辽宁省锦州市2023届高三一模数学试题(含答案)

2023年锦州市普通高中高三质量检测

数学

注意事项：

L本试卷考试时间为120分钟，满分150分.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超

出答题区域或写在本试卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1,若集合M={x∣2x-χ2>0,χ∈R},N={y∣y=2x-χ2,χe7?},则MCN=（）

A.(-oo,θ)B.(θ,l]C.(-(χ∖0)D(2,+8)D.(0,2)

z+1

2.已知复数Z满足——=i,则Z=()

z—1

A.l+iB.l-iC.iD.-i

3.在.ABC中，点。在边A3上且CD平分/AC6.若C8=α,C4=b,∣α∣=3,∣0∣=4,则CO=()

43,34,

A.-a+-bB.-a+-b

5555

43,34,

C.-ciH—bD.-a+-b

7777

4.如图，用K,A”&三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且4,4至少有一个正常工作时，系统

122

正常工作，已知K，A，4正常工作的概率依次是万,则在系统正常工作的前提下，只有K和A正常工

作的概率是（）

5.如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辑组成，厚度为α（单位：mm）的带钢从一端输入，经过

各对车辑逐步减薄后输出，厚度变为万（单位：mm）.若α=10,∕7=5,每对轧辐的减薄率「不超过4%,

则冷轧机至少需要安装轧辐的对数为（）（一对轧辐减薄率

QC-β

r=ɪɪ×100%,lg2=0.3010,lg3=0.4771）

a

6.已知正方体ABCO—AUGA的棱长为4,P,Q是棱。。的两个三等分点，则四面体PQBC的体积为

()

8321616

A.-B.—C.—D.—

3993

7.已知函数/(X)=Sin5+cos5(<υ>0),若叫G-7看使得/(x)的图像在点(XOJ(XO))处的切线

与X轴平行，则0的最小值是()

33

A.—B.1C.-D.2

42

8.已知实数x,y,z满足/InX=y/且e：lnL=Zel(其中e是自然对数的底数)，若y>l,则()

X

A.x>y>zB.x>z>y

c.y>z>xD.y>χ>z

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知我市某次考试高三数学成绩X~N(80,36),从全市所有高三学生中随机抽取6名学生，成绩不少于

80分的人数为丫，则()

A.P(X≥80)=-B.----^服从标准正态分布

236

c.r>(y)=3D.P(Y>3)=色

10.如果有限数列｛。“｝满足q=41+1(，=1,2,,〃)，则称其为“对称数列”，设也｝是项数为

2上—1(%∈N*)的"对称数列”，其中4,4+,,打J是首项为50,公差为4的等差数列，则()

A.若左=10,则2=10

B.若Z=I0,则也｝所有项的和为590

C当左=13时，｛〃,｝所有项的和最大

D.｛2｝所有项的和可能为O

11.已知函数/(x)是定义在R上的可导函数,当尤≥0时,f∖x)>f'[-x),若g(x)=∕(x)+∕(T)且对

任意XGɪ,l,不等式g(ox+l)≤g(x-2)成立，则实数”的取值可以是()

A.-lB.0C.lD.2

12.已知抛物线C：V=4x的焦点为/，准线为/,过点尸且斜率大于O的直线交抛物线C于AB两点(其

中A在B的上方)，。为坐标原点，过线段AB的中点M且与X轴平行的直线依次交直线OAOB,/于点

P,Q,N,则()

A.若IA月=2∣F8∣,则直线AB的斜率为2J5

B.∖PM∖=∖NQ∖

C若P,Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为2J5

D.若RQ不是线段MN的三等分点，则|尸。>|0。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.写出过点P(2,4)且与圆C:(x—I)?+(y—2)2=1相切的一条直线的方程.

14.(2+0¥)5(<^0)的展开式中含苫的项与含》2的项系数相等，则α=.

15.椭圆C：土+目=1的离心率为交,《，为分别为C的左、右焦点，若A，8是C上X轴上方的两点且

a22

NBEA=^FtAF2=90,则½-⅛=.

16.在cQ4B中，=AB=4,/。AB=I20,若空间点P满足SPAB=(S(M,则OP的最小值为

；直线OP与平面OAB所成角的正切的最大值是.(第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步操.

