2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章 简单的三角恒等变换

第四章三角函数与解三角形

§4.4简单的三角恒等变换

【考试要求】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公

式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求

记忆).

■落实主干知识

【知识梳理】

i.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S2«：sin2a=2sinacosa.

(2)公式C2a：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

(3)公式T2a：tan2a=丄超喙.

1-tan2a

2.常用的部分三角公式

(1)1-cosa=2sin2^,l+cosQMZCOS2^.(升鼎公式)

f.a,成

IsinTeos-L~一八一

⑵1士sina=l22).(升累公式)

1-cos2a>1+cos2a，1—cos2a,攻行八一、

(3)sm72a=------------,cos-a=-------------,tan7-a=-------------.(降累公式)

221+cos2a

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(V)

(2)存在实数使tan2a=2tan夕.(V)

小/_l+cos夕.

(3)cos-=-----------.(V)

/“、asina1-cosa,

(4)tan-=-----------=-；------.(J)

21+cosasina

【教材改编题】

1.（2021•全国乙卷）cos2$—cos2"等于（）

AB?c.—D.也

-i22

答案D

解析方法一（公式法）因为cos』=sinl212J=sin—,所以cos?3■一cos2—=cos2—­一

1212121212

px限宀亜

si.n2-JL=cosl

1262

方法二（代值法）因为cosm=週至5兀=#一3

12412-4

|\/6+^|P\/6—^21r

22

所以cos2^■—cos空=14J—L4J=一.

12122

2.若角a满足sina+2cosa=0,贝ijtan2a等于（）

答案D

解析由题意知，tana=-2,所以tan2a=丄1半-="

1—tan2a3

3.若a为第二象限角，sina=~jf则sin2a等于（）

A120D60c120「60

A.-------D.----------C.--------D.----

169169169169

答案A

解析因为a为第二象限角，sina={,

所以cosa=-Ajl—sin2a=

所以sin2a=2sinacosa=2X—xf13^=—^^.

13169

■探究核心题型

题型一三角函数式的化简

例1（1）（2021•全国甲卷）若2）,tan2a=cosa,则fa”等于（）

2—sina

A近D亜c近n近

答案A

々力4匚宀、+hcsin2a2sin6tcosa

解析万法一因为tan2a=------=------------

cosla1—2sin2a

冃，_COSCt

且tan2a-------;—

2—sina

匕匕i、)2sinacosacosa&m.1

所以--------=---：-,解73传sina=~.

1—2sin2a2—sina4

因为aJ"9,

所以cosa=~^~sina_V15

•,tana

4cosa15

2sina

2tanacosa2sinacosa2sin，cosa口，ccosa

方法二因为tan2a=,且tan2a------;—

1—tan2a〔sin2acos2«—sin2a1—2sin2a2—sina

cos2a

匕匕I、,2sinacosacosa，口.1

所以------二----：~，解仔sina=-.

1—2sin2a2—sina4

因为aj"2),

sinay/15

所以cosatana

4cosa15

(2)已知sina+cosa=^^,则sinFJ=

答案I

3

解析因为sina+cosa="但

3

两边同时平方得sin2a+2sinacosa+cos2a=p

即sin2Q=：

由降為公式可知sin2&T=±0tJ=

匕史四」」sin2a=L

22223

思维升华（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

（2）三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式

子和三角函数公式之间的联系点.

2sin*2^-1f兀-

跟踪训练1(1)若｛a)=2tana--------?——，贝U/Ui的值是

.aa

2sin—cos—

22

答案6—3

解析依题意，貝a)=2tana一——

sina

=2tanccd,

tana

1r71T、il，tan-兀---t，an-兀/z1

而tanjtanSF=」一丄="=2-3,

121+tan^tan^1+^

34

于是得了图=2(2—3)+式^=6—S，

所以/图的值是6—3.

——tan—

1+tana-tan-|

tan«2

⑵化筒：l2,2j=

3

a.a\.a]

cos-sin-sin-

2.2.sina2

t1n------------------

.aacosaa

sin—cos-cos-

.22)2)

.必a।..a

cos2-----sin-cosacos--Hsinasm一

22.22

.aaa

sin-cos-cosacos-

222

cCOS--

2cosa2__2_

sinaasina

cosacos-

2

题型二三角函数式的求值

命题点1给角求值

例2计算：(l)sin10°-sin30°sin500-sin70°；

(2)：

2sin10°2cos100,

：os10°(l+Stan100)—2sin50°

(3)'

-cos10°

解(1)原式=；cos200,cos40°cos80°

sin20°cos20°cos40°cos80°sin160°1

2sin20°16-sin20°16'

-cos10°——sin10°l八八“

(2)原式=C-3sinH)。/22J=2sin(30°—10°)=2

2sin10°cos10°sin20°sin20°

cos100+仍sin10°—2sin50°2sin400—2sin50°2sin40°—2cos400

（3）原式

电sin5°/sin5°/sin5°

2/sin(4(T-45。)-2/sin5°

2.

