湖南省岳阳市2023届高三下学期二模数学试题(含答案)

机密★启用前

岳阳市2023届高三教学质量监测（二）

数学

本试卷共6页，22道题，满分150分，考试用时150分钟.

姓名准考证号.

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写在答题卡上.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能各在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字表作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用钻笔和涂改液.不按以上

要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选须中，只有一项是符

合题目要求的.

1.设集合M={x∣f+χ-2≤（）},N={x∣log2*<l},则MUN=（）

A.{x∣一2≤x≤l}B.{X∣-2≤X<2}C.{X∣0<X≤1}D.{Λ∣X<2}

2.已知直线/,机和平面α,尸，若/ua,e_L〃且ac∕=m，则"/_!_m”是“/_L£”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知角ɑ的顶点与坐标原点重合，始边与X轴的非负半轴查合，点A是角ɑ的终边与单位圆的交点，若点

4

A的横坐标为-1，则CoS2。=（）

22_77

A.B.-C.-----D.—

552525

4.某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开设了“球类”、“棋类”、"书法”、"绘画”“舞踩''等五项活动.若甲同

学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为（）

A.0.9B.0.7C.0.6D.0.3

5.已知函数/（x）=—2χ3+3以2+3χ是定义在R上的奇函数，则函数/（尤）的图像在点（—2,/（—2））处的切

线的斜率为（）

A.-27B.-25C.-23D.-21

6.收臧于陕西博物馆的国宝——唐・金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银

2

细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为右的双曲线c：X2一方=LS>0）的右支与y

轴及平行于X轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若P为C右支上的一

点，JF为C的左焦点，则IPpI与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（）

八/

A.2B.3C.4D.5

7.已知函数/（x）=2sin（28+0）（3eN+，|a<9的最小正周期Te（子年），将函数/（%）的图像向

右平移g个单位长度，所得图像关于原点对称，则下列关于函数/（x）的说法错误的是（）

6

∖

A.函数/（X）的图像关于直线X=-考7r•对称

B.函数/（X）在I上单调递减

C.函数/（x）在（0,牌）上有两个极值点

D.方程/（X）=1在[0,句上有3个解

8.若函数/（χ）=∕-2g-2Hnjt+OX2有两个不同的零点，则实数α的取值范围是（）

A.（-∞,-e）B.（-oo,-e]C.（-e,0）D.（-Ve,θj

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰''下水试航，增强学生的国防

意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀''国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所

示的频率分布直方图，其中分组的区间为[50,60）」60,70）,[70,80）480,90）,[90,100],为进一步了解学生的

答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间[70,90）内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩

作分析，下列结论正确的是（)

A.频率分布直方图中的X=O.030

B.估计100名学生成绩的中位数是85

C.估计100名学生成绩的80%分位数是95

D.从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于［70,80),则后抽取的学生成绩在［80,90)的

4

概率是77

15

10.设函数/(x)=∣⅛Λ∣在［。,+8)上的最小值为加“，函数g(x)=sin葭在［0,α］上的最大值为，若

〃“—？='，则满足条件的实数。可以是()

2

A.∣B.∣C.10√10D.√10

11.已知抛物线C:X2=2Py(P>0)的焦点F与圆M:炉+(>+2)?=1上点的距离的最小值为2,过点F的

动直线/与抛物线C交于A8两点，以AB为切点的抛物线的两条切线的交点为P,则下列结论正确的是

()

A.〃=2

B.当/与M相切时，/的斜率是±受

4

C.点P在定直线上

D.以AB为直径的圆与直线y=T相切

12.在中国共产党全国代表大会召开期间，某学校组织了“永远跟党走，奋进新征程”，

4万

书画作品比赛.如图①，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，若球的体积为W;如图②，托盘

由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，则下列结论正确的是()

B

π

A.直线AO与平面B石厂所成的角为工

6

π

B.经过三个顶点人民C的球的截面圆的面积为一

4

C.异面直线AD与CF所成的角的余弦值为-

8

D.球离球托底面DEF的最小距离为√3+--1

3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设复数z=(l+i)sinl5+(l-i)sin75,其中i为虚数单位，则IZl=.

14.在[―工)(I+%)’的展开式中/项的系数是.

