高考数学解析几何-第17讲 蒙日圆及其应用

高考数学解析几何

第17讲蒙日圆及其应用

知识与方法

L椭圆的蒙日圆

椭圆C^+∖=l(α>b>O)的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆:/+V=

a2+b∖

【证明】

方法1:(1)当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为。时,设点P的坐标为(Xo,y°)(xo≠

fe

±α,且y()≠±b),因此设过点P的切线方程为y-%=∕c(x-x0)(≠θ)∙

住!+艺=1

由a2+b2ɪ得

y-y0=Mx-χ0)

22z22

2ka{kx0—y0)x+α(fcx0—y0)—ab—0

因为直线与椭圆相切,所以其判别式为0,得

222

(XQ-a)k-2x0y0k+%一〃=0(--a≠0)

因为部〃PB是这个关于k的一元二次方程的两个根,所以Ma∙kpB=⅜⅛.

%0-Q

2222

由此得∕⅛4∙kpB=-1<=>+y^=a÷进而可得/÷y=a+b.

⑵若两条切线中有一条斜率不存在时,可得点P的坐标是(±Q,b),或(±a,-b),满足/+y2=

a2+b2.

222

综上所述:交点P的轨迹是蒙日圆:产+y=a+b.

方法2：作变换x，=力，=今则椭圆变为单位圆C，:方+y21,

设原来两条切线P4PB斜率分别为心,七,自七=-1,变换后

QQQaQ4

k1=Ekl&=~^k2,k1k2=后AIA2=一庐

设变换后的坐标系中的动点P(XO/0),过P点直线，:y-yo=k(x-A⅛),

设变换后的坐标系中的动点P(%o,y°),过P点直线上y—y0=∕c(x-x0),

即上kx—y—(fcxθ—y)=0,原点至∣JE的距离d=∣叫；,∣=1，

222

即(A%。一y0)=k+1,化简得(贿-l)fc-2:XOyOk+羽一I=O

222

由韦达定理可得：k'1k'2=%=-化简得a?就+byl=a+b

由于在原坐标系中工=ax',y=by',

所以在原坐标系中,轨迹方程为/+y2=α2÷b2.

【注】双曲线W-A=l(α>h>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨跳是圆/+y2=

a2-b2(a>加抛物线y?=2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线X=-今

2.椭圆蒙日圆的性质

性质L过圆*2+y2=cι2+炉上的动点P作椭圆条+'=i(α>b>0)的两条切线P4、PB,

则241PB

性质2.设P为圆OM+/=苏+/上任一点,过点P作椭圆捺+5=1的两条切线,切点分别

为4、&延长P4、PB交圆。于两点C、D,则：

(1)C、0、D三点共线;

(2)CDHAB-,

22

zox..b..b

(3)k0p∙kco=--tk0p∙KAB=一/，

b2b2

^OA∙kpA=一层，*。8∙kpB=一9

(4)⅛oλ'koB=--J

22

性质3.过圆M+y=α+接上的动点P作椭圆5+《=l(a>b>0)的两条切线,。为原点,

则P。平分椭圆的切点弦AB.

注:由性质2中的∕⅛p∙kAB=一，不难得证.

典型例题

γ2

【例1］己知椭圆C:?+y2=1,P为圆/+y2=5上的一个动点,过P的切线于椭圆C相切于

48两点,与圆相交于。。两点,求证人8〃(?。.

【例2.］已知椭圆C:/+A=l(a>b>0)的一个焦点为(√9,0),离心率当

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动点P(XO,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.

【例3］给定椭圆。摄+真=l(α>ð>0),称圆心在原点。,半径为√ɑ2+炉的圆是椭圆C的

“准圆".若椭圆C的一木焦点为F(√Σ,O)淇短轴上的一个端点到F的距离为√1

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

⑵点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线h%交“准圆”于点MM

(1)证明：当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时」1I2;

(2)求证：线段MN的长为定值.

强化训练

1.已知圆Cχ2+y2=1,若直线y=kχ+2上存在点P,使得过点P与圆C相切的两切线互相垂

直,则实数k的取值范围是.

2.已知椭圆a+左=I(ɑ>b>0)的，直线Lmx+y-3m-2=0,若直线上存在点P,使得过

点P总能作前条互相垂直的切线,则实数m的取值范围是。

3.已知柏圆C:9+?=l/x+y=4,由动点M向椭圆引两条切线且，i，，2夹角为钝角,则

动点M到直线/的距离的取值范围是o

4.过椭圆W+y2=l(α>1)上一点P及坐标原点O作直线I与圆/+y2=cι2+ι交于48两

点.若存盘点P满足a2=∖PA∖■∖PB∖+1,则实数a的取值范围是.

