2024届新高考数学一轮复习配套练习 空间几何体的表面积和体积

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题8.2空间几何体的表面积

和体积

练基础

1.（2021•湖南高一期末）已知圆柱。01及其展开图如图所示，则其体积为（）

A.4B.2"C.3汽D.4万

2.（2021.宁夏大学附属中学高一月考）已知圆柱的上、下底面的中心分别为。,。'，过直线O。'的平面截该

圆柱所得的面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.12伝•B.12工C.&-!%D.10万

3.（2021•浙江高二期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

俯视图

4.（2021・辽宁高一期末）已知一平面截一球得到直径为2限m的圆面，球心到这个面的距离是辰m,则

该球的体积为（）cm，

A.127rB.36〃C.64A/6^D.108〃

5.（2020•浙江省高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该凡何体的体积（单位：c/）

是（）

33

6.（2018•全国高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的中心分别为02,过直线GO?的平面截该圆

柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.12夜兀B.12nC.8及兀D.lOn

7.（2020•江苏省高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的

底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm.

9.（2019•北京高考真题（文））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果

网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为

10.（2019•全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为

长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体

是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的

半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有

个面，其棱长为

1.（2021•浙江高一期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，

末广八尺，无深，袤七尺.问积几何?”这里的"羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面

体.在图1所示羡除中，AB//CD//EF,A3=10,C£>=8,EF=6,等腰梯形和等腰梯形A8EE的

高分别为7和3,且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直.按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”

的体积为（）

DD

图1

A.84B.66

2.（2021.河北巨鹿中学高一月考）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的

含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足

球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.己知

某蹴鞠（近似看作球体）的表面上有四个点S、A、B、C,满足S-ABC为正三棱锥，M是SC的中点，

且4W丄S8,侧棱SA=1,则该蹴鞠的表面积为（）

A.3万B.6万C.12%D.16%

3.【多选题】（2021•江苏高一期末）已知圆台上、下底面的圆心分别为半径为2,4,圆台的母

线与下地面所成角的正切值为3,尸为。Q上一点，则（）

A.圆台的母线长为6

B.当圆锥的圆锥PO,的体积相等时，PO,=4PO2

C.圆台的体积为56兀

D.当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为807t

4.（2020•全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积

为.

5.（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的

四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马"P-ABCD,PA丄底面ABC。，PA=AB=2,AD=1,则该'‘阳

马”的最长棱长等于_____；外接球表面积等于______.

6.（2020•山东省仿真联考3）在三棱锥产一ABC中，Q4丄平面ABC,ZBAC=—,AP=3,48=26，

3

。是5c上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为?，则BC=,三棱锥P-ABC

的外接球的表面积为.

7.（广东省汕尾市2020-2021学年高一下学期期末数学试题）已知某圆柱的轴截面是一个正方形，且该圆柱

表面积（底面和侧面面积之和）为S-其外接球的表面积为邑，则该圆柱的表面积与其外接球的表面积的

S.

比值寸=.

8.（2021.重庆中学高一月考）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为

在一正三棱柱中挖去一个圆柱后的剩余部分（圆柱的上下两底面圆与三棱柱的底面各边相切），圆柱底面直

径为2石cm,高为4cm.打印所用原料密度为lg/cm，,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

g.（取6=1.73,71=3.14,精确到0.1）.

9.（2021.上海髙二期末）五月五是端午，门插艾，香满堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古称“角黍”，是我国南

北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同，有一种各面都是正三角形的正四面体

形粽子，若该正四面体粽子的棱长为8cm,则现有1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子个.

10.（2021•浙江高二期末）在四面体A8CD中，AB1BC,CDA.BC,ABLCD,BC=2,若四面体ABC。

的外接球半径为右，则四面体A8CQ的体积的最大值为.

练真题

1.（2021•全国高考真题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.2。+12石B.28&C.?D.邛

2.（2020•天津高考真题）若棱长为2省的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.12万B.24万C.367rD.144万

3.（2021•全国高考真题（理））己如A,3,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC丄BC,AC=3C=1,

则三棱锥O-ABC的体积为（）

A.正B.亜C.—D.巫

121244

4.（2020•全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥,

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与

底面正方形的边长的比值为（）

AVs—1RVs-iry/5+1nV5+1

4242

5.（2018•全国高考真题（文））设A，B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，AA5C为等边三

角形且其面积为9百，则三棱锥O-ABC体积的最大值为（）

A.1273B.18若C.24月D.54百

6.（2019•全国高考真题（理））已知三棱锥人4%的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,比1是边长

为2的正三角形，E,夕分別是阳，48的中点，/诙90°,则球。的体积为（）

A.8anB.4m兀C.2應兀D.應it

专题8.2空间几何体的表面积和体积

练基础

1.（2021.湖南高一期末）已知圆柱。。及其展开图如图所示，则其体积为（)

【答案】D

【解析】

结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.

