2023年山东省临沂市兰山区临沂一中数学高二年级下册期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.双曲线二—f=ι的渐近线方程为（）

2

A.y=±——XB.y=+∖[2xC.y=±χD.y=+2x

2.在平面内，点.到直线_,=Q的距离公式为>通过类比的方法，可求得在空间中，点

二：E到平面.+`+2:-：='。的距离为（）

BcD

ʌ-3∙V6∙M-3V5

3.一个正方体的展开如图所示，点B,C,。为原正方体的顶点，点A为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正

方体中，直线Co与AB所成角的余弦值为（）

r√5

A.@B.典V•------

1055

4.已知集合A={-2,T,0,1,2},B={Λ∣X2>4）,则如图中阴影部分所表示的集合为（）

B.{0}

C.{1,0}D.{-1,0,1)

5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者

对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名

次排列的不同情形种数共有（）

A.30B.36C.48I).54

6.函数y=；V—4x+l的图象是（

)

7.某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了

乙说：“甲、丙都没去丙说：“是丁去了.”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学

的员工是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

8.命题"Vx∈[—2,+8）,x+3≥l”的否定为（）

A.3x0∈[-2,+∞）,Λ0+3<1B.3x0∈[-2,+∞）,x0+3≥1

C.Vx∈[-2,+∞）,Mv0=Mvl+m'v2D.Vx∈（→o,-2）,χ+3≥l

4

9.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为不，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）

1696192256

A∙-----B∙-----C.-----D.-----

625625625625

19

10.设随机变量久8(3,p),若PC≥1)=万，则。＜=()

12

A.-B.-C.1D.2

33

11.已知函数/（x）=lnx—公2,若/（χ）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）

12.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间

为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根

据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效

A.6B.8C.12D.18

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，已知四面体ABC。的棱AB//平面α,且AB=正，其余的棱长均为1，四面体ABC。以A3所在的直

线为轴旋转X弧度,且始终在水平放置的平面α上方,如果将四面体ABCO在平面ɑ内正投影面积看成关于X的函数,

记为S(X),则函数S(X)的取值范围为.

14

14.已知函数/(x)=2x-sinx,若正实数。/满足/(。)+/(2人-1)=0,则一+的最小值是________.

ab

15.(题文)]二一士：的二项展开式中的常数项为.

16.在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为(1,2,3)和(-2,3,-1),则该二面角

的大小为(结果用反三角函数表示).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.Q2分)选修4-5：不等式选讲

/(X)=∣X+2∣-∣X-3∣-6!.

(1)当α=l时,求函数/(X)的最大值；

4

(2)若/(x)≤—对任意XeR恒成立，求实数。的取值范围.

18.(12分)已知/(x)=6sin(万+3x)∙sin∣∣∙万一”)-以光253>0)的最小正周期为T=%.

(1)求/［《-J的值；

(2)在AABC中，角A,B,C所对的边分别是为“，b,c,若(2a-c)cosB=bcosC,求角3的大小以及/(A)

的取值范围.

19.(12分)某种证件的获取规则是：参加科目A和科目3的考试，每个科目考试的成绩分为合格与不合格，每个科

目最多只有2次考试机会，且参加科目A考试的成绩为合格后，才能参加科目8的考试；参加某科目考试的成绩为合

格后，不再参加该科目的考试，参加两个科目考试的成绩均为合格才能获得该证件.现有一人想获取该证件，已知此

21

人每次参加科目A考试的成绩为合格的概率是彳，每次参加科目8考试的成绩为合格的概率是不，且各次考试的成绩

32

为合格与不合格均互不影响.假设此人不放弃按规则所给的所有考试机会，记他参加考试的次数为X∙

(I)求X的所有可能取的值；

(2)求X的分布列和数学期望.

20.(12分)已知数列｛%｝的前〃项和S“=2"+2—4(〃GN)函数/(x)对任意的XeR都有/(x)+∕(l-X)=1,

数列｛叫满足a=〃o)+/(£j+/［£|+…⑴・

⑴求数列｛αj,｛<｝的通项公式;

⑵若数列｛c,｝满足c,=%•，，Z,是数列｛%｝的前〃项和，是否存在正实数使不等式女(〃2-9“+26)7；>4ncl,

对于一切的〃eN*恒成立？若存在请求出攵的取值范围；若不存在请说明理由.

Illl1C

21.(12分)已知数列二厂，，一-~二，…的前〃项和为S,,.

1×22×33×44×5n×(n+l)

(1)计算S∣,S2,S3,S4的值，根据计算结果，猜想S”的表达式；

(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的S“表达式.