15.已知函数/(x)=-x3+∕nχ2θ>0),x∈[l,+8),数列｛4｝满足a”=/("),"∈M,给出下列两个条

件：①函数/(久)是递减函数；②数列｛%,｝是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数/(x)

的解析式：/(X)=.

16.定义！XI是与实数X的距离最近的整数(当X为两相邻整数的算术平均值时，IXll取较大整数)，如

=1,∣∣=2,∣∣2∣∣=2,∣∣2.5∣I=3,令函数K(X)Ml罔|,数列｛%｝的通项公式为4=K师，其前九项和

为Sn,则S4=-------------；S2023=----------.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

在CABC中，c分别为角A,B,C的对边，若J‰inC+cosC=竺空四G,且AABC的内切圆半径

SinA

r=2∙求：

(1)角A的大小；

(2)b+c的最小值.

18.（本题满分12分）

已知数列｛%｝的前〃项和为S.,q=1,S.=2S,,+2角

（1）证明数列是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式;

（2）设a=W，若对任意正整数〃，不等式"＜尤二竺土竺恒成立，求实数加的取值范围.

3""27

19.（本题满分12分）

在AABC中，NACB=45,BC=3,过点A作ADLBC,交线段BC于点。（如图1）,沿Ar）将

ABD折起，使NBQC=90（如图2）,点E,M分别为棱BC,AC的中点.

（I）求证：CDLME；

42I

（2）在①图1中tan2B=——，②图1中A。=—AB+—AC,③图2中三棱推A—BCD的体积最大.

333

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.

问题：已知,试在棱CD上确定一点N,使得EN_L3M,并求平面BMN与平面CBN的夹角

的余弦值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20.（本题满分12分）

国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我

国生活垃圾有填埋、焚烧、堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主

要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y（单位：座）

进行统计，得到如下表格：

年份20132014201520162017201820192020

年份代码X12345678

垃圾焚烧无害化

166188220249286331389463

处理厂的个数y

（1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量V与变量X之间的线性相关关系，请用相关系数加

以说明（精确到0.01）；

(2)求出V关于X的经验回归方程，并预则2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；

(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用(2)所求的经验回归方程预测吗？请简要

说明理由.

∑(¾-^)U∙-y)

参考公式：相关系数r=~p,L“，回归方程》=%+/中斜率和截距的最小二乘法估计

χτ22

J∑(i~)∑(yi-y)

Vi=li=∖

λt(D(%-y)λ

公式分别为。=-2ξ¼------------,a=y-bx

∑(Λ∕^J)2

/=I

8888

参考数据：Xy=2292,2才=204,2寸=730348,2XjK=I2041,

Z=IZ=Ii=∖Z=J

5732=328329,√105≈10.25,√7369≈85.84

21.(本题满分12分)

22

已知点P(0,-2),点A3分别为椭圆C：鼻+==1(«>/?>0)的左、右顶点，直线BP交。于点Q“ABP

3

是等腰直角三角形，且PQ=]QB.

(1)过椭圆C的上顶点用引两条互相垂直的直线4,，2，记C上任一点N到两直线(,A的距离分别为

dλ,d2,求片+4的最大值;

(2)过点“(4,0)且斜率不为零的直线与椭圆C相交于E,尸两点试问：是否存在X轴上的定点G,使得

NEGO=/FGH.若存在,求出定点G的坐标；若不存在，说明理由.

22.(本题满分12分)

已知函数/(%)=lnx-x+l.

(1)求/(x)的最大值；

(2)设函数g(x)=f(x)+a(XT)2,若对任意实数人£(2,3),当XW(0,历时，函数g(x)的最大值

为g(⅛),求Q的取值范围；

Λn

(3)若数列｛斯｝的各项均为正数，α∣=l,an+↑=f(aw)+2an+l(∈ΛΓ+).求证：all<2~1.

