2020年内蒙古赤峰市中考数学试卷（含解析版）

2020年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1．（3分）实数|﹣5|，﹣3，0，中，最小的数是（）A．|﹣5| B．﹣3 C．0 D．2．（3分）2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（）A．99×10﹣10 B．9.9×10﹣10 C．9.9×10﹣9 D．0.99×10﹣83．（3分）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．正八边形 D．圆及其一条弦4．（3分）学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差5．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．3﹣2＝1 C．（x2）3＝x5 D．m5÷m3＝m26．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（）A．15 B．18 C．20 D．228．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．59．（3分）估计（2+3）×的值应在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3π B．4π C．6π D．9π11．（3分）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（）A． B．﹣ C． D．12．（3分）某几何体的三视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积是（）A．πcm2 B．60πcm2 C．65πcm2 D．130πcm213．（3分）如图，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．614．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A． B． C． D．二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，满分12分）15．（3分）一个正n边形的内角和是它外角和的4倍，则n＝．16．（3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为米（结果保留根号）．17．（3分）某校为了解七年级学生的身体素质情况，从七年级各班随机抽取了数量相同的男生和女生，组成一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试．下表是通过整理样本数据，得到的关于每个个体测试成绩的部分统计表：某校60名学生体育测试成绩频数分布表成绩划记频数百分比优秀a30%良好30b合格915%不合格35%合计6060100%如果该校七年级共有300名学生，根据以上数据，估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为人．18．（3分）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19．（10分）先化简，再求值：m﹣÷，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0．20．（10分）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等．（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．（不写作法，保留作图痕迹）21．（12分）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为；（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．22．（12分）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直径AB的长．24．（12分）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．25．（14分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B，C两点．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．26．（14分）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N．AB＝4，AD＝4．（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数量关系为：∠PDM∠EPN；②的值是；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y．请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值．

2020年内蒙古赤峰市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1．（3分）实数|﹣5|，﹣3，0，中，最小的数是（）A．|﹣5| B．﹣3 C．0 D．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵|﹣5|＝5，＝2，﹣3＜0＜2＜5，∴﹣3是最小的数，故选：B．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3分）2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（）A．99×10﹣10 B．9.9×10﹣10 C．9.9×10﹣9 D．0.99×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000000099＝9.9×10﹣9，故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．正八边形 D．圆及其一条弦【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断．【解答】解：A、最小旋转角度＝＝120°；B、最小旋转角度＝＝180°；C、最小旋转角度＝＝45°；D、不是旋转对称图形；综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是C．故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．4．（3分）学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义即可求解．【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分，与9个原始评分相比，不变的数字特征是中位数．故选：B．【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．3﹣2＝1 C．（x2）3＝x5 D．m5÷m3＝m2【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；B、3﹣2＝，故此选项错误；C、（x2）3＝x6，故此选项错误；D、m5÷m3＝m2，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，解不等式﹣2x+4≥0，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（）A．15 B．18 C．20 D．