22.(10分)［选修4-4：坐标系与参数方程］

X=2+2COSa

在直角坐标系XoV中，曲线C的参数方程为｛3∙(α为参数)，以原点。为极点，X轴的正半轴为极轴

y=2sιnα

建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

⑵若点A的极坐标为(2,。)，M是曲线C上的一动点，求AK4。面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据。力的值直接写出渐近线方程.

【详解】

因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的渐近线方程为y=±fχ,

又因为α=√∑∕=l,所以渐近线方程为y=±√∑x.

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度较易.双曲线的实轴长为2α,虚轴长为2。，若焦点在K轴上，则渐近线方程

为y=±2χ,若焦点在丁轴上，则渐近线方程为y=±fx；求解双曲线渐近线方程的另一种方法：直接将双曲线方

程中的1变为O,由此得到的χ,y关系式即为渐近线方程.

2,B

【解析】

类比得到在空间，点人到直线一,，s；,C二.0=O的距离公式,再求解•

【详解】

类比得到在空间，点-W:产直线，,+如+&+D=U的距离公式为

所以点21.2）到平面+1+2"I=O的距离为-_•

Ii=诙==巡

故选：B

【点睛】

本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

3、D

【解析】

分析：先还原正方体，将对应的字母标出，C。与AB所成角等于BE与AB所成角，在三角形ABE中，再利用余弦

定理求出此角的余弦值即可.

详解：

还原正方体，如图所示，设AO=I,

则AB=瓜AF=1,BE=2√2,AE=3,

CD与AB所成角等于BE与AB所成角，

余弦值为cosZABE=5.-9=叵,故选D.

2×√5×2√210

点睛：本题主要考查异面直线所成的角以及空间想象能力，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中

位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理

求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.

4、D

【解析】

由图象可知阴影部分对应的集合为AC(CUB),然后根据集合的基本运算求解即可.

【详解】

由Venn图可知阴影部分对应的集合为AC(CuB),

8={X∣%2N4}={X∣XN2或X?2},A={-2,-1,0,1,2,3),

.∖CuB={x∖-2<x<2},即Ac(QB)={—1,0,1},故选D.

【点睛】

本题主要考查集合的计算，利用图象确定集合关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

5、D

【解析】

分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.

详解：先排乙，有3种，再排甲，有3种，最后排剩余三人，有用种

因此共有3x3xA；=54,

选D.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题一一“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题

——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不

在”问题——“分类法”.

6、A

【解析】

根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象，可得答案.

【详解】

Vy=-x3-4x+l,Λy'=X1-A,

令y'=0得x=±2；当％∈（-2,2）时,y'<（）,即函数在（一2,2）内单调递减，

可排除B,D；又x=2时，y<Q,排除C,故选A.

【点睛】

本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题.

7,A

【解析】

逐一假设成立，分析，可推出。

【详解】

若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，则乙、丙都说的

对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.故选A.

【点睛】

本题考查合情推理，属于基础题。

8、A

【解析】

分析：全称命题的否定是特称命题，直接写出结果即可.

详解：T全称命题的否定是特称命题，

二命题"VχG[-2,+∞）,x+3≥l”的否定是mxo∈[-2,+∞）,x0+3<l,

故选：A.

点睛：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的关系，基本知识的考查，注意命题的否定与否命题的区别.命题

的否定是既否结论，又否条件；否命题是只否结论.

9、B

【解析】

解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，

由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，

叫=*畤嘿

故选B.

10、B

【解析】

根据P©≥D=i-PC=o),可以求出〃的值，利用二项分布的方差公式直接求出。占的值.

【详解】

]o1122

解：尸C≥l)=l-PC=0)=l-C(l-p)3=U,解得〃=,,.∙.DJ=3XWXW=Q,故选B.

【点睛】

本题考查了二项分布的方差公式，考查了数学运算能力.

11、B

【解析】

分析：求出函数的导数，通过导数判定函数的单调性，从而得到。的取值范围

详解：令F(X)=O,/nr-双?=0

Inx

则rllQ=——,

X

ʌ(、Inx/八、“、X-2xlnxʌ

令g(x)=算，(χ>0),g(χ)=-—=O

x=yfe

8(同在(0，〃)单调增，在[五+8)单调减

g(χ),,jg(G)W

∙∙∙α的取值范围为(0,

故选3

点睛：本题主要考查的是函数的零点问题，解决问题的关键是导数判断函数的单调性，然后通过数形结合的方法得到

关于"的范围

12、C

【解析】

试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有21人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为1.24,1.16,

所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为1.36,所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人,

第三组中有疗效的有12人.

