2021年江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）

2021年江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）1．（3分）9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a﹣b）（a+b）＝a2+2ab+b23．（3分）函数中自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＞0 D．x≤1且x≠04．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形5．（3分）已知一组数据：23，22，24，23，23，这组数据的方差是（）A．3 B．2 C． D．6．（3分）分式方程有增根，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣67．（3分）如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE、BC的延长线交于点F，AE的垂直平分线分别交AE、BC于点H、G，连接EG，则与△FEC相似的三角形个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（a，2）是反比例函数的图象上的点，连接AO并延长与反比例函数图象交于另一点B，将直线AB向下平移，与反比例函数的图象交于C、D两点．若△ABC的面积为5，则向下平移的距离是（）A．3 B．5 C．4 D．9．（3分）在锐角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE为高，F是BC的中点，连接DE，DF，EF．有下列结论：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等边三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②当x≤2时，y随x的增大而减小，则m＝2；③若将它的图象向右平移3个单位后过原点，则m＝1；④当x＝3时函数值与x＝2017时函数值相同，则当x＝2021时的函数值为2018．其中，说法正确的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。）11．（2分）分解因式：y﹣x2y＝．12．（2分）每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA，DNA分子的直径只有0.0000002cm，将0.0000002用科学记数法表示为．13．（2分）若x，y满足方程组，则x+y＝．14．（2分）已知a+b＝3，ab＝﹣4，则＝．15．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，tanB＝3，MN垂直平分AB，AN＝10，则BC＝．16．（2分）锐角△ABC中，∠A＝30°，AB＝m，则△ABC面积S的取值范围是．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y＝x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x，y），则y关于x的函数表达式为．18．（2分）如图，在△ABC中，AD是高，E是AB上一点，CE交AD于点F，且AD：BD：CD：FD＝12：5：3：4，则sin∠BEC的值是．三、解答题（本大题共10小题，共84分.）19．（8分）计算：（1）（）﹣2+﹣|﹣4|；（2）÷（1﹣）．20．（8分）（1）解方程：2x（x﹣2）＝1；（2）解不等式组：21．（8分）某校为了了解初三学生对安全知识的掌握情况，加强学生的安全防范和自我保护意识，对该校1000名初三学生开展安全知识竞赛活动．用简单随机抽样的方法，随机抽取若干名学生统计答题成绩，分别制成如下频数分布表和频数分布直方图：初三学生安全知识竞赛成绩频数分布表成绩（分）频数频率50≤x＜6030.0260≤x＜7012a70≤x＜80450.380≤x＜90b0.490≤x＜10030d（1）表格中，a＝，b＝；（2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后标注相应的数据）（3）规定成绩80分以上（含80分）的同学成为“安全明星”，则该校初三学生成为“安全明星”的共有多少人？22．（8分）学校开展学生会主席竞选活动，最后一轮是演讲环节，抽签方式如下：每位选手分别从标有“A”、“B”内容的签中随机抽取一个，就抽取的内容进行演讲．现有小明、小亮和小丽三名选手，求出下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列举”等方法写出分析过程）（1）三个选手抽中同一演讲内容；（2）三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”．23．（8分）（1）如图甲，6×6的网格中，△ABC的顶点都是格点，AD是△ABC的高，E是AC与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下画图，画图过程用虚线表示：①画出点E关于AD的对称点F；②在AB上画点G，使DG＝DB．（2）如图乙，已知直线l和直线l外一点P，请你用无刻度的直尺和圆规在直线l上找一点A，使PA所在直线与直线l的夹角为60°．（不写作法，保留作图痕迹）24．（8分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）若AD＝4，BC＝6，求线段DE的长度．25．（8分）在笔直的湖岸上有A、B两个码头，B在A的正东方向，A、B相距5km；湖中一小岛上有一码头C，从A处测得码头C位于A的北偏东30°．一游船从A出发，以20km/h的速度，经过24分钟到达码头C．（1）求码头C到湖岸的最短距离；（2）若该游船准备以同样的速度从C开往B，问从C到B需航行多少分钟？26．（8分）已知函数y＝x﹣．