22【分析】根据平移的性质得到A′A＝CC′＝3，AA′∥BC′，由勾股定理得到B′C′＝＝4，根据梯形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，∴A′A＝CC′＝3，AA′∥BC′，在Rt△ABC中，∵AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝4，∵AA′∥BC′，∴四边形ABC′A′是梯形，∴四边形ABC'A'的面积＝（AA′+BC′）•AC＝（3+4+3）×3＝15，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，梯形的面积，平移的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较典型，但难度不大．8．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．9．（3分）估计（2+3）×的值应在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小．【解答】解：原式＝2+，∵，∴，故选：A．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算，关键是正确掌握二次根式的运算法则．10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3π B．4π C．6π D．9π【分析】由等腰三角形的性质得出BD＝CD，AD⊥BC，则点O是△ABC外接圆的圆心，则由圆的面积公式πr2可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF是AC的垂直平分线，∴点O是△ABC外接圆的圆心，∵OA＝3，∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．11．（3分）如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B（﹣4，0），交y轴于点C（0，3），点D为第二象限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（）A． B．﹣ C． D．【分析】连接BC，如图，先利用勾股定理计算出BC＝5，再根据正弦的定义得到sin∠OBC＝，再根据圆周角定理得到∠ODC＝∠OBC，从而得到sin∠CDO的值．【解答】解：连接BC，如图，∵B（﹣4，0），C（0，3），∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝＝5，∴sin∠OBC＝＝，∵∠ODC＝∠OBC，∴sin∠CDO＝sin∠OBC＝．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．12．（3分）某几何体的三视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积是（）A．πcm2 B．60πcm2 C．65πcm2 D．130πcm2【分析】根据几何体的三视图得这个几何体是圆锥，再根据圆锥的侧面是扇形即可求解．【解答】解：观察图形可知：圆锥母线长为：＝13，所以圆锥侧面积为：πrl＝5×13×π＝65π（cm2）．答：该几何体的侧面积是65πcm2．故选：C．【点评】本题考查了几何体的表面积，解决本题的关键是根据几何体的三视图得几何体，再根据几何体求其侧面积．13．（3分）如图，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A．则△ABC的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，利用反比例函数系数k的几何意义得到S矩形OACD＝2，S矩形ODBH＝6，则S矩形ACBH＝8，然后根据矩形的性质得到△ABC的面积．【解答】解：过B点作BH⊥y轴于H点，BC交x轴于D，如图，∵BC∥y轴，AC⊥BC，∴四边形ACDO和四边形ODBH都是矩形，∴S矩形OACD＝|﹣2|＝2，S矩形ODBH＝|6|＝6，∴S矩形ACBH＝2+6＝8，∴△ABC的面积＝S矩形ACBH＝4．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】由菱形的性质可证△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与x之间函数关系，由二次函数的性质可求解．【解答】解：当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，由题意可得BP＝AQ＝x，∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，∵sin∠BAC＝，∴HQ＝AQ•sin60°＝x，∴△APQ的面积＝y＝（2﹣x）×x＝﹣（x﹣1）2+；当2＜x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于N，由题意可得AP＝CQ＝x﹣2，∵sin∠ACD＝＝，∴NQ＝（x﹣2），∴△APQ的面积＝y＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x﹣2）2，∴该图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∴在2＜x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y有最大值为，故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，满分12分）15．（3分）一个正n边形的内角和是它外角和的4倍，则n＝10．【分析】利用多边形的内角和公式和外角和公式，根据一个n边形的内角和是其外角和的4倍列出方程求解即可．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）＝360°×4，解得n＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．16．（3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为12米（结果保留根号）．【分析】根据题意可得在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，再根据特殊角三角函数即可分别求出CD和BD的长，进而可得该建筑物的高度BC．【解答】解：根据题意可知：在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，∴BD＝AD•tan60°＝9，∴BC＝CD+BD＝3+9＝12（米）．答；该建筑物的高度BC为12米．故答案为：12．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．17．（3分）某校为了解七年级学生的身体素质情况，从七年级各班随机抽取了数量相同的男生和女生，组成一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试．下表是通过整理样本数据，得到的关于每个个体测试成绩的部分统计表：某校60名学生体育测试成绩频数分布表成绩划记频数百分比优秀a30%良好30b合格915%不合格35%合计6060100%如果该校七年级共有300名学生，根据以上数据，估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为240人．【分析】根据频数分布表数据可得a和b的值，进而可以估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数．【解答】解：根据频数分布表可知：9÷15%＝60，∴a＝60×30%＝18，b＝1﹣30%﹣15%﹣5%＝50%，∴300×（30%+50%）＝240（人）．答：估计该校七年级学生身体素质良好及以上的人数为240人．故答案为：240．【点评】本题考查了频数分布表、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，解决本题的关键是掌握统计的相关知识．18．（3分）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．【分析】根据题意，得第一次跳动到A1处，离原点为1个单位，第二次跳到OA1的中点A2处，即在离原点个单位处，第三次从A2点跳动到A3处，即距离原点（）2处，依此即可求解．