考点：频率分布直方图

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

^√2√2^

13、—-

42

【解析】

用极限法思考.当直线CO_L平面α时，S(X)有最小值,当直线C。//平面α时，S(X)有最大值,这样就可以求出函数

S(X)的取值范围.

【详解】

取AB的中点M,连接CM,DM,DA=DB,CA=CB,:.AB±CM,AB±DM,于是有

ABL平面CZW,所以ABLCD,A8=0,其余的棱长均为1,所以

FyI

.∙.ACJ.SC,CM=DM=JCM_LDM,"到CO的距离为一,

22

当直线平面时,有最小值,最小值为：

Cr)_LαS(x)iχ√2×∣=^s

当直线CD//平面α时，S(X)有最大值,最大值为1×√2×1=^

故答案为:

【点睛】

本题考查了棱锥的几何性质,考查了线面垂直的判定与应用,考查了空间想象能力.

14、9+4√2

【解析】

因为/'(x)=2-cosx>0"(-x)=-2x+sinx=-∕(x),所以函数/(x)为单调递增奇函数，因此由

/(α)+∕(2Z?—1)=0,得/(«)=-/(2^-1)=f(∖-2b).∙.a=∖-2b,a+2b=∖,

因此±1+4；=(1L4+±)(α+2")=9+2'b+4丝a≥9+2=9+4√Σ,当且仅当。=√5α时取等号.

ababab

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中

字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

15、15

【解析】

试题分析：展开式的通项公式为二二-一二二I二；二♦二，令1二.匚=•,常数项为一「二匚二？

考点：二项式定理

16、arccos—

14

【解析】

设锐二面角的大小为9,利用空间向量法求出CoSe的值，从而可求出。的值.

【详解】

∣(1,2,3)∙Q2,3,T)I1

设锐二面角的大小为。，贝!JCOS8=

22222214

Λ∕1+2+3×A∕(-2)+3+(-1)，

.,.=arccosɪ,故答案为arccos'.

1414

【点睛】

本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)4(2)(0,l]u[4,+∞)

【解析】

分析：⑴利用绝对值三角不等式求函数/(x)的最大值.(2)先求“XL、=5-。，再解不等式5-。4；即得实数4

的取值范围.

详解：(1)当α=l时，/(%)=∣x+2∣-∣%-3∣-l,

由∣x÷2∣-1X—3∣≤∣(x÷2)_(x-3)|—59

故/(x)≤4,

所以，当x≥3时，/(%)取得最大值，且为4.

44

(2)∕G)≤,对任意XER恒成立，即为/(力…=5-α≤',

a>Oa>O

即〈?即有《i,

a~-5α+4≥0∖a≥4^lia≤1

即为〃≥4或0<。<1,

所以。的取值范围是(O,1]D[4,+8).

点睛：(1)本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能

力∙(2)重要绝对值不等式：IIaH同4。—444+瓦使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左

边还是右边，如果两个绝对值中间是号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的

“土”号，不管是“+”还是“，总之要使中间是常数.

18、(1)ɪ-;(2)B=y,/(A)∈^-1,∙^.

【解析】

JT1

试题分析：(1)根据三角恒等变换的公式，得/(x)=sin(2wx-J)—；,根据周期，得W=1,即

62

jr1Λ-TΓ

/(%)=sin(2x即可求解/(5)的值；

(2)根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简(2a-c)cos3=Z?cosC,可得COSB=；,可得8=?,进而求得

Sinl—g,l],即可求解/(A)的取值范围.

试题解析:

(1)•：/(x)=λ∕3sin(æ÷69x)sinfI-COS2(^X=λ∕3sin69XCOS69X-COS269X

=sin269%-ɪCOS269X-ɪ=sin^^ɪ-ɪj-ɪ,由函数f(%)的最小正周期为T=%，即［卫=开，得0=1,

(2)V(-c)CosB=bcosC,J由正弦定理可得(2SinA-SinC)CoSB=SinBCoSC,

：•2sinAcosB=SinBcosC+CosBsinC=sin(B+C)=sinA.VsinA>O,:∙CoSB=；.VB∈(θ,^∙),

β=y.'：A+C=π-B=^π,ΛΛ∈^O,∙∣Λ∙^,Λ2Λ-^∈,Λsin^2A-^∈

19、(1)2,3,1

Q

(2)分布列见解析，EX=∣

【解析】

(1)X的所有可能取的值是2,3,4.

(2)设Aj表示事件“参加科目A的第i(i=l,2)次考试的成绩为合格”，Bi表示事件“参加科目B的第i(i=l,2)次

考试的成绩为合格”，且A,∙,B,相互独立(i=l,2),利用相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望即可得出

结果.

【详解】

解：(1)X的所有可能取的值是2,3,1.