啦sin5°也sin5°

命题点2给值求值

（2023,长春质检）已知sit（bJ+Scosa=；,贝!]sinE]等于（）

例3

217

AB.-C.--D.--

i999

答案D

兀

jJ+45cosa=-

解析VsinC9

3

兀

sinacos—cosasin匹+45cosa=~,

333

/.-sina——cos«+A/3COSa=~,

223

.Jsina+在，1

cosa--

223y

・・cosHlR,

2H

2a+~

/.sinl6

=cos21得

2C」T.1

=2X

_7

9

命题点3给值求角

例4已知sina=兴，cos£=，^,且夕为锐角，则。+2少=.

答案7C

4

T7\l2

解析因为sina=也，且a为锐角，所以cosa=T—sin2a=

10、00-10

Vio

因为cos/=32^,且万为锐角，所以si

10

那么sin2/7=2sin4cos尸=2乂[^义扌亲°=],

cos2^=l—2sin2y?=l—2xf10^2=^,

所以cos(a+2/?)=cosacos2^—sinasin2Q=^^义己—兴义

因为aj"3蚱（°，9,所以2夕G（0,兀）.

所以"2日时为故。+2T

思维升华（1）给值（角）求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借

助角之间的联系寻找转化方法.

（2）给值（角）求值问题的一般步骤

①化简条件式子或待求式子；

②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手;

③将已知条件代入所求式子，化简求值.

跟踪训练2(1)已知ae(0,兀)，sin2a+cos2a=cosa-1.则sin2a等于()

A，B

4-4

C.一三或0D.-

48

答案C

解析Vsin2a=2sinacosa,cos2a=2cos2a-1,

/.2sinctcosa+2cos2a=cosa,

当cosa=0时，等式成立，此时sin2a=0；

当cosa^0时sina+cosa=一,

2

两边平方得sin2a=1

综上可得，sin2a=—或0.

4

15°--]

(2)(2023•南京模拟)已知sinl2j=tan210°,则sin(600+a)的值为()

172

B.一丄C.-D.」

333

答案A

15。-9

解析=tan210°,

15O

.•.sinl-U=tan210-tan(180o+30O)=tan30-

a

.215°-?

则2=1-sm'l?

cos(30°—a)=cos2l

3,

・・・sin(60°+a)=sin[90°一(30。-a)]

=cos(30°—a)=；.

题型三三角恒等变换的综合应用

例5已知貝x)=sin0sl+zSsinl4]cosf4J

⑴求/日的值；

(2)若锐角a满足｛a)=^,求sin2a的值.

解(1)由题意得

/(x)=sin

L-2]「+叫

=sinlsink4Jcos|r7t—L4J

韵sibMU)

=sinl

=sin")—S/T

=sin2xcos--cos2xsin-+A/3COS2X

33

=-sin2x+—cos2x

22

(2x+^\

=sinl3j,

,,f-1(2义三+斗

故/ljJ=sinl33j=0.

0

(⑵2)•・・el,42J,.•…東v，T3丿I,X又••.J“W、~一~亜9

..必尸si/"我兴

又入他+1負型

32

pn4m

・・.2。+产trTJ,

；以2。+皆=-M用一生

.•.sin2a=sinj2"lW=sE+%s四一以2"%三国丄+述X叁正述

3332326

思维升华(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；

注意公式的逆用和变形使用.

(2)形如y=Qsinx+bcosx化为y—yja2+Z?2sin(x+(p),可进一步研究函数的周期性、单调性、

最值与对称性.

跟踪训练3已知3sin<x=2sin2^—1.

2

⑴求sin2a+cos2a的值；

(2)已知Q£(0,兀)，夕wQ’9，2tan2y7_tanp—1=0,求Q+4的值.

解⑴因为3sina=2sin2^—1,

所以3sina=—cosa所以tana=~

93

2sinacosa+cos2«—sin2a2tana+1—tan2a

又因为sin2a+cos2a=

sin2a+cos2«1+tan2a

IJ+l

2X_1

所以sin2a+cos2a=----

5,

(2)因为££，所以tan^vO,

因为ZtaM夕一tan4一1=(2tan4+l)(tan4-1)=0,

所以tan尸=一；，

又因为a£(0,H),tana=-所以％/＜兀.