（1）若点P（a，b）是函数图象上一点，则点P关于原点的对称点Q是否在该函数图象上？请说明理由．（2）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该函数图象上任意两点，且x2＞x1＞0，求证：y2＞y1．27．（10分）如图，矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，G在AD上，AG＝2cm，点P从点G出发，以1cm/s的速度沿GD运动，同时点Q从点B出发以相同速度沿BC运动，当点P到达点D时，P、Q两点同时停止运动．设点A关于直线PQ的对称点为E，运动时间为t（s）．（1）①求tan∠EAD的值；②点E运动路径长是．（请直接写出答案）（2）t为何值时，△PDE为直角三角形？28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点C（0，m）的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝2AC．（1）若A点的横坐标为﹣1，①求m的值；②点P在直线AB下方的二次函数图象上，求△PAB面积的最大值；（2）当m＝6时，直线AB与x轴交于点D，E为线段CD上一动点，过点E垂直于CD的直线交y轴于点F，将△COD在直线EF上方的部分沿EF向下折叠．设CE＝t，折叠后与△COD重叠部分的面积记为S，求S与t之间的函数表达式．

2021年江苏省无锡市中考数学试卷（副卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。）1．（3分）9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【解答】解：9的平方根是±3；故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的定义，本题属于基础题型．2．（3分）下列计算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a﹣b）（a+b）＝a2+2ab+b2【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，进而判断得出答案．【解答】解：A．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不合题意；B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故此选项符合题意；C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不合题意；D．（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，正确掌握相关乘法公式是解题关键．3．（3分）函数中自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x＞0 D．x≤1且x≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0且x≠0，解得：x≥1，故选：A．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．4．（3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形【分析】设多边形的边数是n，根据多边形的内角和与外角和定理即可求解．【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝360，解得n＝4．故选：A．【点评】本题考查了多边形的内角的计算公式和与外角和定理，理解公式是关键．5．（3分）已知一组数据：23，22，24，23，23，这组数据的方差是（）A．3 B．2 C． D．【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式列式计算即可．【解答】解：∵这组数据的平均数为×（23+22+24+23+23+23）＝23，∴这组数据的方差为×[（22﹣23）2+3×（23﹣23）2+（22﹣23）2]＝，故选：D．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义，并熟记方差的计算公式．6．（3分）分式方程有增根，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6【分析】根据题意可得x＝2，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．【解答】解：，+1＝﹣，6+2（x﹣2）＝﹣m，解得：x＝﹣，∵分式方程有增根，∴x＝2，把x＝2代入x＝﹣中，2＝﹣，解得：m＝﹣6，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．7．（3分）如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE、BC的延长线交于点F，AE的垂直平分线分别交AE、BC于点H、G，连接EG，则与△FEC相似的三角形个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用相似三角形的判定一一证明即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴EC∥AB，∠D＝∠DCB＝∠DCF＝90°，∴△FEC∽△FAB，∵DE＝EC，∠AED＝∠FEC，∴△ECF≌EDA（ASA），∵GH⊥AF，∴∠FCE＝∠FHG，∵∠F＝∠F，∴△ECF∽△FHG，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．8．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（a，2）是反比例函数的图象上的点，连接AO并延长与反比例函数图象交于另一点B，将直线AB向下平移，与反比例函数的图象交于C、D两点．若△ABC的面积为5，则向下平移的距离是（）A．