5.已知圆O:X2+y2=34,椭圆C噎+W=1∙

(1)若点P在圆。上,线段OP的垂直隼分旗经过椭圆的右焦点,求点P的横坐标；

(2)现有如下真命题：

“过圆/+y2=52+32上任意一点Q(m,n)作椭圆弓+r=1的两条切线,则这两条切线垂

直"；

“过圆/+y2=42+72上任意一点Q(XTl)作椭圆盘+9=1的两条切线,则这两条切线垂

直据此,写出一般结论,并加以证明.

2

6.已知椭圆Cv:*+'?=l(m>1),若存在过点(1,2)且相互垂直的直线A,%,使得，ι,%,与椭圆

C均无公共点「则该椭圆离心率的取值范围是.

7.已知从圆C:/+y2=r2(r>0)上一点Q(O,r)作两条互相垂直的直线与椭圆τ:"+?=1

相切,同时圆C与直线+y-√5m-1=0交于4B两点,则MBl的最小值为()

A.2√3B.4C.4√3D,8

8.设椭圆9+3=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C,曲线C的两条切线PA、PB交于

点P,且与C分别切于4、B两点,求方•丽的最小值.

9.已知椭圆C:[+y2=1,M是圆M+V=3上的任意一点,M4MB分别与椭圆切于4a求4

40B面积的取值范围.

参考答案

【例11己知椭圆C:9+y2=ι,p为圆/+y2=$上的一个动点,过P的切线于椭圆C相切于

4B两点,与圆相交于C,D两点,求证:AB〃CD.

【解析】设AB与OP交于点M,

由性质2可知,M为4B中点.

由性质1可知/ZPB=90°,

所以MA=MB=MP.

由圆的性质可知,OP=OC=0D.

因此有ZjMM=/.APM=乙CPO=/.PCO,

所以4BHCD.

【例2】已知椭圆C:?+'=l(α>b>0)的一个焦点为(通,0),离心率9.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动点P(XO,y°)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.

【答案】(1斤+?=L(2*+y2=13.

【解析】⑴可知C=W=所以。=3,扭=一¢2=4,椭圆C的标准方程为I+：=

a394

1.

(2)解法1:构造同构式

设两切线为k，G，

①当21J.X轴或，1〃X轴时,对应，2〃久轴或，2Lx轴,可知P(±3,±2);

②当，1与X轴不垂直且不平行时,Xo≠±3,设，1的斜率为k,则k≠0/2的斜率为一也

，［的方程为y-%=fc(x-XO),联立"+y=1,得

222

(9k+4)X+18(y0—kx0)kx+9(y0—fcx0)-36=0

因为直线与朋圆相切,所以A=0,得

2222

9仇一kx0)k-(9k+4)[(y0-fcx0)-4]=0

整理得

24

(ɪo-9)fc-2x0y0k+yo-=O(I)

所以k和一是⑴的两个根,所以

∖kJXQ-9

整理得端+yo=13,其中Xo≠±3,

此时点P的轨迹方程为"+y2=13(X≠+3),

因为P(±3,±2)也满足上式,综上知：点P的轨迹方程为/+y2=13.

解法2：利用椭圆的光学性质

设椭圆的中心为。,&、尸2分别为椭圆的左右焦点,IFIF21=2√5,

椭圆的两条切线为P4、PB,

M、N分别为Fl关于P4、&关于PB的对称点.

由椭圆的光学性质知：Fz,4M及Fι,B,N分别三点共线，

由椭圆定义有:MF2=NF1=2a.

设FlM交直线P4于点Q,F2N交直线PB于点S,分别延长MF】、NF?交于点R

则。Q=IMF2=∣Λ∕F1=OS=a=3,OR=∣F1F2=C=瓜

在矩形PQRS中,由平面几何知识知:。。2+OR2=OQ2+OS2,

代入得OP?=OQ2+OS2-O/?2=9+9-5=13,

所以点P的轨道方程为/+y2=13

【例3］给定椭圆。塔+真=l(α>ð>0),称圆心在原点。,半径沏户口庐的圆是椭圆C的

“准圆”.若椭圆C的一木焦点为F(√Σ,0),其短轴上的一个端点到F的距离为百.

⑴求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

⑵点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线九％交“准圆”于点MM

(1)证明：当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时』11Z2;

(2)求证：线段MN的长为定值.

【答案】(l)∕+y2=4；(2)见解析

【解析】⑴根据题意C=√2,α=倔所以b=1.所以椭圆的方程9+y2=1,“准圆”方程为

X2+y2=4.

⑵①“准圆"f+y2=4与>轴正半轴的交点为P(0,2),

设过点P。2)且与椭圆相切的直线为y=H+2,

y-kx+2

由<X2-).得(l+3^)f+i2依+9=0.

