2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试第三章圆

第页2023-2024学年北师大版九年级下册单元测试第三章圆姓名:班级:一、选择题（每题3分，共30分）1．（2023九上·河西期中）下列结论不正确的是（）A．圆心也是圆的一部分B．一个圆中最长的弦是直径C．圆是轴对称图形D．等弧所在的圆一定是等圆或同圆2．（2023九上·大城期中）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，AO交⊙O于点C，点D在优弧BDC上，若∠D=24°，则∠A的度数为（）A．48° B．42° C．58° D．52°3．（2023九上·宁江期中）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，若∠COB=65°，则∠BAD的度数是（）A．25° B．65° C．32.5° D．50°4．（2021九上·滨海期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°5．若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（2023九上·石家庄期中）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且∠APB=56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为（）A．134° B．124° C．67°或113° D．62°或118°7．（2020九上·无为期末）如图，PA、PB切O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠P=40°，则∠ACB的大小是（）A．80° B．70° C．60° D．50°8．（2023九下·咸宁月考）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，其半径为1，作OF⊥BC交⊙O于点F，则FA的长为（）A．π B．25π C．359．如图，⊙O的半径为5，是△ABC的外接圆．若∠ABC=25°，则劣弧AC的长为（）．A．25π36 B．125π36 C．25π1810．（2023九上·雨花月考）如图，⊙O的半径是1，点P是直线y=−x+2上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为（）2−1 B．1 C．2 D．二、填空题（每题3分，共15分）11．（2023九上·江源月考）已知⊙O的半径为4cm，OP=2cm，则点P在⊙O（填“内"、“外”或“上”）．12．（2024九上·丰台期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为寸．13．（2023九上·楚雄期中）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则∠ABO的度数是．14．（2023九上·石家庄期中）已知⊙O的半径是一元二次方程x2−2x−3=0的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O有15．（2023九上·从江期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2.将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域(阴影部分)的面积为(结果用含π的式子表示).三、解答题（共8题，共55分）16．（2022九上·镇海区期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△A（1）在正方形网格中，画出△AB（2）求出点C经过的路线长度；（3）计算线段AB在变换到AB17．（2021九上·南沙期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为BD的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．18．（2020九上·广东开学考）有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米，这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由.19．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，连结AE，⊙O的半径为2cm．（1）求∠AED的度数和弧AB的长．（2）求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比．20．（2023九下·深圳月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，过点C作一条射线CD．（1）请从以下条件中：①CD∥AO，∠ABC=45°；②∠BCD=∠BAC；③CB平分∠ACD．选择一组能证明CD是⊙O的切线的条件，并写出证明过程；（2）若OA=2，∠OAB=22.5°，AB=CB，求BC的长度．(结果保留π)21．（2022九下·浦江月考）如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D．（1）求证：∠CPB=2∠ABC．（2）设圆O的半径为2，sin∠PBC=2322．（2022九上·中山期末）如图，⊙O与等边△ABC的边AC、AB分别交于点D、E，AE是⊙O的直径，过点D作DF⊥BC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线：（2）已知⊙O的半径为3，连接EF，当等边△ABC的边长为多少时，EF与⊙O相切？23．操作与探究我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．

答案解析部分1．答案：A解析：解：A圆心不是圆的一部分，圆是指圆周，结论不正确，符合题意；

B.一个圆中最长的弦是直径，结论正确，不符合题意；

C.圆是轴对称图形，结论正确，不符合题意；

D.等弧所在的圆一定是等圆或同圆，结论正确，不符合题意；

故答案为：A.

分析：根据圆的相关定义对每个选项逐一判断求解即可。2．答案：B解析：解：∵AB为⊙O的切线，

∴∠OBA=90°

∵∠D=24°

∴∠AOB=48°

∴∠A=42°

故答案为：B

分析：本题考查圆的切线性质、圆周角与圆心角的数量关系。同圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的2倍，可得∠AOB，根据切线可得∠OBA=90°，即可得结论。3．答案：C解析：解：连接OD，如图所示：

∵直径AB⊥CD，

∴CB⏜=DB⏜

∴∠BOD=∠AOB=65°，

∵BD⏜=BD故答案为：C.

