A.11 B.74C.86 D.-1(2)1x+x(3)[2023·北京房山区二模]若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+a2+a3+a4=.

[听课笔记]

【规律提炼】对于求解二项展开式中特定项的系数问题,可用待定系数法利用二项展开式的通项来解决;求展开式中若干项系数的和、差等,一般用赋值法达到解决问题的目的.自测题1.[2023·山东菏泽二模]若(3-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=.

2.[2023·湖南郴州质检]若x2+1x2-22(x+m)3(m>0)的展开式中3.若x8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a8(x+1)8,则a3=.

1.[2023·新课标Ⅱ卷]某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法做抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 ()A.C40045·C20015种 B.C.C40030·C20030种 D.2.[2022·新高考全国Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,则甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有 ()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种3.[2020·全国新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 ()A.120种 B.90种 C.60种 D.30种4.[2022·浙江卷]已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=,a1+a2+a3+a4+a5=.

5.[2023·天津卷]在2x3-1x6的展开式中6.[2023·新课标Ⅰ卷]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).

7.[2022·新高考全国Ⅰ卷]1-yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为(

微专题13统计与成对数据的统计分析微点1数据处理与分析例1(1)[2023·江苏南通二模]某校组织1000名学生参加了环保知识竞赛,从中随机抽取20名学生的成绩(单位:分)并作出如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是 ()A.频率分布直方图中a的值为0.004B.估计这20名学生的成绩的第60百分位数为75C.估计这20名学生的成绩的众数为80D.估计这1000名学生中成绩在[60,70)内的学生人数为150(2)(多选题)[2023·福州模拟]某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计,得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的扇形图和90后从事这两个行业的岗位分布的雷达图如图所示,则下列说法中正确的是 () A.芯片、软件行业从业者中,90后占比超过50%B.芯片、软件行业中,从事技术、设计岗位的90后人数超过总人数的25%C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中,90后人数比80后人数多D.芯片、软件行业中,90后从事市场岗位的人数比80前的总人数多[听课笔记]