—+y^=1

13•

因为直线y=自+2与椭圆相切,所以A=144炉-4X90+322)=O,解得％=±1.

所以4，/2的方程分别为丁=》+2/=一1+2.因为底-4=—1,所以4_1£

②当直线4,4中有一条斜率不存在时，设直线4斜率不存在,则《：X=±6.

当时，4与“准圆”交于点(6,1),(石,-1),此时，2为y=l(或y=-l),显然

直线4,4垂直;同理当4：%=—G时，直线4,乙垂直.

当IJ斜率存在时,设点P(天),为)，其中片+乂=4.

设经过点P（AO,%）与椭圆相切的直线为y=f（尤-x。）+%，

y=Gf）+%

⅛√得:(1+3产+6∕(y0-r%0)x+3(y0-tt0)^-3=0,

.T

由△=（）化简整理得：（3-片y+2/卬+1—y：=0.

因为片+y；=4,所以（3-君）产+2x（W+（片-3）=0.

设44的斜率分别为4也,因为4,4与椭圆相切,

所以乙也满足（3-W+2Λ0Nof+（x；_3）=0.

所以=一1,即4,4垂直•结合①，

因为∕1,12经过点P（Aυ,%）,又分别交其“准圆”于点M,N,旦垂直•

所以线段MN为“准I员I"%2+/=4的直径,IMNI=4为定值.

强化训练

L已知圆C:/+y2=1,若直线y=依+2上存在点P,使得过点P与圆C相切的两切线互相垂

直,则实数k的取值范围是.

【答案】（一8,-l]U[l,+8）.

【解析】∖OP∖2=I2+I2=2,圆的蒙日圆为/+V=2（可将圆看成α,b相等的椭圆）

由题意可知,直线y=kx+2与圆/+y?=2有公共点，

故Vz：+i（得k≥1或k≤—1.

2.已知椭圆盘+g=l（α>h>0）的，直线2:mx+y-3m-2=0,若直线上存在点P,使得过

点P总能作两条互相垂直的切线,则实数nι的取值范围是______。

【答案】-∙^∙<m≤0

【解析】椭圆的蒙日圆为尤2+y2=%所有满足条件的点都在蒙日圆上,由题意可知,直线(与

圆有公共点,由≤2得≤m≤0.

√m2+l5

3.已知柏圆C:9+?=l/x+y=4,由动点M向椭圆引两条切线∣ι,2,且，1，%夹角为钝角,则

动点M到直线I的距离的取值范围是o

【答案】［2√Σ—√7,2√Σ+√7］

【解析】椭圆的蒙日圆为一+y2=7,当M在蒙日圆内部时,由M向椭圆引两条切线，i/2,则

A,%夹角为钝角,故M所在区域为图中阴影部分,由图可知,当M分别在4B时,M到直线/的距

离分别取得最大值和最小值,而4B到直线I的距离分别为2鱼+√7W2√2-√7,故所求范围

是［2√Σ-√7,2或+√7］

注:从这个题的思路可以看出，当我们拿筷子的手在蒙日圆内部时，筷子的夹角是钝角,手在

蒙日圆的外面时,筷子的夹角是锐角,而蒙日圆,就是两种角的分界线了.

4.过椭圆京+y2=l(a>1)上一点P及坐标原点。作直线，与圆/+y2=a2+1交于A,B两

点.若存滂一点P满足。2=∖PA∖-∖PB∖+1,则实数ɑ的取值范围是.

【答案】［√Σ,+8)

【解析】an=∖PA∖■∖PB∖+1=(√α2+1-∣OP∣)(√a2+l+∣OP∣)+1=a?+2-|PP『,故

∖OP∖=√Σ,又∣OP∣4a,故a≥症,故所求a的取值范围是［√I+8).

(1)若点P在圆。上,线段OP的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点P的横坐标;

(2)现有如下真命题:

“过圆/+y2=52+32上任意一点Q(m,n)作椭圆弓+'=1的两条切线,则这两条切线垂

直"；

“过圆/+y2=42+72上任意一点Q(S)作椭圆盘+3=1的两条切线,则这两条切线垂

直据此,写出一般结论,并加以证明.

【答案】(1斤;(2)见解析.

【解析】⑴设点P(XO，%)，则诏+羽=34,(1)椭圆C9+?=l的右焦点尸(4,0),

因为点F在线段OP的垂直平分线上,所以IP用=∖OF∖,

2

所以(出-4)2+(y0-O)=42,所以据-8x0+yo=0(2)

由(1),(2),解得与=9,所以点P的横坐标为?

"过圆χ2+y2=02+匕2上任意一点Q(jn,n)作椭圆S+g=1的两条切线,则这两条切线互

相垂直."证明如下：

⑴当过点Q与椭圆2+3=1相切的一条切线的斜率不存在时,此时切线方程为％=±α,

因为点Q在圆/+y2=a2+炉上,所以Q(±α,±b),

所以直线y=±b恰好为过点Q与椭圆捻+，=1相切的另一条切线,所以两切线互相垂直.