3 B．5 C．4 D．【分析】过C点作CD⊥AB于D，CE∥x轴交AB于E，根据反比例函数解析式求得点A的坐标，根据反比例函数的中心对称性求得B的坐标，进而求得直线AB的解析式以及线段AB，根据三角形ABC的面积求出CD，设直线y＝﹣2x向左平移m，利用三角函数求出m得值即可．【解答】解：∵点A（a，2）是反比例函数的图象上的点，∴2a＝﹣2，∴a＝﹣1，∴A（﹣1，2），∵AB过原点，∴B（1，﹣2），∴AB＝＝2，直线AB为y＝﹣2x，过C点作CD⊥AB于D，CE∥x轴交AB于E，∵S△ABC＝CD•AB＝5，∴CD＝＝＝，设直线AB向左平移m个单位，∴得y＝﹣2（x+m）＝﹣2x﹣2m（m＞0），∴CE＝m，CD＝CE•sin∠CED，作AH⊥y轴于H，∵CE∥AH，∴∠CED＝∠OAH，∵sin∠OAH＝＝＝，∴CD＝m•＝，解得m＝，∴﹣2m＝﹣5，∴向下平移的距离是5，故选：B．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，熟练掌握反比例函数的性质以及反比例函数上点的坐标的特征是解题的关键．9．（3分）在锐角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE为高，F是BC的中点，连接DE，DF，EF．有下列结论：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等边三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据垂直定义可得∠AEC＝∠ADB＝90°，从而可证△ABD∽△ACE，利用相似三角形的性质即可判断①；利用三角形的内角和可以求出∠ABC+∠ACB＝120°，从而求出∠BEF+∠BFE+∠CFD+∠CDF＝240°，再利用直角三角形斜边上的中线可得EF＝DF＝BF＝CF，从而可得∠BEF＝∠BFE，∠CFD＝∠CDF，进而可得∠BFE+∠CFD＝120°，然后再利用平角定义求出∠EFD＝60°，即可判断②；在Rt△BEC和Rt△BDC中，分别利用锐角三角函数的定义求出BE，CD的长，然后进行计算即可判断③；根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ABD＝30°，从而可得＝，再利用①的结论可证△ADE∽△ABC，从而利用相似三角形的性质即可判断④．【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE，∴＝，故①正确；∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵∠BEC＝∠BDC＝90°，F是BC的中点，∴EF＝BF＝BC，DF＝CF＝BC，∴EF＝DF＝BF＝CF，∴∠BEF＝∠EBF，∠DCF＝∠CDF，∴∠BEF+∠CDF＝120°，∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BEF+∠CDF）＝60°，∴∠EFD＝180°﹣（∠BFE+∠CFD）＝60°，∴△DEF是等边三角形，故②正确；在Rt△BEC中，BE＝BC•cos∠ABC，在Rt△BDC中，CD＝BC•cos∠ACB，∴BE+CD＝BC•cos∠ABC+BC•cos∠ACB＝BC（cos∠ABC+cos∠ACB）≠BC，故③不正确；∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AB，∵＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴△ADE与四边形BCDE的面积比是1：3，故④正确，所以，上列结论正确的个数是3，故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及直角三角形斜边上的中线是解题的关键．10．（3分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②当x≤2时，y随x的增大而减小，则m＝2；③若将它的图象向右平移3个单位后过原点，则m＝1；④当x＝3时函数值与x＝2017时函数值相同，则当x＝2021时的函数值为2018．其中，说法正确的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【分析】①由根的判别式Δ＝4m2+12＞0，可得出二次函数y＝x2﹣2mx﹣3的图象与x轴有两个公共点，说法①正确；②由当x≤2时，y随x的增大而减小，可得出二次函数图象的对称轴大于等于2，由此可得出m≥2，说法②错误；③得到y＝x2﹣2mx﹣3的图象向右平移3个单位后的解析式，令常数项＝0，求出m＝﹣1即可判断；说法③错误；④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m＝1010代入解析式即可．说法④正确．综上即可得出结论．【解答】解：①∵△＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣3）＝4m2+12＞0，∴二次函数y＝x2﹣2mx﹣3的图象与x轴有两个公共点，说法①正确；②∵当x≤2时，y随x的增大而减小，∴﹣＝m≥2，说法②错误；③∵y＝x2﹣2mx﹣3的图象向右平移3个单位后过原点，∴y＝（x﹣3）2﹣2m（x﹣3）﹣3＝x2﹣（6+2m）x+6m+9﹣3中6m+9﹣3＝0，解得m＝﹣1，说法③错误；④∵当x＝3时的函数值与x＝2017时的函数值相等，∴二次函数y＝x2﹣2mx﹣3的图象的对称轴为直线x＝1010．则﹣＝1010，m＝1010，原函数可化为y＝x2﹣2020x﹣3，当x＝2021时，y＝20212﹣2020×2021﹣3＝2018，说法④正确．综上所述：正确的说法有①④．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点，利用二次函数的性质逐一分析四个说法的正误是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。）11．