辽宁省重点高中高一年级上册期末考试数学试题（解析版）

一、单选题

1.已知集合力={TO,1,2},8={1,2,3},则Zu8=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】D

【分析】根据集合的并集运算即可得出答案.

【详解】因为/={-1,0」,2},B={1,2,3},

所以/uB={-l,0,l,2,3},

故选：D.

2.如图，在等腰梯形/8CQ中，AD//BC,4）=2,AB=BC=CD=1,E为/。的中点.则下列式子

不正确的是（）

A.AB+AE=ACB.同=|国C.AB-CD=EDD.ED+CB=0

【答案】C

【分析】先分析清楚图像内部的几何关系，再根据向量加法规则逐项分析.

【详解】由题意|“同=|皮）|=忸（7|=1,/£：//3（7,£0〃8。,，荏=而=前,

并且四边形/8CE和四边形■都是平行四边形，即砺=而，刀=前，

对于A,AB+JE^AC，正确；

对于B,|砺|=|而|=1,|比卜|刀卜1,正确；

对于C,ED=JE=JB+JE=JB+CD-CD，错误；

对于D,ED=BC=-CB,:.ED+CB=Q,正确；

故选：C.

3.“|x-l|W2”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】化简不等式，得到两个不等式的解，根据充分条件，必要条件的定义即可得出结论.

2_2

【详解】解：由|x-l|W2,解得-1W,由一r;-41,解得-l<x43,

x+l

显然-1<x<3=>-l<x<3,但是-1<xV3推不出-1<3,

所以“|x-l|W2”是“黄^41”的必要不充分条件.

故选：B.

4.下列函数是增函数且在(0,5)上有零点的是()

A./(x)=x+4B./(x)=4-|x|C./(x)=lnx-3D./(x)=3A-8

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的单调性及函数的零点存在性定理逐个选项判断即可.

【详解】对于A,/(x)=x+4是增函数，令/(x)=x+4=0,

则x=-4<0,故A错误；

对于B,/(x)=4-|x］在(0,+oo)上是减函数，故B错误：

对于C,令〃x)=lnx-3=0,则x=e，>5,故C错误；

对于D,/("=3、-8是增函数，令/")=3'-8=0,

则*=嗨8«1,2),故D正确；

故选：D.

5.已知“TogJ,6=log，6,c=@，则a,b,c的大小关系为()

33

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性即可求解.

【详解】由对数函数的单调性可知：a+ogJvlogz』。，/>=log56>log55=l,又0=也€(0,1)

333

,所以6>c>a.

故选：C.

6.如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分

中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为()

甲乙

98879

10908

39

A.BD.

8-17cI16

【答案】B

【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.

【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，

则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种,

7

故所求的概率为二.

16

故选：B.

7.下图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率（单位：%o）,根据下图，则（）

■人口出生率（％。）

A.这10年的人口出生率逐年下降

B.这10年的人口出生率超过12%。的年数所占比例等于45%

C.这10年的人口出生率的80%分位数为13.57%

D.这10年的人口出生率的平均数小于12%。

【答案】D

【分析】由走势图对选项一一验证即可.

【详解】对于A：这10年的人口出生率有升有降，故A错误;

对于B：这10年的人口出生率超过12%。的年数所占比例等于50%,故B错误;

对于C：由于10x0.8=8,则这10年的人口出生率的80%分位数为从小到大第8个和第9个数的平

13.57+13.83

均数=13.70,故C错误;

2

对于D：这10年的人口出生率的平均数为

-^（14.57+13.03+13.83+11.99+13.57+12.64+10.86+10.41+8.52+7.52）=11,694小于12%。，故D

正确；

故选：D.

8."碳达峰''是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而"碳中和''是指企业、团体

或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排

放某地区二氧化碳的排放量达到峰值“（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与

时间f（年）满足函数关系式5=仍'，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为4（亿吨）.已知

该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为W（亿吨），则该地区要

实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：1g2=0.30,1g3。0.48）

A.13年B.14年C.15年D.16年

【答案】D

【分析】由条件列式而4=当先确定参数，再结合对数运算解方程而'=3.