岳阳市2023届高三教学质量监测(二)

数学参考答案及评分标准

一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.B2.C3.D4.B5.D6.C7.D8.A

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AC10.BDll.ACD12.CD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.√214.-1015._丁+2£（答案不唯一，加Hg］均可）16.3,空^

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

解：（1）在二ABC中，由√⅞inC+cos。=遮十SmC可得

SinA

GSinCSinA+CosCsinA=sin（A+C）+sinC=GsinCsinA=CosAsinC+SinC

sinC>0,/.ʌ/ɜsiɪvl-cosA=1=>sin∣A--∖=-

I6J2

π5π

A∈(0,æ∙).∖A--E

6^,^6^

：.A——=—=>A=-

663

ɪɪ乃

(2)Sλbc=5〃。511124=5(0+/?+(?)r且24=1/=2

=>-^bC=2(α+6+c)βPtz=-^-bc-b-c

由余弦定理有：a2=b2+c2-2bccosA=>a2=b2+c2-be

-(He)?-3bc

于是等e+c）—3=

,当且仅当h=c时取=

8√3

所以Gs+C)?-32(b+c)+64∙G≥0=>Z>+c≥8∖∕3或b+c≤

3

所以8+c≥8Gn(b+c)mm=8√3

18.(本题满分12分)

VV

解：⑴由SN=2S,,+2W得瑞=才+1,

qV1

所以数列=j⅛G是以也=L为首项，公差为1的等差数列

-2"22

合=(+(〃T)=竽，BP∖=(2n-l)∙2n-

,当〃≥2时，

n1n2,2

«„=∖-Sn-1=(2π-l)∙2--(2n-3)∙2-=(2n+l)∙2--

1,〃=1

又q=l不满足上式，所以。加_„_

(2n÷l)∙22,n≥2

(2)由(1)知S.=(2"-l)∙2"T,

当〃≤2时，bn+l>bni

当3时，bll+i<bn,即4<%<4>“>4>

所以么的最大值为A=—,依题意史<"-'〃+18即z√一2>0,

272727

解得m<-1或m>2.

19.（本题满分12分）

解：（1）证明：CO,Ar）ADcBO=Z）,

.•.。0，平面48。，ABU平面ABr>,.∙.O）"LA5.

χ∙.M,E分别为ACBC的中点，

:.ME//AB,:.CDLME.

(2)选①，在图1所示的AABC中，由tan23=-±=二ɪ驾一

3l-tan2B

解得tanB=2或tanB=-'(舍去).

2

Az)X

设AD=CD=x,在RfABD中，tan8=----=------=2,

BD3-X

解得X=2,.∙.30=1.

以点。为原点，O3,OC,D4分别为x,NZ轴建立如图所示的坐标系。—型，

P(0,0,0),B(l,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,l,l),E^,l,0j,

则BM=(-1,1,1).

设N(O,4,0),则EN=-ɪ,tz-l,θ^.

ENLBM,:.ENBM=O,即(―g,a—l,θ)(-1,1,1)=O,解得α=g,

•.当ON=；(即N是Co的靠近。的一个四等分点)时，ENA.BM.

设平面BMN的一个法向量为“=(x,y,z),且BN=(-l,g,θ),

n-BN=O,-X+Ly=O,

由｛得〈2令X=1,则〃=(1,2,-1)

[〃.*(),[γ+y+z=o,

取平面CBN的一个法向量根=(0,0,1),

m`n1(0,0,1)-(1,2,-1)∣

√l2+22+(-l)26

・•.平面BMN与平面CBN的夹角的余弦值为国

6

选②，在图1所示的OABC中，设BO=ZlBC，

则Ao=AB+BD=AB+XBC=A3+；l(AC—AB)=(l—；l)A8+；lAC,

211

又∙AD=-AB+-AC,由平面向量基本定理知a=一，即30=1.

333

以点。为原点,DB,DC,DA分别为％y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-DZ

D(0,0,0),B(l,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,l,l),Efp1,0L

贝IJBM=(Tl,1).

设N(0,4,0),则硒=(—；,a—l,θ].EN上BM,;.ENBM=O,

即(一,,α-l,θ)∙(-l,l,l)=O,解得α=/，•',N[°，]，°}

，当DN=L(即N是CD的靠近。的一个四等分点)时，ENlBM.

2

设平面BMN的一个法向量为“=(x,y,z),且BN=(-l,g,θ),

n-BN=O,-X+Ly=O,

由{得〈2令X=1,则〃=(1,2,-1).

[〃.*(),[γ+y+z=o,

取平面CBN的一个法向量加=(0,0,1),

m`n1(0,0,1)-(1,2,-1)∣

√l2+22+(-l)26

∙∙.平面BMN与平面CBN的夹角的余弦值为ʃ.