分析：先利用垂径定理的性质可得∠BOD=∠AOB=65°，再利用圆周角的性质可得∠BAD=124．答案：C解析：解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A=180°-∠BCD=180°-140°=40°，∴∠BOD=2∠A=80°，故答案为：C．

分析：根据圆内接四边形的性质以及圆周角定理即可得出答案。5．答案：C解析：解：∵62+82=102，

∴三角形为直角三角形，∴这个三角形外接圆是以斜边为直径，

∴半径为5.

故答案为：C.分析：根据勾股定理的逆定理得这个三角形为直角三角形，根据圆周角定理得斜边为直径，半径即可求得.6．答案：D解析：解：如图

当点C在优弧AB上时

∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点

∴∠PAO=PBO=90°

∵∠APB=56°

∴∠AOB=360°−90°−90°−56°=124°

∴∠ACB=12∠AOB=62°

当C在劣弧AB上时，即为C'

∵四边形AC'BC是圆内角四边形

∴∠AC'B=180°−∠ACB=118°

故答案为：D

分析：当点C在优弧AB上时，根据切线性质可得∠PAO=PBO=90°，再根据四边形内角和可得∠AOB=124°，再根据圆周角定理可得∠ACB=17．答案：B解析：解：如图，连接OA，OB，∵PA、PB切O于点A、B，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵∠P=40°，∴∠AOB=360°−90°−90°−40°=140°，∴∠ACB=故答案为：B

分析：如图，连接OA，OB，PA、PB切O于点A、B，可得出∠PAO=∠PBO=90°，再利用四边形的内角和定理可得∠AOB的度数，再利用∠ACB=18．答案：C解析：解：∵多边形ABCDE为正五边形，∴BA，BC∵OF⊥BC，∴FB的度数∴FA的度数∴FA的长度=故答案为：C.分析：根据正多边形的性质可得：BA，BC的度数相等，均为72°，则FB9．答案：C解析：解：∵∠ABC=25°，

∴∠AOC=2∠ABC=50°，

∴劣弧AC的长为50·π·5180=25π18，

故答案为：C.

10．答案：B解析：解：∵AP为⊙O的切线，

∴OA⊥AP，且OA=1，

∴当OP最小时，AP最小，

∴OP垂直直线y=−x+2时，OP最小，

当x=0时，y=2；当y=0时，有-x+2=0，解得：x=2，

∴直线y=−x+2与坐标轴的交点坐标为M（0，2）、N（2，0），

∴OM=ON=2，MN=2OM=22，

∵OP⊥MN，

∴OP=12故答案为：B.

分析：根据切线的性质可得△AOP是直角三角形，当OP最小时，AP最小，抓住OP垂直直线y=−x+2时，OP最小，通过求一次函数与坐标轴交点坐标，结合等腰直角三角形的性质计算。11．答案：内解析：解：∵⊙O的半径r为4cm，OP=2cm，

∴r>2，

∴P在⊙O内，故答案为：内.

分析：根据⊙O的半径为4cm，OP=2cm，即可得出结论.12．答案：26解析：∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，

∴E为CD的中点，

又∵CD=10寸，

∴CE=DE=12CD=5寸，

设OC=OA=m寸，则AB=2m寸，OE=（m-1）寸，

由勾股定理得：OE2+CE2=OC2，∴(m−1)+13．答案：60°解析：解：∵∠ACB＝30°，

∴∠AOB=2∠ACB＝60°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠OBA=∠OAB=12(180°-∠AOB)=60°.

故答案为：60°.

分析：利用圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB＝60°，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠OBA=∠OAB=114．答案：0解析：解：x2−2x−3=0

x−3x+1=0

解得：x=3或x=-1（舍去）

则⊙O的半径r=3

∵圆心O到直线l的距离为4，且r=3<4

∴直线与圆不相交，无交点

故答案为：0

15．答案：π解析：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，

∴AB=AC2+BC2=22+22=22，

∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，

∴∠C1AC=90°，

∴S阴影=S扇形B1AB+S△B1AC1-S△ACB-S扇形C116．答案：（1）解：作图如下：△AB（2）解：由图可知：AC=AC点C经过的路线为：CC（3）解：由图可知：AB=A线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为扇形面积解析：（1）根据旋转的性质，找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B′、C′，然后顺次连接即可；