自测题1.(多选题)[2023·张家口三模]一组互不相等的样本数据x1,x2,…,xn,其平均数为x,方差为s2,极差为m,中位数为n,去掉其中的最小值和最大值后,余下数据的平均数为x',方差为s'2,极差为m',中位数为n',则下列选项一定正确的是(A.n=n' B.x=xC.s2>s'2 D.m>m'2.(多选题)[2023·山东烟台一模]近年来,我国人口老龄化持续加剧,为改善人口结构,促进人口长期均衡发展,国家出台了一系列政策,如2016年起实施全面二孩政策,2021年起实施三孩政策等.根据下面的统计图,下列结论正确的是 ()2010年至2022年我国新生儿数量折线图A.2010年至2022年每年新生儿数量的平均数大于1400万B.2010年至2022年每年新生儿数量的第一四分位数小于1400万C.2015年至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势D.2010年至2016年每年新生儿数量的方差大于2016年至2022年每年新生儿数量的方差微点2回归模型角度1变量间的相关关系例2大坝是具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程.为预测渗压值和控制水库水位,工程师在水库中选取一支编号为BS3的渗压计,随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据:样本号i12345678910合计水库水位xi/m75.6975.7475.7775.7875.8175.8575.6775.8775.9075.93758.01BS3号渗压计管内水位yi/m72.8872.9072.9272.9272.9372.9472.9472.9572.9672.98729.32并计算得∑i=110xi2≈57457.98,∑i=110yi2≈53190.77,∑(1)分别估计该水库的平均水位与BS3号渗压计管内的平均水位;(2)求该水库BS3号渗压计管内水位y关于水库水位x的经验回归方程(系数精确到0.01);(3)某天雨后工程师测量了水库水位,并得到水库的水位为76m,利用以上数据估计此时BS3号渗压计管内水位.附:经验回归方程y=a+bx中,b=∑i=1n(xi-x)(角度2拟合模型例3[2023·广东汕头二模]汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素,汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某机构通过试验测得行驶里程x(单位:万千米)与某品牌轮胎凹槽深度y(单位:毫米)的数据如下:x0.000.641.291.932.573.223.864.515.15y10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图,如图所示.(1)根据散点图,可认为散点集中在直线y=bx+a附近,由此判断行驶里程x与轮胎凹槽深度y线性相关,并计算得如下数据,请求出行驶里程x与轮胎凹槽深度y的样本相关系数r(保留两位有效数字),并推断它们线性相关程度的强弱.xy∑i=19x∑2.576.20115.1029.30(2)通过散点图,也可认为散点集中在曲线y=c1+c2ln(x+1)附近,考虑使用非线性回归模型,并求得非线性经验回归方程为y=10.11-3.75ln(x+1)及该模型的决定系数R22≈0.998.已知(1)中的线性回归模型的决定系数R12≈0附:样本相关系数r=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1【规律提炼】1.(1)正确理解计算b,a的公式和准确地计算是求经验回归方程的关键;(2)经验回归直线y=bx+a必过点(x,y).2.(1)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点图来判断两个变量之间是否具有线性相关关系,若具有线性相关关系,则可通过经验回归方程来估计和预测;(2)对于非线性回归分析问题,应先进行变量代换,求出代换后的经验回归方程,再求非线性经验回归方程.自测题[2023·运城三模]数据显示中国车载音乐已步入快速发展期,随着车载音乐的商业化模式进一步完善,市场将持续扩大,下表为2018~2022年中国车载音乐市场规模(单位:十亿元)数据,其中年份2018~2022对应的代码为1~5.年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知,可用非线性经验回归方程y=a·bx拟合y与x的关系,求a,b的值(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境,相关部门把b-1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率,请预测2024年的中国车载音乐市场规模.参考数据:v∑i=15xe0.524e0.4721.9433.821.71.6其中v=lny,v=15∑i参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=∑i=1nuivi-n微点3独立性检验例4[2023·浙江湖州、衢州、丽水三地联考]为提升学生的人文素养,培养学生的文学学习兴趣,某学校举办诗词竞答大赛.该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成,必答题双方都需给出答案,答对得1分,答错不得分;抢答题由抢到的一方作答,答对得2分,答错扣1分.两个环节结束后,累计总分高者获胜.因为学生普遍反映该赛制的公平性不足,所以学校将进行赛制改革:调整为必答题4道,抢答题2道,且每题的分值不变.(1)为测试新赛制对选手成绩的影响,该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别进行演练,并统计双方的胜负次数.请补全以下2×2列联表,依据小概率值α=0.05的独立性检验,分析获胜方与赛制是否有关联.单位:次获胜方赛制合计旧赛制新赛制甲6乙1合计1020(2)学生丙擅长抢答,已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6,答对每道抢答题的概率为0.8,答对每道必答题的概率为p(0<p<1),且每道题的作答情况相互独立.(i)记丙在1道抢答题中的得分为X,求X的分布列与数学期望;(ii)已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1,求p的取值范围.附:χ2=n(ad-α0.100.050.01xα2.7063.8416.635自测题[2022·新高考全国Ⅰ卷]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,P(B|A)P(i)证明:R=P(A|(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.附:χ2=n(α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828.1.(多选题)[2021·新高考全国Ⅱ卷]下列统计量中,能度量样本x1,x2,…,xn的离散程度的是 ()A.样本x1,x2,…,xn的标准差B.样本x1,x2,…,xn的中位数C.样本x1,x2,…,xn的极差D.样本x1,x2,…,xn的平均数2.(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷]有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则 ()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差3.[2020·全国新高考Ⅰ卷]为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:χ2=n(α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

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微专题14概率微点1古典概型例1从正方体的8个顶点和中心中任取4个点,则这4个点恰好构成三棱锥的概率为 ()A.4163 B.3863 C.23 [听课笔记]

自测题[2023·广东茂名二模]从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数,则该三位数能被3整除的概率为 ()A.110 B.15 C.310 微点2概率的基本性质例2[2023·山东潍坊模拟]甲袋中装有4个白球,2个红球和2个黑球,乙袋中装有3个白球,3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋,再从乙袋中随机取出1个球.用A1,A2,A3分别表示从甲袋中取出的球是白球、红球和黑球,用B表示从乙袋中取出的球是白球,则 ()A.A1,A2,A3两两不互斥B.P(B|A2)=1C.A3与B是相互独立事件D.P(B)=1[听课笔记]