17.(本题满分10分)

已知数列⅛｝和也｝满足凡+d=2〃-1,数列｛4｝,⅛｝的前n项和分别记作A,,B,l,且An-Bn=n.

(1)求A,,和纥；

⑵设G=2'+ɪ,求数列｛ς,｝的前n项和S1,.

18.(本题满分12分)

今年以来，人们的出行需求持续释放，各种旅游项目态势火爆，旅游预订人数也开始增多.某调查组对400名

不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客进行了预订，这200名游客中各年龄段所占百分比如

图所示：

315岁乂19-25岁

⅛27%∕∖38%I

∖Z⅜~35ʌ/

×^2⅜

年龄在19-35岁的人群称为青年人群，已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的青年游客概率为

3

16'

(1)请将下列2x2列联表补充完整，并判断能否在犯错误概率不超过0∙001的前提下，认为旅游预订与是

否为青年有关；

预定旅游不预定旅游合计

青年

非青年

合计

(2)按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人中至少有2人

是青年人的概率.

2

―“2n(ad-be)一,

附：①K=7----------------———,其中〃=α+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

②

P(K2≥M0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(本题满分12分)

已知&ABC的内角A3,C的对边分别为a,b,c,5(a+C)SinB=12csinA.

(1)若α=c,求COSA的值；

(2)是否存在以B为直角顶点的放.ABC?若存在，求出”的值；若不存在，请说明理由.

20.(本题满分12分)

如图一，UABC是等边三角形，CO为AB边上的高线，E分别是CACB边上的点,

AD=BE=^AC=2i如图二，将-CDE沿Z）E翻折，使点C到点尸的位置，Po=3.

（1）求证：OPL平面ABEr）；

（2）求二面角B—PE—尸的正弦值.

21.（本题满分12分）

22

已知双曲线。：三一与=1（。>0/>0）的离心率为38,左、右焦点分别为《，居，点P坐标为（3,1）,且

a2h2

PFiPF2=6.

（1）求双曲线。的方程:

⑵过点P的动直线，与。的左、右两支分别交于两点Aa若点M在线段.上，满足IA晟Pl二I局BPI,

证明：M在定直线上.

22.（本题满分12分）

己知函数g(x)=X-SinX,xe[θ,+oo),∕z(x)=e*-依一LXWR,/(x)=e"i∙cosx,

（!）证明：g（χ）≥O;

（2）若MX）NO恒成立，求Z的取值范围；

（3）设α>0,证明：函数/（x）存在唯一的极大值点且/（χo）>e-∙

2023年锦州市普通高中高三质量检测数学

（参考答案及评分标准）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1-8BDCCDBAD

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O分.

9.AD10.BC11.AB12.ABC

≡,填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.x=2(或3x-4y+10=0)注：写一条直线方程即可，如果写两个方程，都正确得5分，有错误的得0分.

n

14.115.316.√3,旺(第一空2分，第二空3分)

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

解：⑴因为%+2=2〃-1,所以(α,H∣+2+J-(q,+2)=2,

所以数列｛α,,+4｝是首项为1,公差为2的等差数列，即。“+2=2〃-1,

所以其前〃项和A,+纥=〃2

又因为4一纥=〃所以A=-^~~L,B〃=—~~-

,,n(n-∖∖(n-l)(n,

(2)当〃≥2时，b=B-Bn,ɪ-ʌ——ʌ-ʌ——^二九一1.

nnn-\22

%=q=。也适合，所以

所以ς,=2''+∕=2"τ+

π(n+l)nπ+l

1-11-111

所以S“=0+2+2?++2"T)++++------------

223n〃+1

12

j×(-")lr110ɪ

1-2(H+1)n+1

18.(本题满分12分)

解：(1)200名有预订的游客中，青年游客人数为200x(38%+22%)=120,

3

200名不预订的游客中，青年游客人数为400乂工=75,

可知2x2列联表如下

预订旅游不预订旅游合计

青年12075195

非青年80125205

合计200200400

400(120×125-80×75)2

K2≈20.263>10.828

200x200×195×205

所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与是否青年有关.