32

所以tan®+为,,,

1-tanatanp〔_丄

6

不出兀,

由得兀va+P<2兀，所以仪+4=牛.

%。<兀,

课时精练

基础保分练

0]

1.已知,COS(K—x)=—则tan2x等于()

答案D

解析因为xj2,（0，C0S（7I—x）=—

所以cosx=*sinx=-—cos2x=—1,

由同角三角函数的关系,

sinx3

得tanx

cosx4,

2tanx

因此tan2x=

1—tan2x

2.（2023•保定模拟）已知sinlf-L半则sin2夕的值为（

)

72

A.-B.4D.

999

答案B

解析由sinl

得S&U）

2yli

3a—cos“、

即sin9—cos

3

等式两边同时平方，得l-sin20=詈,

9

7

所以sin20=—.

9

3.（2023•枣庄模拟）已知sin则cos等于（）

A.--B.-C.--D.-

9933

答案A

4.公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄

金分割约为0.618,这一数值也可以表示为切=2sin18。，若4"於+〃=16,则一喚—的值

2cos227°-1

为（）

A.1B.2C.4D.8

答案C

解析因为加=2sinl8°,

所以由4/+〃=16,可得〃=16—4（2sin18°）2=16cos218°,

因此2sin1804cos18°4sin3604cos54.

'2COS227°—1cos54°cos54°cos54°

5.（多选）（2023・合肥模拟）下列计算结果正确的是（）

A.cos（_15o）=#：S

B.sin15°sin30°sin750=-

8

C.cos(a—35°)cos(25°+«)+sin(a—35°)sin(25°+a)=—

D.2sin18°cos36°=-

2

答案BD

解析对于A,cos(—15°)=cos15°=cos(45°—30°)

=cos45°cos30°+sin45°sin30°=^+^,所以A错误;

4

对于B,sin15°sin30°sin75°—sin15°sin30°cos15°^^sin150cos15。=丄sin30。=丄，所以B正

248

确；

对于C,cos(a—35°)cos(25°+a)+sin(a—35°)sin(25°+a)=cos[(a—35°)—(25°+a)]=cos(—60°)

=cos60°=-,所以C错误；

2

对于D,2sin]80cos36。=2cos720cos360=2XS血144。*sm72。=sin36。=丄所以D正确.

2sin72°2sin36°2sin3602

6.（2022•石家庄模拟）黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在三角形中，底与腰之比为

黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72。的等腰

三角形.达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图，在黄

金△43。中，図=並二L根据这些信息，可得sin54。等于（）

AC2

A

2^/5-1口3+1N+4誕+3

AD.U.\J.

4488

答案B

22

解析由题设，可得cos72。=1-2sin36°=2^二1,又因为Cos36°+si/36。=1,

所以cos2360=或±士又cos36。W

8

所以cos360=cos(90°-54°)=sin54°=咛」

7.(2023・淄博模拟严]：(2cos212。-1)

3-tan12°

答案I

名刀m乂sin12°(2cos212°—1)sin12°cos12°cos24°/in48°।

解析因为----r----------------=~r----------：-----

v3—tan12°V3cos12°—sin1202sin48°8

2cos選一sin0—1

2

8.(2023•青岛模拟)已知tan2。=一23，又以匹，则------7一「=

42o+匹

V2sinl4j

答案一3+2也

解析由tan2。=—2/，即2^^-=—2/，解得tan9=/或tan。=一也.

1-tan2/92

因为父。〈匹，所以tan夕=/且cos9W0.

42

2cos/一sin0—1「

mi2_________cos9-sin01-tan01-v2

则r、=----------=-------=----p

[。+工]cos0+sin61+tan01+y)2

V2sinl4j

9.化简并求值.

小韵一4sin200+8sin320°

(1)-------------------------------;

2sin20°sin480°

(2)Uos280°cos210°J----------.

cos20°

解(1)原式_S-4sin20。(1-2sin2200)_3-4sin20%os40。

2sin20°sin480°—2sin20°sin480°

「2sin(20o+400)—4sin20%os40。_2sin(40°—20。)=1=1=2毡

2sin20°sin480°—2sin20°sin480°—sin4800―sin120。-3'

/r\rs_(cos10。-3cos80°)(cos10。+3cos80°)

(2)原式=-----------------1---------------------------

cos280°cos210°cos20°

_(cos10°一韵sinl(r)(cos100+A/5sin10。)

cos280°cos210°cos20°

=4cos70°cos500=4sin20°sin40°

cos280°cos210°cos20°sin2l0°cos210°cos20°

=32sin220°cos20°二嵬

sin220°cos20°

10.(2023•长春质检)(1)已知tan(a+/f)=],tan[3^)=^,求tanQ+J；

(2)已知cos2。=一±-<^<-,求sin4仇cos40.