自测题(多选题)[2023·湖北十一校联考]设A,B分别为随机事件A,B的对立事件,已知0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列说法正确的是 ()A.P(B|A)+P(B|A)=1B.P(B|A)+P(B|A)=0C.若A,B是相互独立事件,则P(A|B)=P(A)D.若A,B是互斥事件,则P(B|A)=P(B)微点3条件概率与全概率公式例3(1)[2023·山东济宁二模]在排球比赛的小组循环赛中,每场比赛采取五局三胜制.甲、乙两队小组赛中相遇,积分规则如下:以3∶0或3∶1获胜的球队积3分,落败的球队积0分;以3∶2获胜的球队积2分,落败的球队积1分.若甲队每局比赛获胜的概率为35,则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下,甲队前两局比赛都获胜的概率是(2)[2023·安徽怀远一中等五校联考]在某地A,B,C三个县区爆发了流感,这三个县区分别有3%,2%,4%的人患了流感.若A,B,C三个县区的人数之比为4∶3∶3,现从这三个县区中任意选取一个人,则这个人患了流感的概率是.(用小数表示)

[听课笔记]

自测题1.[2023·湖南师大附中模拟]已知甲箱中有6个篮球,2个足球,乙箱中有5个篮球,3个足球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱,分别用事件A1,A2表示从甲箱中取出的球是篮球、足球,再从乙箱中随机取出2个球,用事件B表示从乙箱中取出的2个球都是篮球,则P(B)= ()A.512 B.55144 C.2572 2.[2023·锦州模拟]某考生回答一道有4个选项的单项选择题,设他会答该题的概率是35,并且会答时一定能答对,若不会答,则在4个选项中任选1个作为答案.已知该考生回答正确,则他确实会答该题的概率是【规律提炼】1.计算概率是概率小题解题技巧的重要环节.在计算概率时,通常用两种方法:频率法和古典概型法,在解决古典概型相关问题时,可以用枚举法或者排列组合法计算概率.2.在概率计算中,常常会遇到利用概率的基本性质来解决与互斥事件、对立事件有关的概率的判断或计算.3.当事件不是互斥事件、对立事件时,一般利用条件概率和全概率公式来解决复杂事件.1.[2022·新高考全国Ⅰ卷]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 ()A.16 B.13 C.12 2.[2021·新高考全国Ⅰ卷]有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 ()A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立3.(多选题)[2023·新课标Ⅱ卷]在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).则 ()A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率4.[2022·全国甲卷]从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为.

5.[2023·天津卷]甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6,这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为;将三个盒子中的球混合后任取一个球是白球的概率为.