(ii)当过点Q(m,n)与椭圆盘+，=1相切的切线的斜率存在时，

可设切线方程为y—几=fc(x—zπ),

%2y2

a2^i^b2~L得∕j2χ2+a2[k(x—m)+n]2—a2b2=0,

{y—n=k(x—m)

22222222

整理得S?+ak)x+2ak(n-km)X+α(n-km)-ab=0,因为直线与椭圆相切，

所以A=4α4∕c2(n-km')2—4(〃+α2∕c2)[α2(∏-km)2—a2b2]=O

整理得(m?-a2)fc2-2mnk+(n2-b2)=0,所以的心=

所以自七=-L所以两切线互相垂直，

综上所述,命题成立.

6.已知椭圆C：5+y2=l(m>1),若存在过点(1,2)且相互垂直的直线使得，ι,%,与椭圆

C均无公共点「则该椭圆离心率的取值范围是_____.

【答案】(0,?).

【解析】椭圆C：j+y2=l(m>1),

显然4,4中一条斜率不存在和另一条斜率为O时,两直线与椭圆相交；

可设4:y-2=Z(x—1),即y=奴+2-h

联立椭圆方程可得(I+〃成2)f+2km(2—k)x+m(2—k)2—m=。,

由宜线和椭圆无交点,可得△=4k2m2(2-k)2-4(l+mk2)[皿2-Zr)2-m]<O.

化为-1)r+公一3<0,解得:2-5手<k<-2+而下

m-∖777-1

由两直线垂直的条件,可将k换为-

k

m—1Λ

即有「------3<0,化为3公+4左一根+1>0,

kk

,-2+>∣3m+1,-2-ʌ/ɜzn+1

解得k>——ɪ-------或k<——三------.

33

LaK⅛.-T*,-2+∖∣3m+1—2+ʤm+1

由题意可得------------<-------------,m>l1,

3777-1

化为8-2/n<(4-m)+1,由于m〉1时,√3m+l>2,UI得1<<4；

同样,由一‘鲁：＜一27：m+:解得1VrnV4则e=:=Jl一.=Jl-*∈(θ^~)

故答案为:(θW)

7.已知从圆C:/+y2=r2ζr＞0)上一点Q(O,r)作两条互相垂直的直线与椭圆伫三十一=1

相切,同时圆C与直线kmx+y-√5m-l=0交于4B两点,则IABl的最小值为()

A.2√3B.4C.4√3D.8

【答案】C

【解析】设其中条切线的斜率为k,则另一条切线的斜率为-a故切线方程分别为y=kχ+

r9

1

y=——X+r,

k

将y=fcx+r与椭圆方程联立可得/+3(fcx+r)2(∕cx+r)2-12=0,

2222222

整理得(1+3k)x+6krx+3r-12=0,则∆1=36kr—4(1+3fc)(3r—12)=0

①，

同理将y=-"+r与椭圆方程联立并整理可得(1+5)--色+3/—12=0

则A2=誓-4(1+高)(3/_12)=0②,

由①②联立可得,k=±l,r=4,

故圆C的方程为/+y2=16,

注意到直线/:nix+y-√3m-1=0过定点P(√5,1),故要使依8|最小,则PC1AB.

又IPCl=J(√3)2+1=2,故此时∣4Bl=2√16-4=4√3.

故选：c.

8.设椭圆＜+t=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C,曲线C的两条切线P4、PB交于

点P,且与C分别切于4、B两点,求可•丽的最小值.

【答案】9(2√2-3)

【解析】设两切线为％%，

①当2i1X轴或，1IlX轴时,对应，2IlX轴或％1X轴,可知P(±Z,±2);

②当A与X轴不垂直且不平行时≠±而,设11的斜率为k,则k≠0,6的斜率为一1人的方程

为y-yo=Mx-χo),联立!+1=1，

04

2y2

得((5-+4)X+10(y0-kx0)kx+5(y0-kx0)-20=0

因为直线与椭圆相切,所以A=0,得

2222

5(y0-fc⅞)⅛-(5k+4)[(y0-fcx0)-4]=0

22

所以-2Ok+4[(y0—ICXQ)-4]=0

所以(诏—5)fc2-2XOyok+yθ-4=0

2

所以k是方程(%o-5)x-2x0y0x+诏-4=0的一个根,

2

同理一(是方程(以-5)x-2x0y0x+九-4=0的另一个根,

当~2得诏+Vo=9,其中X≠±√5

所以

k∙(DXn—5

所以点P的轨迹方程为/+y2=9(X≠±√5)

因为