43

【详解】由题意，S=a//=¥，即所以b=1,

44V4

令ab'=g即故便［=］即北1=心，

331Y4J3V43

141g3

可得Z（lg3-21g2）=-lg3,即"大声口=16.

421g2-lg3

故选：D

二、多选题

9.己知工是直线/上的一个单位向量，£与否都是直线/上的向量，Ra=2e>b=-3e>则（）

A.石的坐标为-3B.|6|=3

C.2Z+3区的坐标为5D.I2Z+3向=5

【答案】ABD

【分析】根据题意得到忖=悭卜2,W="4=3,£3的夹角为180°,再依次判断选项即可.

【详解】对选项A,因为刃=-3鼠所以B的坐标为-3,故A正确；

对选项B,忖=卜30=3,故B正确.

对选项C,因为a=2e，b=—3e»所以2〃+33的坐标为-5,故C错误;

对选项D,因为忖=同=2,W=Re|=3,的夹角为180°,

所以(22+342=47+97+1271=4x22+9x9+12x2x3x(-1)=25,

所以12a+3取|=5,故D正确.

故选：ABD

10.为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9,方差为11；

乙同学调查了10名女生，其平均数为7,方差为8.若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成

一个容量为20的样本，则该样本数据的()

A.平均数为8.5B.平均数为8C.方差为10.5D.方差为10

【答案】BC

【分析】根据平均数和方差的定义计算求解即可.

10x9+10x7

【详解】由题意，该样本数据的平均数本=：=8,

方差一=寮[11+(9-8)2]+奈[8+(7-8)2]=10.5.

故选：BC

11.设函数〃x)=ln(M-a),则下列说法正确的是()

A./(x)是偶函数

B.当a=l时，/(X)的单调递减区间为(-%0)

C.若/(X)的定义域为R,则a的取值范围为(—,0]

D.若/(X)的值域为R,则。的取值范围为[0,+8)

【答案】AD

【分析】根据函数的奇偶性，单调性，值域和定义域进行逐项的判断即可求解.

【详解】对于A选项，因为当a>0f!寸，函数定义域为(f°,-a)U(a,+8),当。=0时，函数定义域

为(-8,0)U(0,+<»)：

当"0时，函数的定义域为R,函数定义域关于原点对称，且/(r)=/(x),所以/(x)是偶函

数，故A正确；

对于B选项，当。=1时，令国-1>0,解得x<-l或x>l,由复合函数的单调性可知/(X)的单调

递减区间为(-8,-1),故B错误;

对于C选项，若/(X)的定义域为R,则|x|-a>o恒成立，故”0,则。的取值范围为(-8,0),故

C错误；

对于D选项，若/(x)的值域为R,则-。40,故a20,则。的取值范围为[。，”)，故D正确.

故选：AD.

12.已知函数“X),g(x)的定义域均为R,g(x)为偶函数,且〃x)+g(x+l)=l,

/(x+l)-g(x)=3,贝l]()

A.g(x)的图象关于直线x=2对称B./(x)的图象关于点(0,2)对称

C.f(x)是以3为周期的周期函数D.g(x)是以4为周期的周期函数

【答案】ABD

【分析】根据函数的奇偶性和周期性逐项进行求解即可.

【详解】由/(x)+g(x+l)=l,可得/(x+l)+g(x+2)=l,

又/(x+l)-g(x)=3,所以g(x+2)+g(x)=-2,则g(x+4)+g(x+2)=-2,

所以g(x+4)=g(x),所以g(x)周期为4,故D正确；

同理可得/(x+4)=/(x),所以/(x)周期为4,故C错误；.

因为g(x)为偶函数，所以g(-x)=g(x)=g(x+4),

所以g(x)的图象关于直线x=2对称，故A正确；

因为/(x)+g(x+l)=l,可得g(x)=l-/(x-l),

又〃x+l)-g(x)=3,所以g(-x)=/(l—x)-3,

由g(/=g(x),可得=即/(1)+/(厂1)=4,

所以/(x)的图象关于点(0,2)对称，故B正确；

故选：ABD.