微专题15随机变量及其分布微点1统计与概率的综合问题例1[2022·新高考全国Ⅱ卷]在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100位这种疾病患者的年龄,得到如图所示的样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)估计该地区这种疾病患者的年龄在区间[20,70)内的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄在区间[40,50)内的人口数占该地区总人口数的16%,从该地区选出1人,若此人的年龄在区间[40,50)内,求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).自测题[2023·锦州模拟]某中学为提高学生身体素质,日常组织学生参加中短跑锻炼,学校在一次百米短跑测试中,抽取了200名女生的成绩(单位:秒),整理得到如图所示的频率分布直方图(每组区间包含左端点,不包含右端点).(1)估计这200名女生短跑成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)假设该校女生的短跑成绩X~N(μ,σ2),其中μ为样本平均数,σ2为样本方差s2,经计算得s2=5.79,若从该校女生中随机抽取10人,记其中短跑成绩在(11.34,20.98]内的人数为Y,求P(Y≤8)(结果保留2位有效数字).附:取5.79等于2.41,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973,0.682710≈0.0220,0.954510≈0.6277,0.997310≈0.9733,0.68279≈0.0322,0.95459≈0.657微点2比赛情境下的概率分布问题例2[2023·重庆一中模拟]2023年重庆市青少年围棋团体锦标赛于3月25日在重庆一中开幕.现有来自两个代表队的学生报名表,分别装入两袋,第一袋有5名男生和4名女生的报名表,第二袋有6名男生和5名女生的报名表,现等可能地选择一袋,然后从中随机抽取2名学生的报名表,让这2名学生与其他代表队的选手比赛.(1)求恰好抽到1名男生和1名女生的报名表的概率.(2)若某代表队派甲、乙两名队员参赛,比赛记分规则如下:在每局比赛中,胜者积1分,负者积-1分,没有平局,比赛共进行两轮,第一轮是甲、乙各与对方的队员比赛一局,第二轮是每队从第一轮比赛的两名选手中再各派一名选手比赛一局,总积分高者获胜.已知每局比赛甲赢的概率为34,乙赢的概率为12.甲、乙两人所在代表队以最佳策略派出队员参加第二轮比赛,自测题[2020·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.微点3风险与决策问题例3人工智能(AI)是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某校成立了A,B两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐的概率分别为P1,P2.为测试AI软件的识别能力,计划采用以下两种测试方案:方案一:将100首音乐随机分配给A,B两个小组识别,每首音乐只被一个AI软件识别一次,并记录结果;方案二:对同一首音乐,A,B两组分别识别2次,如果识别的正确次数之和不小于3,那么称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下:正确识别的音乐数量之和占总数的35,在正确识别的音乐中,A组占23,在错误识别的音乐中,B组占(i)请根据以上数据填写下面的2×2列联表,并依据小概率值α=0.05的独立性检验,分析识别音乐是否正确与软件类型是否有关联.单位:首软件类型识别音乐是否正确合计正确错误A组的AI软件B组的AI软件合计100(ii)利用(i)中的数据,将频率视为概率,求方案二在一次测试中通过的概率.(2)研究性小组为了验证AI软件的有效性,需多次执行方案二,假设P1+P2=43,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的均值为16?并求此时P1,P2的值附:χ2=n(ad-α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828自测题“五一”期间,某商场为吸引顾客,推出购物促销优惠活动,具体优惠方案有两种.方案一,消费金额不满300元,不予优惠,消费金额满300元减60元.方案二,消费金额满300元,可参加一次抽奖活动,活动规则为:从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球(这些小球除颜色不同外其余均相同),抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣,具体优惠如下:抽到的红球个数0123优惠折扣无折扣九折八折七折(1)现有甲、乙两位顾客各获得一次抽奖机会,求这两位顾客中恰好有一人获得八折优惠的概率;(2)若李女士在该商场的消费金额为x(x>300)元,请以李女士实付金额的期望为决策依据,对李女士选择何种优惠方案提出建议.【规律提炼】1.概率与统计问题体现了较高的思维能力,此类问题以真实情景为载体,注重考查学生的应用意识、化归与转化能力,充分体现了概率与统计的工具性和综合性.2.概率问题的核心是概率计算、离散型随机变量的分布列及其期望求解,其中事件的互斥、对立、相互独立及条件概率是概率计算的核心,题目一般较为复杂,逻辑性强,需要根据题目选择正确的模型和分布列,对号入座,尤其要关注比赛问题、风险决策问题背景的概率题;统计问题的核心是样本数据的获得及分析,考题一般“广而不深”,重点是统计图表的应用、样本的数字特征及统计案例.1.[2021·新高考全国Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是 ()A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果小于9.99的概率与大于10.01的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等2.[2022·新高考全国Ⅱ卷]随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=.

3.[2022·浙江卷]现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=,E(ξ)=.

4.[2021·新高考全国Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列.(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.

热点呈现:概率与数列、函数的结合以及概率中的证明问题,是近几年高考出现的热点问题.概率与数列、函数的综合题主要考查概率背景下数列及函数导数知识的应用.问题一与数列结合的概率问题例1[2023·新课标Ⅰ卷]甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率.(2)求第i次投篮的人是甲的概率.(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E∑i=1nXi=∑i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y自测题长江十年禁渔计划全面施行,渔民老张积极配合政府工作,如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资,并看中了