6

选③，在图1所示的.ABC中，设B0=x(O<x<3),则CD=3-x,

.∙ADlBC,ZACB=45,:.A。C为等腰直角三角形，二AD=8=3-

折起后AO_LOC,AZ>_LBO,且BDcZX?=。,

.•.AZ)_L平面Ba),又∕5DC=90,/.Sβcβ=∣%(3-x),

匕-Be=阳’=<(3—x>：x(3—x)=:(χ3-6χ2+9χ),χe(0,3),

ɔɔZo'

令/(x)=，(r-6x2+9x),f(X)=ɪ(ɪ-l)(ɪ-ɜ),

当O<x<l时，∕,(x)>0:当l<χ<3时，∕,(x)<0,

.∙.x=8O=l时，三棱锥A-BCO的体积最大.

以点D为原点，DB,DC,DA分别为X,Nz轴建立如图所示直角坐标系D-xyz,

D(0,0,0),β(l,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,l,l),

ʤθ),则=(-1,1,1)

设N(0,α,0),则EN=1-g,a—1,0).

ENIBM,:.EN-BM=0,B∣JI-∣√z-1,0j∙(-l,1,1)=O

解得,.-./v[o,ɪ,o],

，当DN=L(即N是CD的靠近。的一个四等分点)时，ENlBM.

2

设平面AWN的一个法向量为〃=(x,y,z),且BN=-l,ɪ,θ

n-BN=0,-x+Ly=O,..

由得V2，令X=I,则〃=(1,2,-1).

[〃.*(),[γ+y+z=o,

取平面CBN的一个法向量“2=（0,0,1）,

mn1(0,0,1)-(1,2,-1)∣

则cos(m,n)=

√l2+22+(-l)26

平面BMN与平面CBN的夹角的余弦值为

~6~

20.（本题满分12分）

n,、一1+2+3+4+5+6+7+89_2292573

解Il：(1)X=------------------------------=—,y=--------------

8282

n8—

∑α一元)(力一,)∑>∕τ孙

相关系数r=二『，’’V、

2222

Σ(χi-χ)Σ(yi-y)∑X,-8X∑χ-8y

Ni=I/=IYli=I八M√

9573

12041-8×X17271727

「一22≈0.98

204-8X：X730348-8X%，9√42×√7369020.5×85.84

因为y与X的相关系数r=0.98,接近1,所以y与X的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y与X的

关系.

n8

Xa-可(K-方^xiyi-9,xy

i=l

(2)b=-~~8~

ΣU-J)2∑^,2-8x2

/=1Z=I

9573

12041-8×ɪ×-

221727

Ql42~Λ41.12

204-8×-

4

ʌ5739

α=y-⅛χ≈--41.12xɪ=101.46

22

所以V与X的线性回归方程为夕=41.12x+101.46

又2022年对应的年份代码χ=l(),当X=1()时，$=41.12X10+101.46=512.66=513,

所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.

(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由(2)所求的线性回归方程预测，理由如下

(说出一点即可)：

①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；

②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建；

③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式.

21.(本题满分12分)

解：⑴由ABP是等腰直角三角形，得α=2,B(2,0).

6

.3—“。=不

设。(Λ0,%),则由PQ=∕QB,得T4

b=τ

2

代入椭圆方程得〃=1,所以椭圆E的方程为三+y2=I.

4-

由几何关系可知：d；+d1=|MN∣2,

2

设N(X,y),则?+y2=]且y∈[T,l]

.-.IMNI2=X2+(ʃ-I)2=-3y2-2y+5

于是当y=-；时，IMVi2〃郎=—

d；+d；的最大值是τ.

⑵证明：设点E的坐标为(x∣,yj,点F的坐标为(打为了假设存在X轴上的定点G(a,0),使得

AEGO=AFGH,即∕⅛G+%FG=O

由题意可知直线EF的斜率存在，设直线EF的方程为X=中y+4.

2

联立方程,4+>—消去X得，(根2+4)丁+8咫+12=(),

X=my+

8m

X+%

m2+4

Δ=Mtn2-48(∕M2+4)>O,rrr>12,且<

12

m2+4

yy

直线EG的斜率为一口l一，直线FG的斜率为一r"2-