2023年高考数学一轮复习（全国版理） 第9章 抛物线

抛物线

【考试要求】1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程2掌握抛物线的简单几何性质(范围、

对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.

佚口识梳理】

1.抛物线的概念

把平面内与一个定点尸和一条定直线/(/不经过点好的距离相箜的点的轨迹叫做抛物线，点F

叫做抛物线的焦虑，直线/叫做抛物线的型」

2.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

图形

范围x》0,)，GRxWO,>GRy20,xGRyWO,xCR

焦点

准线方程X=—2一甘

x2X2

对称轴y轴

顶点(0.0)

离心率e=i

【常用结论)

抛物线焦点弦的几个常用结论

设48是过抛物线VnZpMp＞。)的焦点F的弦，若A(xi，yi),B(x2,m)，则

(2)若A在第一象限，8在第四象限，则—，|8用=行一，弦长|A8|=xi+x2+p

IcosaiIcosa.

=悬®为弦48的倾斜角)；

(3)-L+-L=2.

⑶|冏十|F剧p'

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；

⑸以A尸或BF为直径的圆与)，轴相切；

(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；

(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）平面内与一个定点尸和一条定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线.（X）

（2）方程y=4f表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是（1,0）.（X）

⑶抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（X）

（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.（X）

【教材改编题）

1.抛物线y=2/的准线方程为（)

A.产，B.产-；

C.y=-1

D.y=~\

答案A

解析由），=2/,得『=%，，故抛物线），=2/的准线方程为产一益.

2.过抛物线V=4x的焦点的直线/交抛物线于P（»,yi）,Q（M，、2）两点，如果为+及=6,

则IPQI等于（）

A.9B.8C.7D.6

答案B

解析抛物线V=4x的焦点为F（l,0）,准线方程为x=-l.根据题意可得，

|PQ|=+IQQ=汨+1+*+1

=彳|+及+2=8.

3.已知抛物线C与双曲线产=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是

答案y2=±4，lr

解析由已知可知双曲线的焦点为

（一啦，0）,（啦，0）.

设抛物线方程为y2=±2px（p>0）,则?=也，

所以夕=2吸，所以抛物线方程为丁=±4巾乂

题型一抛物线的定义和标准方程

命题点1定义及应用

例1（1）（2020.全国I）已知A为抛物线C：）2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为

12,到y轴的距离为9,则P等于（）

A.2B.3C.6D.9

答案C

解析设A(x,y),由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12,即x+g=12.

又因为点A到y轴的距离为9,即x=9,

所以9+§=12,解得p=6.

(2)已知点M(20,40),抛物线k=2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的一点P,\PM\+\PF]

的最小值为41,则p的值等于.

答案42或22

解析当点例(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D,

则甲网=|尸。|,

\PM\+\PF]=\PM\+\PD\.

当点M,P,。三点共线时，IPM+IP®的值最小.

由最小值为41,得20+g=41,解得p=42.

当点例(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点、P,M,尸三点共线时，『M+IPQ的值最小.

由最小值为41,得@()2+(20一分=41,

解得p=22或p=58.

当p=58时，^=116*,点M(20,40)在抛物线内，故舍去.

综上，p=42或p=22.

①②

思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得

简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.

命题点2求标准方程

例2(1)设抛物线)J=2px的焦点在直线2x+3y—8=0上，则该抛物线的准线方程为()

A.x——4B.x——3

C.X——2D.X——1

答案A

解析直线2x+3y—8=0与x轴的交点为(4,0),...抛物线9=2px的焦点为(4,0),...准线方

程为X——4.

(2)已知抛物线C：«=2*3>0)的焦点为凡准线为/,点A是抛物线C上一点，ADLI,交

/于。.若[Af]=4,ZDAF=60°,则抛物线C的方程为()

A.V=8xB.V=4x

C.^-—IxD.y2=x

答案B

解析根据抛物线的定义可得|AD|=|AQ=4,

又NZMF=60。，

所以IAOI—〃=IAF|COSeo^liA/q,

所以4-p=2,解得p=2,

所以抛物线C的方程为V=4x.

【教师备选】

1.已知抛物线V=4x的焦点为凡M,N是抛物线上两个不同的点.若|MQ+Wfl=5,则线

段MN的中点到y轴的距离为（）

35

A.3B.5C.5D.5

答案B

解析由题意知抛物线的准线方程为》=-1,分别过点M,N作准线的垂线，垂足为M',

N'（图略），

根据抛物线的定义得=

\NF]=\NN'I，

所以|MF|+|NF|=|MM'|+WMI，

所以线段MN的中点到准线的距离为

|（|WF|+|Af/;l）=2>所以线段MN的中点到y轴的距离为,一1=|.

2.（2022・济南模拟）已知抛物线『=2py（p>0）,过焦点F的直线与抛物线交于A,8两点（点A

在第一象限）.若直线A8的斜率为坐，点A的纵坐标为|,则。的值为（）

A.C.1D.2

答案c

解析由题意得，抛物线『=20，（/»0）的焦点在），轴上，

准线方程为尸一多

设A（XA,划），

则|AF]=y4+g=|+多

设直线AB的倾斜角为明

则tana=坐，

JT

因为《£[0,7i）9所以。=不

3

2-2

-22-23

-〃

所以|AF|=

Jn

所以3—p=,+多解得p=l.