三、填空题

13.已知2=(机,-2),1=(3,1),若石〃B，则向=.

【答案】2M

【分析】首先根据1〃5得到，”=-6,再计算同即可.

【详解】由3〃很，得机+6=0,则"?=-6,|a|=V36+4=2V10.

故答案为：2VI6

四、双空题

14.某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为〃的样本，将数据按［20,30)

,［30,40),［40,50),［50,60),［60,70］分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则。=

.要从日支出在［50,70］的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在［60,70］中被抽取

【分析】根据频率之和为1列出方程，求出。=0.005,得到［50,60)内和［60,70］内的样本比例，从

而得到在［60,70］中被抽取的人数.

【详解】(2xa+0.02+0.025+0.045)xl0=l,解得a=0.005.

因为［50,60)内和［60,70］内的样本个数比例为0.020:0.005=4:1,

根据分层抽样可知，日支出在［60,70］中被抽取的人数为10x占=2.

故答案为：0.005,2

五、填空题

15.设a,beR,若9/+〃+3劭=6,则3a+6的最大值为.

【答案】2五

【分析】利用条件变形和问题建立起联系：(3a+6)2=3M+6,再利用基本不等式求出血的范围即

可求解.

【详解】9a24-Z?2+3ab=6=（3tz+Z>）2-3ab,

即（3a+by=3ab+6,

因为9/+/+3，活=622J9a2./+3ab，

2

可得他当且仅当3〃=b时，等号成立，

所以（3a+b\=3ab+6<8,

即3。+6的最大值为2近.

故答案为：20.

——1—

16.已知1内一点产满足力夕=之48+;力C,若口PC6的面积与口/BC的面积之比为1:3,则义

4

的值为.

【答案】卷

【分析】过点P作尸加〃NC,PN//AB,根据向量运算和平面向量基本定理可得存7=4而，

4N=：/C.作PG_L/C于点G,BHBC于点、H.根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得

4

S&PAC=4s△月8c，S^PAB=W,△力8c,列方程求2的值.

【详解】如图，过点P作PMHAC,PN//AB,则"=丽+而，

——1—

又4P=24B+-4C,

4

__i___

由平面向量基本定理可得行7=/近，AN=；AC.

4

作尸G_U。于点G,BHL4c于点H.

PGPN

又因为△尸NGs△历1"，所以,=-^=;1,

BHAB

因为S&PAC=,同理S^PAB=~S^ABC.

因为口尸C3的面积与GABC的面积之比为1:3,

所以4+!+!=1,

43

解得九=3.

故答案为：—

六、解答题

2

17.己知命题P：玉eR,x+mx+m<0,集合A是命题P为假命题时实数机的取值集合，函数

/白卜叫》+4+不二的定义域为集合8.

yla-x

(1)求集合A;

(2)已知a>0,若“xeZ”是“xeB”的充分不必要条件，求。的取值范围.

【答案】(1)/=[0,4]

⑵(4,同

【分析】(1)分析可知，命题。的否定为真命题，由A40可求得集合A；

(2)求出集合8,分析可知AB,可得出关于实数。的不等式组，即可解得实数。的取值范围.

【详解】(1)解：命题P的否定为YxeR,x2+mx+m>0,

命题P的否定为真命题等价于△=〃/-4〃?WO,解得04机44,所以/=[0,4].

/、fx+a>0/、

(2)解：•.・“〉(),要使〃x)有意义，则”7>0，解得一则8=(-a,“)，

因为是“xeB”的充分不必要条件，则AB,

(―a<0

所以，/，解得。>4,

[a>4

当a=4时，5=(-4,4),此时A8.

因此，实数a的取值范围是(4,+«)).

18.已知幕函数/。)=(/-3>廿在(0,+纥)上单调递减.

⑴求/(x)的解析式；

(2)若Vxe［l,2］,篁W，求°的取值范围.