【详解】

亠，，，亠=4仇=4

设底面半径为，高为力，根据展开图得Lc，则｛，所以圆柱的体积为；rr%=;rxl2x4=4/r,

\17ir=271[r=1

故选：D.

2.（2021.宁夏大学附属屮学高一月考）已知圆柱的上、下底面的中心分别为。,。'，过直线。0'的平面截该

圆柱所得的面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.120丁B.12万C.8丘兀D.1（）万

【答案】B

【解析】

根据圆柱的轴截面面积求出圆柱的底面半径和母线长，利用圆柱的表面积公式，即可求解.

【详解】

设圆柱的轴截面的边长为x,

因为过直线。。'的平面截该圆柱所得的面是面积为8的正方形，所以1=8,解得x=2夜，

即圆柱的底面半径为r=&，母线长/=2嫗，

所以圆柱的表面积为S=2染+5恻=2乃，+2"=2万x（a）2+2万x&x2血=12万.

故选：B.

3.（2021•浙江高二期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

俯视图

【答案】D

【解析】

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积.

【详解】

解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为1的四棱锥体;

如图所示：

所以：V=1xlx（l+l）xlxl=l.

故选：D.

4.（2021•辽宁高一期末）已知一平面截一球得到直径为2限m的圆面，球心到这个面的距离是辰m,则

该球的体积为（）cm3

A.12TTB.36〃C.64"4D.108〃

【答案】B

【解析】

由球的截面性质求得球半径后可得体积.

【详解】

由题意截面圆半径为r=百，所以球半径为R=J（題尸+（"尸=3,

体积为V=3〃内=8万x3?=36乃.

33

故选：B.

5.（2020•浙江省高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cn?）

是（）

俯视图

714

A.—B.—C.3D.6

33

【答案】A

【解析】

由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，

且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1,

棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2,

所以几何体的体积为：

1（1C八，CCAC1C7

-x—x2x1x1+—x2x1x2=—F2=—.

312丿〔2）33

故选：A

6.（2018•全国高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的中心分别为。「。2,过直线0Q的平面截该

圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.12烏B.12TIC.8在兀D.1071

【答案】B

【解析】

根据题意，可得截面是边长为2夜的正方形，

结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是0的圆，且高为2也，

所以其表面积为S=2兀（历+2万•0•20=124，故选B.

7.（2020•江苏省高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的

底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是—cm.

【答案】12V3-J

2

【解析】

正六棱柱体积为6x4^x2?X2=12G

4

圆柱体积为1g）2-2=]

所求几何体体积为126-三

2

故答案为：1273--

2

9.（2019•北京高考真题（文））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果

网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.

'I）'（W网第,树（空「¥

一厂「I做困....................

..4..A.,.«..k.«.«.»•.*i.4.....

【答案】40.

【解析】

如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱MP'4一NQG4之后余下的

几何体，

几何体的体积V=43—g（2+4）x2x4=40.

10。（2019•全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为

长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体

是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的

半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有

个面，其棱长为.

图1图2

【答案】共26个面.棱长为我-1.

【解析】

由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18+8=26

个面.

如图，设该半正多面体的棱长为x，则43=3E=x,延长BC与FE交于点G,延长BC交正方体棱于H,

由半正多面体对称性可知，ABGE为等腰直角三角形，

BG=GE^CH=—x,G”=2x①x+x=（后+l）x=l,

22

]=0-1,即该半正多面体棱长为夜—1.

五+1

1.（2021•浙江高一期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺,

末广八尺，无深，袤七尺.问积几何?”这里的"羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面

体.在图1所示羡除中，AB//CD//EF,A3=10,C£>=8,EF=6,等腰梯形和等腰梯形A8EE的

高分别为7和3,且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直.按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”

的体积为（）

A.84B.66C.126D.105

【答案】A

【解析】

由图可知，中间部分为棱柱，两侧为两个全等的四棱锥，再由柱体和锥体的体积公式可求得结果.

【详解】

按照图2中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直角三角形，

两条直角边长分别为7、3,直三棱柱的高为6,

所以，直三棱柱的体积为K=gx7x3x6=63.