（2分）分解因式：y﹣x2y＝y（1+x）（1﹣x）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：y﹣x2y＝y（1﹣x2）＝y（1+x）（1﹣x），故答案为：y（1+x）（1﹣x）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．12．（2分）每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA，DNA分子的直径只有0.0000002cm，将0.0000002用科学记数法表示为2×10﹣7．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000002＝2×10﹣7，故答案为：2×10﹣7．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．（2分）若x，y满足方程组，则x+y＝5．【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相减，求出x+y的值即可．【解答】解：，①﹣②，可得：（2x﹣3y）﹣（x﹣4y）＝7﹣2，∴x+y＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意加减法的应用．14．（2分）已知a+b＝3，ab＝﹣4，则＝．【分析】根据完全平方公式以及分式的除法运算即可求出答案．【解答】解：∵（a+b）2＝9，∴a2+2ab+b2＝9，∵ab＝﹣4，∴，∴＝，∴＝﹣，故答案为：【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的除法以及完全平方公式，本题属于基础题型．15．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，tanB＝3，MN垂直平分AB，AN＝10，则BC＝6．【分析】由已知条件可得∠AMN＝∠ACB＝90°，即可得出∠ANM＝∠B，在Rt△AM中，设MN＝a，AM＝b，根据勾股定理和正切函数可得，即可得出a，b的值，线段垂直平分线的性质可得AB的长度，在Rt△ABC中，设BC＝m，AC＝n，根据勾股定理和正切函数可得，即可求出m的值，即可得出答案．【解答】解：∵MN⊥AB，∴∠AMN＝∠ACB＝90°，∴∠ANM＝∠B，在Rt△AMN中，设MN＝a，AM＝b，则，解得：a＝，b＝3，∴AM＝3，∵MN垂直平分AB，∴AB＝2AM＝6，在Rt△ABC中，设BC＝m，AC＝n，则，解得：m＝6，即BC＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，熟练掌握解直角三角形及线段垂直平分线的性质进行求解是解决本题的关键．16．（2分）锐角△ABC中，∠A＝30°，AB＝m，则△ABC面积S的取值范围是．【分析】由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．【解答】解：若∠B＝90°，∵∠A＝30°，AB＝m，∴BC＝m，∴S△ABC＝BA•BC＝，若∠C＝90°，∵∠A＝30°，AB＝m，∴AC＝m，BC＝m，∴S△ABC＝AC•BC＝，∵△ABC是锐角三角形，∴△ABC面积S的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y＝x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x，y），则y关于x的函数表达式为y＝x2+2．【分析】过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连接AB、OC，设A（m，m2），B（n，n2），C（x，y），根据四边形OACB是矩形，可得，即可解得y＝x2+2．【解答】解：过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连接AB、OC，如图：设A（m，m2），B（n，n2），又C（x，y），∵四边形OACB是矩形，∴AB与OC中点重合，AB＝OC，而AB2＝AO2+BO2＝m2+（m2）2+n2+（n2）2，∴，消去m、n得：+（x2﹣y）＝0，∴（x2﹣y）（x2﹣y+2）＝0，∴y＝x2（舍去）或y＝x2+2，故答案为：y＝x2+2．【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是根据四边形OACB是矩形列出关于m、n、x、y的方程组．18．（2分）如图，在△ABC中，AD是高，E是AB上一点，CE交AD于点F，且AD：BD：CD：FD＝12：5：3：4，则sin∠BEC的值是．【分析】过C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，设BD＝5x，则AD＝12x，CD＝3x，DF＝4x，根据勾股定理用x表示AB、CF，证明△AGF∽△ADB，用x表示FG，△BCH∽△BAD，用x表示CH，证明△EFG∽△ECH，用x表示EF，然后解Rt△EFG，便可求得结果．【解答】解：过C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，设BD＝5x，则AD＝12x，CD＝3x，DF＝4x，∴AB＝，CF＝，AF＝AD﹣DF＝8x，∵∠AGF＝∠ADB＝90°，∠GAF＝∠DAB，∴△AGF∽△ADB，∴，即，∴FG＝，∵∠B＝∠B，∠BHC＝∠BDA，∴△BCH∽△BAD，∴，即，∴CH＝，∵FG∥CH，∴△EFG∽△ECH，∴，即，∴EF＝，∴sin∠BEC＝，故答案为．【点评】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形与相似三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共84分.）19．（8分）计算：（1）（）﹣2+﹣|﹣4|；（2）÷（1﹣）．【分析】（1）根据负整数指数幂的、二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．