（2）由图可知AC=AC′=4，∠CAC′=90°，易得点C经过的路径为半径为4，圆心角为90°的扇形的弧长，然后结合弧长公式进行计算；

（3）利用勾股定理可得AB的值，易得线段AB在变换到AB′的过程中扫过的面积为以5为圆心，圆心角为90°的扇形的面积，据此计算.17．答案：解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCE=∠BAD∵∠DCE=110°∴∠BAD=110°∵点C为BD的中点∴BC∴∠BAC=∠DAC=解析：利用圆内接四边形的性质可得∠BAD=∠DCE=110°，再利用BC=DC可得18．答案：解：如图，

设M，N为卡车的宽度，

过M，N作AB的垂线交半圆于点C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，

则CD=MN=1.6，AB=2，

∴CE=DE=0.8，

∵OC=OA=1，

在Rt△OCE中，OE=OC2−CE2=12解析：首先根据题意画出图形，根据勾股定理求出OE的长度，从而求出CM的长度，判断CM的长度与2.5的大小关系，如果CM大于2.5可以通过，否则不能通过，即可求解.19．答案：（1）解：∵正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，

∴∠F=∠FED=16（6-2）×180°=120°，AF=FE，

∴∠AEF=∠FAE=12×（180°-120°）=30°，

∴∠AED=∠FED-∠AEF=120°-30°=90°，

连接OA，OB，

∴∠AOB=360°÷6=60°，

∴弧AB的长为60·π·2（2）解：正六边形ABCDEF的面积为6S△AOB=6×34×22=63cm2，

⊙O的面积为π×22=4πcm2，

∴正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比63解析：（1）由正六边形的性质可得∠F=∠FED=120°，AF=FE，利用等腰三角形的性质求出∠AEF=∠FAE=30°，从而求出∠AED=∠FED-∠AEF的度数；连接OA，OB，求出∠AOB的度数，再利用弧长公式计算即可；

（2）分别求出正六边形ABCDEF和⊙O的的面积，继而求出比值即可.20．答案：（1）证明：选择①CD∥AO，∠ABC＝45°，

连接OC，则∠AOC＝2∠ABC＝90°，即OC⊥OA，

∵CD∥AO，

∴OC⊥CD，

∵OC是半径，

∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OB，

∵AB＝CB，OB＝OB，OA＝OC，

∴△AOB≌△COB（SSS），

∴∠ABO＝∠CBO＝∠OAB＝22.5°，∠BOC＝∠AOB＝180°-22.5°-22.5°＝135°，

∴BC的长度：135π×2解析：（1）证明：选择①CD∥AO，∠ABC＝45°，

连接OC，则∠AOC＝2∠ABC＝90°，即OC⊥OA，

∵CD∥AO，

∴OC⊥CD，

∵OC是半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接OB，

∵AB＝CB，OB＝OB，OA＝OC，

∴△AOB≌△COB（SSS），

∴∠ABO＝∠CBO＝∠OAB＝22.5°，∠BOC＝∠AOB＝180°-22.5°-22.5°＝135°，

∴BC的长度：135π×2180=32π

21．答案：（1）证明：如图，连接OC∵PB，PC是OO的两条切线∴PC=PB，∠PCO=∠PBO=90°，∴∠CPB+ㄥBOC=180°∵∠DOC+∠BOC=180°∴∠CPB=∠COD∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC∴∠COD=2∠ABC∴∠CPB=2∠ABC.（2）解：∵PC是圆O的切线，∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，∵圆O的半径为2，sin∠PDB=23∴sin∠CDO=OCOD∴OD=3，∴DC=D设PC=x，

∴BD2+PB2=PD2∴(x+5)2=x2+52，

解得x=25∴PC=25解析：（1）根据切线性质可得PC=PB，∠PCO=∠PBO=90°，再结合∠DOC+∠BOC=180°，从而得到∠CPB=∠COD，再通过∠COD=2∠ABC等量代换即可求证∠CPB=2∠ABC成立；（2）由切线性质及sin∠PDB=23，可得出sin∠CDO＝OC