两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，

直角梯形的面积为S=（-2）x7=0,四棱锥的高为力=3,

22

121

所以，两个四棱锥的体积之和为匕=2x3x5x3=21,

因此，该“羡除”的体积为V=K+%=84.

故选：A.

2.（2021•河北巨鹿中学高一月考）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的

含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足

球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知

某蹴鞠（近似看作球体）的表面上有四个点S、A、B、C,满足S-ABC为正三棱锥，M是SC的中点，

且A/丄SB,侧棱SA=1,则该蹴鞠的表面积为（）

A.3万B.6nC.\1nD.16%

【答案】A

【解析】

TT

若N为BC中点、易得AM丄MN,再应用余弦定理、勾股定理求得。=彳，即S-ABC为直三棱

锥，即可求外接球半径，进而求表面积.

【详解】

如下图，若N为BC中点，则用N〃S8,又AM丄SB,

：.AM±MN,又S-ABC为正三棱锥且侧棱S4=l,

：.MN=-,AN=—AB,若ZAS3=6,则AM?=*-cos（9,4庁=2—2cos。，

224

33

在中，AM2+MN2=AN2,即5-856=7（2-2cos6»）,可得cos6=0,0<6〈开，

：.8=々,即S-ABC为直三棱锥，易得外接球半径R=3,

22

.,♦该蹴鞠的表面积为4万7?2=37.

故选：A

3.【多选题】（2021.江苏高一期末）已知圆台上、下底面的圆心分别为。0半径为2,4,圆台的母

线与下地面所成角的正切值为3,P为。O?上一点，则（）

A.圆台的母线长为6

B.当圆锥的P。圆锥尸。2的体积相等时，PO『g

C,圆台的体积为56兀

D.当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为80兀

【答案】BCD

【解析】

转化求解圆台的母线长判断Q;利用比例关系判断B；求解体积判断C；取得球的表面积判断D.

【详解】

解：圆台上、下底面的圆心分别为a，o2,半径为2,4,圆台的母线与下底面所成角的正切值为3,P为

上一点，

A=3X（4-2）=6,

母线/=2而，与圆台的母线长为6矛盾，所以A错误；

r,\PO,厶

一=3,五7二A牝B正确；

r22PO2

V=；x6x（4%+《4兀X16万+16兀）=56乃,C正确；

设球心到上底面的距离为X,则于+/=（6-x>+4。，解得x=4,r=2后,S=80万，D正确；

故选：BCD.

4.（2020•全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积

为.

【答案】工

3

【解析】

易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，

其中8C=2,A8=AC=3,且点M为比边上的中点，

设内切圆的圆心为O,

BMC

由十AM=V32—I2=2V2，故S4ABC=5X2X2V2=2V2»

设内切圆半径为r,则：

+S&Boc+=^xxr+5XBCX〃+5xACxr

=-x(3+3+2)xr=2>/2,

立

其

解得

体积V4

2=—7tr=—7t•

33

故答案为：——n.

3

5.（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的

四棱锥称为“阳马现有一"阳马”P-ABCD,PA丄底面ABC。，PA=AB=2,AD=\,则该“阳

马”的最长棱长等于；外接球表面积等于.

【答案】39兀

【解析】

如图，PA丄底面ABCD,底面ABCD为长方形，且卩4=A5=2，AD=\.

所以PB=2g,PD=下,pc=y/PA2+AB2+BC2=>/22+22+l2=3•

最长棱为：3.

13

该几何体可以通过补体得长方体，所以其外接球的半径为「PC==.

22

则其外接球的表面积为4乃=9兀,故答案为：3；9兀.

6.（2020•山东省仿真联考3）在三棱锥P—ABC中，PA丄平面ABC,/84。=二，AP=3,AB=2g,

3

。是8c上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为?，则BC=,三棱锥P-ABC

的外接球的表面积为.

【答案】6574

【解析】

设直线PQ与平面ABC所成的角为。，三棱锥P-A5C外接球的球心为0,半径为R,

如图所示，则0<sin6=以且，

PQPQ2

所以PQ22百，则PQ的最小值为26，AQ的最小值是J5,即点A到的距离为出，所以

71

乙BAQ".

因为/B4c=■

3

71

所以NCAQ=],

所以AB=AC=26，

所以8c2=AB2+AC2-2AB-AC-cosg=(2>/3)2+(2省产—2x2&x26=36,

所以8C=6.