（2）根据分式的加减运算以及分式的乘除运算即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝9+3﹣4＝5+3．（2）原式＝÷＝÷＝•＝．【点评】本题考查分式的混合运算、负整数指数幂的、二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．20．（8分）（1）解方程：2x（x﹣2）＝1；（2）解不等式组：【分析】（1）方程整理后，利用公式法求出解即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：（1）方程整理得：2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝16+8＝24＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝；（2），由①得：x＞﹣，由②得：x＜﹣1，则不等式组的解集为﹣＜x＜﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．21．（8分）某校为了了解初三学生对安全知识的掌握情况，加强学生的安全防范和自我保护意识，对该校1000名初三学生开展安全知识竞赛活动．用简单随机抽样的方法，随机抽取若干名学生统计答题成绩，分别制成如下频数分布表和频数分布直方图：初三学生安全知识竞赛成绩频数分布表成绩（分）频数频率50≤x＜6030.0260≤x＜7012a70≤x＜80450.380≤x＜90b0.490≤x＜10030d（1）表格中，a＝0.08，b＝60；（2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后标注相应的数据）（3）规定成绩80分以上（含80分）的同学成为“安全明星”，则该校初三学生成为“安全明星”的共有多少人？【分析】（1）先根据50≤x＜60的频数及频率求出样本容量，可得结论；（2）根据（1）中结论，画出图形即可．（3）用总人数乘以成绩80分以上（含80分）的人数所占比例即可．【解答】解：（1）∵样本容量为3÷0.02＝150，∴a＝＝0.08，d＝＝0.2，则b＝150×0.4＝60．故答案为：0.08、60；（2）频数分布图如图所示：（3）该校初三学生成为“安全明星”的共有1000×（0.4+0.2）＝600（人）．答：该校初三学生成为“安全明星”的估计有600人．【点评】本题主要考查频数分布直方图、样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据、样本估计总体思想的运用．22．（8分）学校开展学生会主席竞选活动，最后一轮是演讲环节，抽签方式如下：每位选手分别从标有“A”、“B”内容的签中随机抽取一个，就抽取的内容进行演讲．现有小明、小亮和小丽三名选手，求出下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列举”等方法写出分析过程）（1）三个选手抽中同一演讲内容；（2）三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三个选手抽中同一演讲内容的结果，根据概率公式求解可得答案；（2）找到这三个选手中有两个抽中内容“A”，一个抽中内容“B”的情况，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意画出树状图如图：由树状图知，共有8种等可能结果，其中三个选手抽中同一演讲内容的有2种结果，∴三个选手抽中同一演讲内容的概率为＝；（2）三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”的有3种结果，∴三个选手有两人抽中内容“A”，一人抽中内容“B”的概率为．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（1）如图甲，6×6的网格中，△ABC的顶点都是格点，AD是△ABC的高，E是AC与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下画图，画图过程用虚线表示：①画出点E关于AD的对称点F；②在AB上画点G，使DG＝DB．（2）如图乙，已知直线l和直线l外一点P，请你用无刻度的直尺和圆规在直线l上找一点A，使PA所在直线与直线l的夹角为60°．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】（1）①取格点Q，连接AQ，线段AQ与网格线的交点F，即为所求；②取格点T，连接DT交AB于点G，连接DG即可；（2）作PT∥直线l，在射线PT截取线段PE，在直线PT的上方，作等边△PEF，直线PF交直线l于点A，直线PA即为所求．【解答】解：（1）①如图甲中，点F即为所求；②如图甲中，线段DG即为所求．（2）如图乙中，直线PA即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（8分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB＝CD，BD平分∠ABC，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）若AD＝4，BC＝6，求线段DE的长度．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC，从而可得＝，进而可得＝，然后再利用等弧所对的圆周角相等可得∠ACB＝∠ABD，即可解答；（2）根据同弧所对的圆周角相等可得∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC，从而证明△ADE∽△CBE，进而利用相似三角形的性质可得＝＝，然后设AE＝2a，CE＝3a，从而利用（1）的结论可得AB2＝AC•AE，列出关于a的方程，进行计算即可求出a的值，最后根据等弧所对的圆周角相等可得∠ADE＝∠DAE，从而可得AE＝DE，即可解答．