20 微专题17　圆锥曲线的标准方程与性质 【正文】教师

微专题17圆锥曲线的标准方程与性质[备选理由]例1考查了由实际问题背景解决双曲线简单性质问题;例2考查了椭圆的定义、性质与其他知识融合求离心率问题;例3、例4考查了抛物线的性质与几何图形的性质相结合的问题.1[配例1使用]随着我国经济的迅猛发展,人们对电能的需求越来越大,而使用电能排放的气体会出现全球气候变暖的问题,这在一定程度上威胁到了人们的健康.所以,为了提高火电厂一次能源的使用效率,有效推动社会的可持续发展,必须对火电厂节能减排技术进行深入探讨.火电厂的冷却塔常用的外形之一就是旋转单叶双曲面,它的优点是对流快、散热效果好,侧面可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面(如图①).某火电厂的冷却塔设计图纸比例(长度比)为1∶40(图纸上的尺寸单位:m),图纸中单叶双曲面的方程为x2+y2-14z2=1(-2≤z≤1)(如图②),则该冷却塔占地面积为 (C) A.2800πm2 B.3000πm2C.3200πm2 D.4800πm2[解析]令z=-2,得x2+y2=2,这是一个半径为2的圆.又设计图纸的比例为1∶40,所以该冷却塔底面是一个半径为402m的圆,则该冷却塔的占地面积为π×(402)2=3200π(m2).故选C.2[配例2使用](1)[2023·深圳二模]设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上,且F1P·F1F2=12A.13 B.C.12 D.(2)(多选题)[2023·武汉调研]椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点在圆x2+y2-5x-4y+4=0上,A.12 B.C.255 D[解析](1)设∠PF1F2=θ,由已知可得,|PF1|=|F1F2|=2c,根据椭圆的定义有|PF2|=2a-|PF1|=2a-2c.又F1P·F1F2=12a2,所以4c2cosθ=12a2.在△PF1F2中,由余弦定理可得,|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cosθ,即(2a-2c)2=8c2-8c2cosθ=8c2-a2,整理可得4c2+8ac-5a2=0,等式两边同时除以a2可得4e2+8e-5=0,解得e=12或e=-52((2)将圆的方程化为标准形式得x-522+(y-2)2=254,圆与x轴的两个交点的坐标分别为(1,0),(4,0),与y轴的交点的坐标为(0,2),椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点在x轴上.当右焦点坐标是(1,0),右顶点坐标是(4,0)时,a=4,c=1,此时离心率e=14;当右焦点坐标是(1,0),上顶点坐标是(0,2)时,b=2,c=1,此时a=5,离心率e=55;当右焦点坐标是(4,0),上顶点坐标是(0,2)时,b=2,c=3[配例3使用][2023·青岛二模]已知O为坐标原点,直线l过抛物线D:y2=2px(p>0)的焦点F,与D及其准线依次交于A,B,C三点(其中点B在A,C之间),若|AF|=4,|BC|=2|BF|,则△OAB的面积是 (B)A.3 B.4C.23 D.8[解析]过点B作BM垂直于准线,垂足为M,过点A作AN垂直于准线,垂足为N,设准线与x轴相交于点P,如图,则|BM|=|BF|,|AN|=|AF|=4.在△MBC中,|BC|=2|BF|=2|BM|,所以∠MCB=30°,所以在△ANC中,|AC|=2|AN|=8,所以|AC|=|AF|+|CF|=8,所以|CF|=8-|AF|=4.又CN⊥x轴,∠MCB=30°,所以|PF|=12|CF|=2.又抛物线D:y2=2px,则P-p2,0,Fp2,0,所以|PF|=p2+p2=p=2,所以抛物线D:y2=4x,点F(1,0).因为∠MCB=30°,所以直线AB的斜率k=-3,则直线AB:y=-3(x-1).由y2=4x,y=-3(x-1),消去y得3x2-10x+3=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=103,则|AB|=|BF|+|AF|=|BM|+|AN|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=103+2=163.直线AB:y=-3(x-1)的方程可化为3x+y-3=0,则点O4[配例4使用](多选题)[2023·宁波二模]三支不同的曲线y=ai·|x-1|(ai>0,i=1,2,3)交抛物线y2=4x于点Ai,Bi(i=1,2,3),F为抛物线的焦点,记△AiFBi的面积为Si,则下列说法正确的是 (AD)A.1|FAi|+B.A1B1∥A2B2∥A3B3C.若S1+S2=2S3,则a1+a2=2a3D.若S1S2=S32,则a1a2[解析]如图,设直线y=ai(x-1)与抛物线y2=4x交于点Ci,Bi,则Ai与Ci关于x轴对称,设Ai(x1,-y1),Bi(x2,y2),则Ci(x1,y1),由y=ai(x-1),y2=4x,消去x得y2-4aiy-4=0,所以y1+y2=4ai,y1y2=-4,又y=ai(x-1),所以y1+y2=ai(x1-1)+ai(x2-1)=4ai,y1y2=ai2(x1-1)(x2-1)=-4,则x1+x2=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=2ai2+4ai2+22ai2+4ai2+1+1=1,故A正确;对于B,kAiBi=y2+y1x2-x1=y2+y1y224-y124=4y2-y1=4(y2+y1)2-4y