「=丄x_____=2J

取.ABC的外接圆的圆心为O',则圆O'的半径一2.2兀-

sin

3

连接00'，作QW丄Q4于点M，

则点”为P4的中点，所以戸=Q42=op2=06)2+一=一，

(2丿4

故三棱锥P-ABC的外接球。的表面积S=4%/?2=57万.

故答案为：6；57%.

p

7,（广东省汕尾市2020-2021学年高一下学期期末数学试题）已知某圆柱的轴截面是一个正方形，且该圆柱

表面积（底面和侧面面积之和）为与,其外接球的表面积为S?,则该圆柱的表面积与其外接球的表面积的

S.

比值寸二.

【答案亠】43

【解析】

设圆柱的底面半径为r,高为〃，则/?=2r,上下底面圆圆心连线的中点即为该圆柱外接球的球心，可得外

接球的半径R=J77戸=应宀再由圆柱的表面积公式和球的表面积公式分别计算「、邑即可得比值.

【详解】

设圆柱的底面半径为r,高为人，

因为圆柱的轴截面是一个正方形，

所以/?=2r,

所以圆柱表面积5,=2兀,+2n/-h=2口2+2口.2r=6nr2,

其外接球的球心在上下底面圆圆心连线的中点位置，

可知球心到上底面圆的距离为:人=r,

由勾股定理可得：外接球的半径/?="工7=应r，

所以外接球的表面积S2=4兀*=4兀（后厂）=8兀/,

所以该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值m1,

S28兀产4

3

故答案为：.

8.（2021.重庆市中学高一月考）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为

在一正三棱柱中挖去一个圆柱后的剩余部分（圆柱的上下两底面圆与三棱柱的底面各边相切），圆柱底面直

径为26cm,高为4cm.打印所用原料密度为lg/cn?,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

S.（取百=1.73,71=3.14,精确到0.1）.

【答案】24.6

【解析】

由正三棱柱的性质，结合已知求其底面面积，再由棱柱的体积公式求其体积V,并求圆柱的体积为V',则

模型体积为V-V',即可求制作该模型所需原料的质量.

【详解】

由题意,正三棱柱底面（等边三角形）如上图有第=器且==AO=*4C,OE=e'

—f==—»则AC=6,故底面面积S='x6x6x立=9后,

6AC22

正三棱柱的体积V=S/?=973X4=366=62.3.

而圆柱的体积为V'=万/〃=[2]x37.7,

,制作该模型所需原料的质量为（V-V'）x1=24.6克.

故答案为：24.6

9.（2021•上海高二期末）五月五是端午，门插艾，香满堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古称“角黍”，是我国南

北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同，有一种各面都是正三角形的正四面体

形粽子，若该正四面体粽子的棱长为8cm,则现有1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子个.

【答案】16572

【解析】

根据题意，利用棱锥的体积公式求得正四面体粽子的体积，进而求得答案.

【详解】

如图所示，正四面体A8C。的棱长为8cm,设底面正三角形BCD的中心为

连接A。，则A0丄平面88,

连接8。，则80=gx必不=苧，所以40=/82-（苧>=半，

所以一个粽子的体积为：丄x8x8x3x见曰=幽2（。加），

32233

1000000，公…

-------i=-®16572.8

由1〃?3=100000053,又由128,2

3

所以1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子16572个.

故答案为：16572.

10.（2021•浙江高二期末）在四面体ABC。中，ABkBC,CD^BC,ABVCD,BC=2,若四面体ABC£>

的外接球半径为右，则四面体A8CD的体积的最大值为.

【答案w

【解析】

根据题意可以将此四面体放入一个长方体中，则易求四面体高与底面长的关系，再根据体积公式写出其体

积表达式，最后利用基本不等式即可.

【详解】

如图所示，不妨将四面体A5CO放入下图中的长方体中，则长方体的宽为2,设长方体的长为“，高为〃.

因为四面体A8CO的外接球半径为石，

所以此长方体外接球半径为逐,

则r=二+力=6，解得/+力2=]6,

2

所以四面体ABCQ的体积丫=；5加8工8=:〃〃＜：.《爱=g,当且仅当〃=〃=2五时等号成立，所以四

Q

面体ABCO的体积最大值为3.

故答案为:g

1.（2021•全国高考真题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）

A.20+12百B.28夜C.—D.当也

33

【答案】D

【解析】

由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.

【详解】

作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的高〃=j2?-（2夜=◎，

下底面面积S1=16,上底面面积邑=4,

所以该棱台的体积V=g/?（S1+S2+斥'）=gx&x（16+4+病)=丁血.

故选：D.