思维升华求抛物线的标准方程的方法

（1）定义法；（2）待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.

跟踪训练1（1）设抛物线的顶点为0,焦点为F,准线为I,P是抛物线上异于0的一点，过

P作于。.则线段尸。的垂直平分线（）

A.经过点。B.经过点P

C.平行于直线OPD.垂直于直线0P

答案B

解析连接PF（图略），由题意及抛物线的定义可知|PQ|=|FP|,则尸为等腰三角形，故

线段FQ的垂直平分线经过点P.

（2）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”

及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线/=

2Pxs>0）的焦点，/是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为B,直线

AP交准线/于点C,若Rt/VIBC的“勾”|A8|=3,“股”|C阴=3小，则抛物线的方程为（）

A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD./=6x

答案B

解析如图，|A8|=3,

18cl=34，

则|AC|=、32+（34>=6,

设直线/与x轴交于点”，

由|AB|=|AF|=3,|AC|=6,可知点F为AC的中点，

13

所以|「，|=习48|=2，

3

又尸"l=p,所以〃=2，

所以抛物线的方程为V=3x.

题型二抛物线的几何性质

例3（1）（2021.新高考全国II）抛物线）2=2*（p>0）的焦点到直线y=x+｝的距离为明，则p

等于（）

A.1B.2C.2吸D.4

答案B

z、g-0+]

解析抛物线的焦点坐标为保0,其到直线x-y+l=o的距离d=—=也，

yjY1+1'

解得p=2(p=-6舍去).

(2)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,直线/的斜率为小且经过点凡与抛物线C交于

4,8两点(点4在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D若|AQ=8,则以下结论不正确的

是()

A.p=4B.DF=M

C.\BD\^2\BF]D.|8F|=4

答案D

解析如图所示，分别过点A,2作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E,M,连接EE

设抛物线C的准线交x轴于点P,则|PF]=p.因为直线/的斜率为小，所以其倾斜角为60。.

因为4E〃x轴，所以NEA尸=60。，

由抛物线的定义可知，|AE|=|AQ,

则AAE尸为等边三角形，

所以/EFP=NAEF=60°,

则NPEF=30。，

所以|Afl=|En=2Ff]=2p=8,得p=4,

故A正确；

因为|AE|=|£F|=2|PF|,S.PF//AE,

所以F为AO的中点，则际=丽，故B正确；

因为ND4E=60。，所以NAOE=30。，

所以出£>|=2|BM=2|8匀，故C正确；

因为山。|=2|8月，

11Q

所以旧回二手勿尸司人仪=1,故D错误.

【教师备选】

1.抛物线V=2px3>0)准线上的点4与抛物线上的点8关于原点O对称，线段48的垂直平

分线。”与抛物线交于点M,若直线MB经过点M4,0),则抛物线的焦点坐标是()

A.(4,0)B.(2,0)

C.(1,0)D.&0)

答案c

解析设点B(X1,9),M(X2,”)，

则点A（一x”—yi）,可得一xi=一多

贝11xi=多

设直线MB的方程为x=my+4,

x=my+4,

联立,可得y2—21npy—8p=0,

iy=2px,

所以yi》2=—8p,

由题意可知，

2o

OB-OM=xiX2+yiy2=^f+yiy2

=筹-80=16—80=0,

解得p—2.

因此，抛物线的焦点为（1,0）.

2.（2022•唐山模拟）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于

抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物

P偌,1）射

线的焦点.已知抛物线r：V=x，0为坐标原点，一束平行于x轴的光线/i从点

入，经过一上的点A8,V）反射后，再经「上另一点83,”）反射后，沿直线/2射出，经过

点。，则下列结论错误的是（）

A./”=一］

B.|AB|=y1

C.尸8平分NA8Q

D.延长AO交直线x=一：于点C,则C,B,。三点共线

答案A

解析设抛物线的焦点为凡

则心°）-

因为喘，1），

且l\//x轴，

故4（1,1）,

故直线AF：尸淳T）4T

1

-故错

A误

2=

故yiV

4,

一不

故"=

l,

又yi=

，

,一力

故我

；

正确

故B

1，

T=f

]^+

|=l+

故H3

,

y=x

1

,由｛

y=x

AO：

直线

不

x=_

="，

故"

:），

:，一

《一

可得

；

正确

故D

线，

点共

。三

,B,

所以C

25

41

,

|AB|

启=

一1=

|=正

因为|AP

角形，

等腰三

PB为

故4A

B,

AAP

8P=

故NA

B,

NAP

BQ=

故NP

/2,

而/i〃

,

/PBQ

BP=

即/A

正确.

故C

BQ,

分NA

B平

故P

出抛物

观地看

可以直

过图形

，通

形思考

合图

，常结

题时

质解

何性

的几

物线

应用抛

升华

思维

观性.

题的直

思想解

形结合

现了数

，体

特征

几何

向等

口方

、开

称轴

、对

顶点

线的

F,

点为

）的焦

S>0

=2px

线C：V

，抛物

原点

坐标

。为

）已知

全国I

高考

1•新

1）（202

2（

训练

跟踪

线方程

的准

则C

=6,

尸。|

OP.若

PQ_L

，且

一点

轴上

为x

，。

垂直

与x轴

，P尸

一点

C上

P为

.

为

3

2

X=-

答案

,

PQF

F^Z

ZOP

=p,

|PQ

/qn?,

易得lO

）由题

角形法