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，∴＝，∴∠ACB＝∠ABD，∵∠BAE＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB；（2）解：∵＝，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC，∴△ADE∽△CBE，∴＝＝＝，∴设AE＝2a，CE＝3a，∴AC＝AE+CE＝5a，∵△ABE∽△ACB，∴＝，∴AB2＝AC•AE，∴16＝2a•5a，∴a＝或a＝﹣（舍去），∴AE＝2a＝，∵＝，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE＝，∴线段DE的长度为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，角平分线的性质，熟练掌握圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．25．（8分）在笔直的湖岸上有A、B两个码头，B在A的正东方向，A、B相距5km；湖中一小岛上有一码头C，从A处测得码头C位于A的北偏东30°．一游船从A出发，以20km/h的速度，经过24分钟到达码头C．（1）求码头C到湖岸的最短距离；（2）若该游船准备以同样的速度从C开往B，问从C到B需航行多少分钟？【分析】（1）过C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中，解直角三角形可求得CH，AH；（2）在Rt△ACH中，解直角三角形求出BC即可求出结论．【解答】解：（1）过C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，AC＝20×＝8（km），cos∠ACH＝，∴CH＝8•cos30°＝8×＝4（km），AH＝AC＝4km，答：码头C到湖岸的最短距离是4km；（2）在Rt△ACH中，CH＝4km，BH＝5﹣4＝1（km），∴BC＝＝＝7（km），∴t＝×60＝21，答：从C到B需航行21分钟．【点评】本题主要考查了直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形是解决问题的关键．26．（8分）已知函数y＝x﹣．（1）若点P（a，b）是函数图象上一点，则点P关于原点的对称点Q是否在该函数图象上？请说明理由．（2）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该函数图象上任意两点，且x2＞x1＞0，求证：y2＞y1．【分析】（1）根据函数上的点满足函数关系式解答即可；（2）分别把x1，x2代入函数关系式，得出y1、y2再作差证明即可．【解答】解：（1）点P关于原点的对称点Q在该函数图象上，理由如下：∵P（a，b），∴b＝a﹣，∴点P关于原点的对称点Q（﹣a，﹣a+），当x＝﹣a时，y＝﹣a﹣＝，∴点P关于原点的对称点Q在该函数图象上；（2）证明：∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）在数y＝x﹣的图象上，∴，，∴y1﹣y2＝＝＝＝，∵x2＞x1＞0，∴y1﹣y2＜0，即y2＞y1．【点评】本题考查了函数的图象，熟知函数上的点与函数关系式的关系是解答本题的关键．27．（10分）如图，矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，G在AD上，AG＝2cm，点P从点G出发，以1cm/s的速度沿GD运动，同时点Q从点B出发以相同速度沿BC运动，当点P到达点D时，P、Q两点同时停止运动．设点A关于直线PQ的对称点为E，运动时间为t（s）．（1）①求tan∠EAD的值；②点E运动路径长是．（请直接写出答案）（2）t为何值时，△PDE为直角三角形？【分析】（1）①根据∠EAD＝90°﹣∠BAE＝∠ABG，得tan∠EAD＝tan∠ABG＝；②由∠EAD＝∠ABG，则点E的运动路径是线段，设AE与BG交于M，分别求出AM和AM'的长，可得答案；（2）当∠PED＝90°时，取GH＝BH＝xcm，则AH＝（4﹣x）cm，由勾股定理得，22+（4﹣x）2＝x2，得cos∠AHG＝，当∠PDE＝90°时，同理可得．【解答】解：（1）①∵BG∥PG，AE⊥PQ，∴AE⊥BG，在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°﹣∠BAE＝∠ABG，∴tan∠EAD＝tan∠ABG＝；②∵∠EAD＝∠ABG，∴点E的运动路径是线段，设AE与BG交于M，∵BG＝＝2（cm），∴AM＝＝（cm），∵GM∥DM'，∴，∴AM'＝，∴点E的路径长为2AM'﹣2AM＝＝，故答案为：；（2）若△PDE为直角三角形，有两种可能：①当∠PED＝90°时，取GH＝BH＝xcm，则AH＝（4﹣x）cm，由勾股定理得，22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，∴cos∠AHG＝，∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA，∴∠DPE＝∠AHG，∴cos∠DPE＝cos∠AHG，∴，解得t＝1，当∠PDE＝90°时，如图，同理可得，解得t＝3；∵∠EPD＜90°，综上，当t＝1或3时，△PDE为直角三角形．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，矩形的性质，直角三角形的相似，三角函数等知识，熟练掌握相等角的三角函数值相等是解决问题的关键．28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点C（0，m）的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且BC＝2AC．（1）若A点的横坐标为﹣1，①求m的值；②点P在直线AB下方的二次函数图象上，求△PAB面积的最大值；（2）当m＝6时，直线AB与x轴交于点D，E为线段CD上一动点，过点E垂直于CD的直线交y轴于点F，将△COD在直线EF上方的部分沿EF向下折叠．设CE＝t，折叠后与△COD重叠部分的面积记为S，求S与t之间的函数表达式．【分析】（1）①如图1，过点A作AG⊥y轴于点