(2)按分层抽样，从预定游客中选取5人，

其中青年游客的人数为5x^⅛=3人，其他游客2人，

所以从5人中任取3人，其中至少有2人是青年人的概率为

c；c；+Cn

C；10,

19.(本题满分12分)

解：(1)(法一)因为5(α+c)sinB=12csinA,所以由正弦定理，得5(α+c)8=12αc

又因为α=c,所以IOM=124c,即。=∙∣c.

(法二)因为α=c所以4=。

又5(α+c)siπβ=12csinA

所以IOcsiaB=12CSinA,即5sinB=6sinA.

所以5sin-2A)=6sinA即5sin2A=6sinA所以1OsinAcosA=6sinA

3

因为SinAW0,所以CoSA=

(2)不存在以B为直角顶点的直角三角形.

理由如下：

因为5(α+c)sinB=12csinA,

由正弦定理，W5(sinA÷sinC)sinB=12sinAsinC

71

若3=—，则siaB=1,且sinC=COSA,

2

所以sinA+CosA=—SinAcosA=—sin2A

36，

将上式两边平方得：l+sin2A=-sin22A

25

所以(9sin2A+5)(4sin2A-5)=0.

因为0<sin2A<l,所以9sin2A+5>(),且4sin2A—5<(),

故不存在满足条件的三角形.

20.(本题满分12分)

解：(1)因为二ABC为等边三角形，AD=BE=-AC,DE//AB,

3

图一图二

C。为AB边上的高线，所以。OEPP,又OFCPF=F,

所以。EJ_平面/。~.

因为OPU平面R9P,所以OE_LoP.

在右尸。P中，OF=瓜OP=3,PF=26，所以。尸？+。。？=pp2,

所以OPLOF,.

而DE⊂平面ABEDQFU平面ABED,OFCDE=F,

所以OPJ_平面A5ED∙.

(2)分别以0£。3,0P方向为％XZ轴正方向建立空间直角坐标系，

则P(0,0,3),8(0,3,0),七(6,2,0),尸(6,0,0卜

则PE=(G,2,-3),防=(6,-1,0),∕=(0,—2,0).

设平面BPE的法向量勺=(XI,*,z∣),平面PEE的法向量%=(毛，)’2，Z2)，则

∕21∙PE-ʌ/ɜɪ,+2γ1-3zl=0n2.PE-∖∣3X2+2%-3z2=0

,且

ι∖∙BE=VJx-y∣=0

1n2∙EF=-2y2=0

解得平面BPE的一个法向量Wl=(1,√3,√3),

平面尸砂的一个法向量%=(百,o,ι),

∣πι∙π2∣_2√3_

设二面角B-FE—尸大小为6，则ICoSq=

∣π1∣∙∣n2∣77x2不

所以Sine=JI-CoS沼=2a

7

21.(本题满分12分)

2√32

解：⑴设内阊=2c(c>0),因为双曲线。的离心率为eC

设α=>∕3/,c=2/,Z>0,

所以耳(―2r,0)，E(2f,0),P*=(—2f—3,—1),PB=⑵-3,—1),

所以「E∙PH=(—2好3)(2/-3)+1=6,解得E=I或-1(舍),

2

所以双曲线C的方程为r三-丁=]

3

(2)设A(X,y),B(x2,%),∕h-l=M∙x-3/∣]y=fcc+i-3l%H±J,

’2=；：f，可得(1—3左2)f—6人(1—3女)x—3(2—6^+9%2)=0,

由,

6⅛(1-3A:)-3(2-6%+9r)

所以X+χ

√V∣Iʌɔ,x∣x=

∖-3k12l-3⅛2

设Λ∕(%,%),根据题意，xl<x0<X2<3,

M=幽，可得"

又由

-

∖AM∖∖BM∖X0-X1X2⅞

整理得：

6x0+2xlx2=(¾+3)(ΛI+x2)-

U与针=(E*L

化简得玉)-2=5-3Z

又％=履0+1—3%,消去Z,得%-%-1=0，

所以点M在定直线％一了一1=0上.

22.(本题满分12分)

(1)证明：g'(x)=l-cosx≥0,所以g(x)是[0,+8)上的增函数，

所以g(x)≥g(0)=0

⑵解：Λ,(x)=ev-k,

当