X

【答案】(l)/(x)=x-2

⑵

【分析】(1)根据赛函数的定义和单调性列式求解即可；

(2)根据题意分离变量得到。42,在［10恒成立，利用函数的单调性即可求解.

X

_3=］

【详解】Q)因为基函数/(x)=(*-3)•产在(0,+8)上单调递减，所以加〈。一，

解得m=-2,所以〃x)的解析式为/(x)=/.

(2)由/(同4乙心，可得工42*-a,贝1ja42,-L,

XXX

因为V=2*/=-1在［1,2］上单调递增，

X

所以y=2*-,在［1,2］上单调递增，所以当x=l时，取得最小值1.

X

所以a的取值范围为(-8,1］.

19.已知f(x)为R上的奇函数，当xNO时，/(x)=bg|(x+4)+机.

2

⑴求用的值并求出〃X)在(-8,0)上的解析式；

(2)若求〃的取值范围.

［答案］(1)m=2,/(x)=-bgi(-x+4)-2

2

(2)(-oo,-4)

【分析】(1)根据函数为R上的奇函数得到/(0)=0,求出加的值，并利用函数的奇偶性求出解

析式；

(2)得到函数的单调性及从而解不等式，求出答案.

2

【详解】(1)由题可知/(0)=-2+机=0,即机=2,经检验符合题意，

令x<0,贝iJ-x>0,/(-x)=bgi(—+4)+2,

2

又/(X)为奇函数，所以〃r)=一/(x),

所以-/'（x）=l°gI（-X+4）+2,故/（X）=-logI（-X+4）-2,

22

故/（X）在（-8,0）上的解析式为/（x）=-l°g（x+4）-2.

2

（2）由函数性质可知/（x）在［0,+8）上单调递减，则/（x）在R上单调递减.

又因为/（-4）=-bg:8-2=l,所以即/⑷

所以当。＜-4时，/（«）＞!,即a的取值范围为（7,-4）.

20.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选

手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.己知第一关的通过率为0.7,第二关、第

三关的通过率均为0.5,第四关的通过率为0.2,四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），

通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累

加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.

（1）求甲未获得奖金的概率；

（2）求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率.

【答案】⑴0.825

（2）0.0098

【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出获得一二等奖概率，再利用对立事件即可求出甲未获奖金

的概率；

（2）根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法

公式即可求解.

【详解】（1）获得二等奖的概率为0.7x0.5x0.5x0.8=0.14,

获得一等奖的概率为0.7x0.5x0,5x0.2=0.035,

所以甲未获得奖金的概率为1-0.14-0.035=0.825.

（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14,获得一等奖的概率为0.035.

甲和乙最后所得奖金之和为900元，则甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，

则所求的概率为0.035x0.14+0.14x0.035=0.0098.

21.已知心0,〃＞0,如图，在口/8C中，点N满足疯=切方，AN=nAC＞。是线段BC上

一点，丽=；前，点E为4D的中点,且M,N,E三点共线.

A

（1）若点。满足2前=①+反，证明：OEHBC.

（2）求MI+2"的最小值.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据向量的线性运算法则，利用刘，万依次表示而，荏，彩，砺，而，再结合向量共

线定理证明无〃而即可；

（2）由（1）AE=^-AM+^-AN,结合结论可得J+；=l,再利用基本不等式求加+2〃的最小

3加6〃6/7

值.

【详解】（1）由题可知质=诟+而=赤+1而=布+，（就_而）=29+1万，

33、'33

一1一1—

因为点E为ZQ的中点，所以=+吃/C.

36

由2股=丽+），贝U2芯=宓+而+次+%，即彩=；（刘+祝），

赤=万_前=（厚+［碎*+%）=*亦*,

y.CB=AB-AC

所以无//丽，又旦C,8三点不共线,

所以OE//BC.

（2）因为M,N,E三点共线,

所以可设流=4丽，又与7=机在，AN=nAC，

所以荏=0_；1）而+/1而=（1_4"?而+彳〃就

又下=；刀+：就，

所以0_/1）"?=!，彳〃=）,