2.（2020•天津高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.127rB.247rC.36〃D.1444

【答案】C

【解析】

【分析】

求岀正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.

【详解】

这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半,

即“2可+（2可+（2可

IX.—=3'

2

所以，这个球的表面积为S=4»R2=4%x3?=36乃.

故选：C.

3.（2021.全国高考真题（理））已如A,8,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC丄BC,AC=BC=1,

则三棱锥O-ABC的体积为（)

7B,正D,走

124

【答案】A

並斤】

由题可得，ABC为等腰直角三角形，得出，43。外接圆的半径，则可求得。到平面ABC的距离，进而求得

体积.

【详解】

AC丄8C,AC=3C=1,.;4?C为等腰直角三角形，二/^二血，

则;A4C外接圆的半径为正，又球的半径为1,

2

设。到平面A8C的距离为",

2

贝d-

所以%-ABC=；SMc,d=；x；xlxlx£=卷.

故选：A.

4.（2020•全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与

底面正方形的边长的比值为（）

A石-1R\/5—1r>/5+1八6+1

4242

【答案】C

【解析】

如图，设CD=a,PE=b,则PO=近2—OE?=卜?,

由题意产。2=丄姉，^ib2--=-ab,化简得4（纟）-2丄—1=0,

242aa

解得纟=1±好（负值舍去）.

a4

故选：C.

E

8C

5.（2018•全国高考真题（文））设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，AABC为等边三

角形且其面积为96，则三棱锥ABC体积的最大值为（）

A.1273B.18>/3C.246D.54G

【答案】B

【解析】

如图所示，

•o

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当DM丄平面ABC时，三棱锥D-ABC体积最大

此时，OD=OB=R=4

SABC=?AB』也

二.AB=6,

,点M为三角形ABC的中心

/.BM=2BE=2百

3

-'RtOMB中,有OM=J。庁-=2

.-.DM=OD+OM=4+2=6

•••(V„.AfiC)nm=1x9V3x6=18^

故选B.

6.（2019•全国高考真题（理））已知三棱锥人/宽的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,是边长

为2的正三角形，E,尸分别是为，的中点，NQ户90°,则球。的体积为（）

A.8A/6TCB.4瓜兀C.2瓜兀D.V6TC

【答案】D

【解析】

解法一：PA=PB=PC,A45c为边长为2的等边三角形，ABC为正三棱锥，

：.PB±AC,又E,F分别为24、AB中点，

:.EF//PB,..EFLAC,又EF丄CE,CEAC=C,.•.瓦'丄平面外。，必丄平面P4C,

NAP8=90。,.♦.PA=P3=PC=0,ABC为正方体一部分，2R=丿2+2+2=坛即

R=^~,二V=3兀A21=纟万*£5=，故选D.

设P4=PB=PC=2JC,E,尸分别为PAA5中点，

：.EF//PB,且EF=1P8=x,AABC为边长为2的等边三角形,

2

:.CF=6又/CEF=90°...CE=13-d,AE=^PA=x

AAEC中余弦定理cosZEAC='+4-），作丄厶。于。，PA=PC,

2x2xx

An

iX2+4-3+X2_1

QO为AC中点，cosZEAC=——=—

PA2x4x2x

/.2X2+1=2AX2=-x=2,：.PA=PB=PC=日又AB=BC=Ag，:.PA,PB,PC两两

22

垂直，2R—丿2+2+2=>/6，：.R二——/.V=—TIR3=—Kx°a=V6K，故选D.

338

专题83空间点、直线、平面之间的位置关系

练基础

I■

1.（广东高考真题）若直线4和，2是异面直线，4在平面a内，,2在平面夕内，1是平面a与平面夕的交

线，则下列命题正确的是（）

A./与4,/2者B相交B./与乙，/2都不相交

C./至少与4，4中的一条相交D./至多与4,4中的一条相交

2.（2019•全国高考真题（理））设。，£为两个平面，则。〃£的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与B平行

B.。内有两条相交直线与£平行

C.。，力平行于同一条直线

D.a,£垂直于同一平面

3.（2020•武威第六中学高三其他（理））已知。，〃为两条不同直线，a,（3,7为三个不同平面，下列

命题：①若c〃6，ally,则耳〃人②若。〃a,all13,则c〃尸；③若a丄y,夕丄y,则。丄，；④

若a丄。，b±a,则。〃6.其中正确命题序号为（）

A.②③B.②③④C.①④D.①②③

4.（2021•嘉禾县第一中学高一月考•）若I,拼，〃是互不相同的直线，a,4是不重合的平面，则下列说法

正确的是（)

A.若M/力，lua,〃u£,则///〃

B.若a〃汽，lua,则/丄£

C.若/丄〃，〃2丄"，则〃/%

D.若/丄a,U/p,则c丄/?