542

⑶已知sin(a-2夕)=#,cos(2a一夕)=得，且0<的<噂求a+'的值.

解(1)因为tan(a+.)=(,tan[3^=~,

「丄由一Eftan(a+/-tan(fJ---.

所以tanl3j=tanL(a+.)—I3]=C_7f|=—~—=~

1+tan(a+4)tanl3J1+(X；

(2)由$鳍，得|<2。<兀，Asin26»=A/1-cos226»=|,

sin46=2sin20cos26=2*3义[5!=——,

525

cos461=2cos22^-1=2X[j2-1-1=工.

2525

⑶由0〈庐:哼，得0<2鳍，一齐一2夕<0,则一卜一2鳍

因为sin(a-2夕)=芈＞0,所以cos(a-20)=71-一新；

由0＜或得^＜20〈兀，一｝一庐0,

则支〈2。一尸＜兀，

4

因为cos(2a一份=一已，所以sin(2a一份=彳^.

因为〜a+”理

44

又cos(a+y5)=cos[(2a一0—(a—2夕)]

=cos(2a—/?)cos(a—2位+sin(2a—/?)sin(cc—2夕)

-忠+晋*%所以"T

立综合提升练

11.已知aJ°'33tana=邛,贝匹)

1—sin2在

A.[+£=]B.</一4=：

C.(%+夕=彳D.仪+2/?=1

答案B

cos28cos2^?—sin2y?

角牛析tana=--------=----------------------：

1—sin（cos4一sin0）-

cos夕+sin夕1+tan§+0

cossinp1—tanp

・・。J貝。/2丿，6/?GJl82外J,

Aa=-+5,即a一4=匹.

44

12-魏晋南北朝时期'祖冲之利用割圆术以正24576边形'求出圆周率兀约等于言'和真正

的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知兀的近似值还可

1—2cos?7。

以表示成4sin52。，则I平」的值为（）

C/16—砂

A.--B.-8C.8D.-

88

答案A

1—2COS27。

解析将冗=4sin52。代入，

TT\/16—兀2

可彳曰1-2COS27。_______—cos14。_______—cos140cos14°

c/16—兀24sin52°^16-16sin252°16sin52°cos52°8sin104°

cos14°cos1401

8sin（90°+14°）-8cos140-8,

13.（多选）（2023•长沙模拟）若sinaC（0,兀），则（）

A.cosa=-

3

2

BD.sina=-

3

r平+?#+2g

C.sml24J=-----------

6

D.s.m（UMl2而—水

4J---6--

答案AC

解析Vsin2=~^,兀），

cos~=\—sin-.

2J,2V23

cosa=1_2sin2-=1-2X^3^2=~,故A正确;

23

..aa…Sv#2也

sina=2osin-cos-=2X—X—=—,故B错误;

22333

-+-1a7t।a.7t

sint24J=sin-cos--rcos-sin-

2424

二退*也+近义啦=*+23

,故C正确;

32326

.|——~\.aTta.it

sinL24J=sin-cos—cos-sin-

2424

,故D错误.

32326

14.（2022•邢台模拟）已知a,夕均为锐角，sin[?+w）=-|,

,则sin(a+4)

13

,cos(2。一夕)=

箕塞33204

口65325

解析因为sin^+]=cosl

3

一

*J5,

sinl

13,

所以a+E为第二象限角，用一日为第一象限角,

33

所以sin1la+9=y

所以sin(cc+y?)=sinLI/+HJ

叫Jsml

slYj+cJ

=5+工65

cos(2a—p)=—cos(2a—£+兀)

=——21+工卜U)

It

=—cos2l1“丸JX

=-^cos2(a+9-^in2(a+3

1313

一叭5+T1」si』a+3c」a+1期

1313325

会展冲刺练

15.(2023•武汉模拟)/)满足：Vxi,刈6(0,1)且犷¥》2,都有承空»二^^<0.a=sin7°sin83°,

X\-X2

八言*c==lH，贝噜挈般的大小顺序沏