(2)设Aj表示事件“参加科目A的第i(i=l,2)次考试的成绩为合格”，用表示事件“参加科目5的第i(i=l,

2i

次考试的成绩为合格”，且

2)A,∙,及相互独立(i=l,2),那么P(A)=P(4)=q，P(B1)=P(B2)=-.

224

-×-=-

P(Xɪ2)≈P(A)P(B1)+P(A)P(A)339

P(X=3)=P(A)P(A2)P(A)+P(A)P(B∣)P(B2)+P(A)P(βl)P(B2)

2212112114

=(JW)X

P(X=4)=P(A)P(A)P(β1)P(区)÷P(A)P(Λ)P(S,)P(B2)

=（1-3）＞＜3＞＜（1_2）＞＜2+（1_3）＞＜3＞＜（1_2）＞＜（1_2）＞＜2=9＞

的分布列为：

X231

44ɪ

P

999

4418

・•・EX=2X-+3X-+4X-=2.

9993

故X的数学期望为g.

【点睛】

本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

20、（l）α,=2M（"cN*）,2=号；（a）%〉？.

【解析】

分析：（1）利用S,,α”的关系，求解%；倒序相加求瓦。

4〃q,

（2）先用错位相减求，，分离参数k,使得人＞对于一切的∈恒成立，转化为求

一9〃+26)7；"N*

4〃%

（〃2_9〃+26）聋的最值。

详解：(1)〃=1,q=S∣=2"2-4=4

n+2n+n+

n≥2,aπ=S,-5,,-1=(2-4)-(2'-4)=2'

n+

n=1时满足上式，故an=2'(n∈2V*)

••∕W+∕(ι-^)=ι∙∙∙/(£)+/(F)=I

•・飞=〃。)+巾+/(讣+/〔一)+/⑴

包=〃1)+/(F)+/(一)++/(1)÷∕(O)

②

n4-1

，①+②，得2仇=〃+1.也=三-.

rt

(2)Vcn=aπ∙b,l,:.c„=(n+l)∙2

23,(

.∙.7；,=2-2'+3-2+4-2+...+(n+l)-2,①

2^,=2∙22+3∙23+4∙24+...+H∙2,,+(n+l)∙2π+l,②

①一②得―<=4+2?+23+...+2"-("+1)∙2"M

即7；=7∙2"+∣

要使得不等式MM—9〃+26)7；>4〃c“恒成立，

(M-»+26)1>。恒成立>(〃2_9几+26)7；对于一切的〃∈N恒成立，

,2(π+l)A/、2(π+l)/∣

h即π&>~~nΣ7，令g(〃)=-----^一∈N)，贝mUι

n--9n+26",√-9n+26V)

g(〃)=——=_______Z________2_2

366

(〃+1)--ll("+l)+36(zj+l)-ll+2∕5+l)∙∕τT

(〃+1)ψ(〃+1)

当且仅当〃=5时等号成立，故g(")gχ=2所以女>2为所求.

Sn=1

点睛：1、4=(0'p一定要注意，当n=l时要验证是否满足数列。

∣Λ-STnN2

2、等比乘等差结构的数列用错位相减。

3、数列中的恒成立问题与函数中的恒成立问题解法一致。

1234n

21、(1)S=-,S,=-,S=-,S=-,S,,=-~-(2)见解析

1233454n+1

【解析】

分析：ɑ)计算可求得E,S2,S3,S4,由此猜想S“的表达式；

(2)利用数学归纳法，先证明当〃=1时，等式成立，再假设当〃=时，等式成立，即

Illl1k

由+公T而+菽T+菽而TITT,去证明当〃=&+1时，等式也成立即可•

详解：

1234

(I)51=i52=∣,S3=^S4=-

猜想S”=-r

(ID①当〃=1时，左边=S]=,,右边=/一二」一二’,

2/1+11+12

猜想成立.

②假设当〃=々(％WN*)时猜想成立，即

Illl1k

1×22×33x44×5左χ(Z+l)k+∖w

Illl1IkI

1×22x33x44×5Zx(Z+l)(Λ+l)×(Λ+2)左+1(Z+l)x(Z+2)

^×(^+2)1_⅛2+2⅛+l_(⅛+l)2

-(⅛+l)×(½+2)(⅛+l)×(⅛+2)-(⅛+l)×(⅛+2)-(⅛+l)(⅛+2)

Z+1Z+1

^I+2^(⅛+l)+l,

所以，当〃=Z+1时猜想也成立.

根据①②可知，猜想对任何〃CN”都成立.

点睛：本题考查归纳推理的应用，着重考查数学归纳法，考查运算推理能力，属于中档题.

22、(1)∕7