5.（2019•北京高考真题（文））已知厶勿是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①/丄例②而〃a；③/丄a.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

6.（全国高考真题（文））已知正方体A6CO—AAG2中，E为G。的中点，则异面直线AE与BC所成

角的余弦值为.

7.（2021.石家庄市第十七中学高一月考）以下命题中：（1）若直线。，分和平面a满足：a//b,bua,那

么alia；

（2）若直线”和平面a平行，那么o与a内的任何直线平行；

（3）平行于同一条直线的两个平面平行；

（4）若直线a,6和平面a满足a/必，alia,则6〃a,正确的是.

8.（2021•重庆市第七中学校高一期中）如图，在圆锥S°中，AB、为底面圆的两条直径，AB交CD于

点。，且厶8丄8,P为跖的中点，SO=OB=2.

（1）求证：&V/平面PC。；

（2）求圆锥的表面积和体积.

9.（2021.江门市第二中学高二月考）如图，在长方体ABCO-AgGR中，AO=M=1,A8=2,点E在棱

AB的中点.

（1）证明：RE丄A。；

（2）求直线CE与A。所成角的大小.

10.（2021•揭阳第一中学高一期末）已知F4丄矩形ABCO所在的平面，且卩4=AQ,M、N分别为A3、

PC的中点.

求证：（1）MM/平面AOP；

（2）MN丄PC.

练提升

1.（2020•浙江高三开学考试）四面体A8CD中，A6=C£>=3,其余棱长均为4,E,尸分别为AB，CD

上的点（不含端点），则（）

A.不存在E,使得所丄C。

B.存在E,使得QE丄CQ

C.存在E,使得OE丄平面A8C

D.存在E,F,使得平面CDE丄平面A5E

2.【多选题】（2020.长沙市湖南师大第二附属中学有限公司月考）（多选题）如图1,点E为正方形ABCQ

边上异于点民C的动点，将AA5E沿AE翻折，得到如图2所示的四棱锥AECD,且平面84E丄

平面AECD，点/为线段B力上异于点仇。的动点，则在四棱锥8-A£CD中，下列说法正确的有（）

A.直线破与直线CQ必不在同一平面上

B.存在点£使得直线鸵丄平面。CE

C.存在点尸使得直线CE与平面84E平行

D.存在点E使得直线8E与直线CO垂直

3.【多选题】（2020•全国高三月考）（多选题）在四棱锥P-ABCD中，侧面Q4£＞丄平面ABC。，PD=AB，

四边形ABCQ是正方形，点E是棱依的中点，则（）

A.PD丄平面ABC。B.PD〃平面ACE

C.PB=2AED.PCLAE

4.（2019•浙江高考真题）设三棱锥V-MC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含

端点），记直线PB与直线AC所成角为。，直线PB与平面ABC所成角为£,二面角P-AC-B的平面

角为7,则（）

A.(3</B.P<a,f3<y

C./3<a,y<aD.a<P，y<P

5.（2021•齐齐哈尔市第八中学校高二期中（文））在直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=®，AB=AA,=2,

E是棱CG的中点.

(1)求证：AE1BC

(2)求点A到平面相E的距离.

6.(2021・石家庄市第十七中学高一月考)如图，在四棱锥O-A8C£＞中，底面A8CD是矩形，OM=2MA,

CN=2NB,OE=2ED.

(1)求证：MN"平面OCD.

(2)试问：在。。上是否存在一点尸，使5尸〃平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理

由.

7.(2021.嘉禾县第一中学高一月考)在①使三棱锥P-A8C体积取得最大值，②使洒.泥=3这两个条件

中任选一个，补充在下面问题中，并作答.

如图1,是边长为2的等边三角形，P是8c的中点，将以BP沿AP翻折形成图2中的三棱锥,

动点M在棱AC上.

(1)证明：平面P4C丄平面PWB；

(2)求直线MB与平面PAC所成角的正切值的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

8.(2021.河北巨鹿中学高一月考)如图(1),平面四边形ABOC中，NABC=N£)=90。，AB^BC=2,CD^l,

将，ABC沿BC边折起如图(2),使，点M,N分别为AC,中点.在题目横线上选择下述其中一

个条件，然后解答此题.①AD二币.②AC为四面体A