【解答】解：第一次落点为A1处，点A1表示的数为1；第二次落点为OA1的中点A2，点A2表示的数为；第三次落点为OA2的中点A3，点A3表示的数为（）2；…则点A2020表示的数为（）2019，即点A2020表示的数为；故答案为：．【点评】本题考查了数轴，是一道找规律的题目，本题注意根据线段中点的定义表示出各个点表示的数的规律．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19．（10分）先化简，再求值：m﹣÷，其中m满足：m2﹣m﹣1＝0．【分析】根据分式乘除法则和减法法则化简原式，再将已知方程变形为m2＝m+1，最后代入求值便可．【解答】解：原式＝m﹣＝m﹣＝，∵m2﹣m﹣1＝0，∴m2＝m+1，∴原式＝．【点评】本题主要考查分式乘除法则和减法法则，求代数式的值，考查了整体代入思想，关键是熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则，解题技巧是将已知方程变形，巧用整体代入思想可快速求值．20．（10分）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等．（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】（1）作正方形的对角线即可．（2）连接AC交直线EF于O，过点O作直线c⊥EF即可．【解答】解：（1）如图，直线a，直线b即为所求．（2）如图，直线c即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（12分）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为；（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数，则可计算出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，然后通过比较她们回到圈A的概率的大小可判断游戏是否公平．【解答】解：（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率＝；（2）这个游戏规则不公平．理由如下：画树状图为：共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5，所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率＝，因为＜，所以这个游戏规则不公平．【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．22．（12分）甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用5天．（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？（2）我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两队各自修建公路500m时甲队比乙队少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工（36﹣0.5m）天，根据总费用不超过40万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴2x＝100．答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工＝（36﹣0.5m）天，依题意，得：0.5m+1.2（36﹣0.5m）≤40，解得：m≥32．答：至少安排乙工程队施工32天．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若tan∠PAC＝，AC＝12，求直径AB的长．【分析】（1）连接PO，交AC于H，由等腰三角形的性质可得∠PAC＝∠PCA，∠PAO＝∠OPA，由平行线的性质和圆周角定理可得∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，∠APB＝90°，可证∠DPO＝90°，可得结论；（2）由等腰三角形的性质可求AH＝HC＝AC＝6，由锐角三角函数可求PH＝4，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【解答】解：（1）连接PO，交AC于H，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∵∠PCA＝∠PBA，∴∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，∵DP∥AC，∴∠DPA＝∠PAC＝∠PCA＝∠PBA，∵OA＝OP，∴∠PAO＝∠OPA，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB+∠ABP＝90°，∴∠OPA+∠DPA＝90°，∴∠DPO＝90°，又∵OP是半径，∴DP是⊙O的切线；（2）∵DP∥AC，∠DPO＝90°，∴∠DPO＝∠AHO＝90°，又∵PA＝PC，∴AH＝HC＝AC＝6，∵tan∠PAC＝＝，∴PH＝×AH＝4，∵AO2＝AH2+OH2，∴AO2＝36+（OA﹣4）2，∴OA＝，∴AB＝2OA＝13．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24．（12分）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数如；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；（2）先根据材料2，得出+＝﹣，再求出一元一次方程的解，进而得出＝﹣，即可得出结论；（3）先用m表示出y1，y2，y3，进而表示出它们的倒数，再根据“和谐三数组”分三种情况，建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，，，；理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而2+3＝5，∴能构成“和谐三数组”，故答案为：如；（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴+＝＝﹣，∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，∴x3＝﹣，∴＝﹣，∴+＝，∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝，y2＝，y3＝，∴＝，＝，＝，∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，∴①+＝，∴+＝，∴m＝2，②+＝，∴+＝，∴m＝﹣4，③+＝，∴+＝，∴m＝﹣2，即满足条件的实数m的值为2或﹣4或﹣2．【点评】此题主要考查了新定义的理解和运用，反比例函数图象上点的坐标特征，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．25．（14分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B，C两点．（1）直接写出二次函数的解析式y＝x2﹣x+2；（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）先求出直线BC平移后的解析式，联立方程组可求解；（3）分两种情况，构造出两三角形相似，得出或，进而建立绝对值方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2经过B，C两点．∴点C（0，2），∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（4，0），点C（0，2），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+2，故答案为：y＝x2﹣x+2；（2）∵直线BC解析式为：y＝﹣x+2，∴设平移后的解析式为：y＝﹣x+2+m，∵平移后直线BC与抛物线有唯一公共点Q∴x2﹣x+2＝﹣x+2+m，∴△＝4﹣4××（﹣m）＝0，∴m＝﹣2，∴设平移后的解析式