江西省部分学校2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷（含答案）

高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第二册第一章占70%，选择性必修第一册占30%。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等比数列中，，公比，则A． B． C．1 D．22．抛物线C：的准线方程为A． B． C． D．3．已知为等差数列的前n项和，若，，则公差A． B．1 C．2 D．34．以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为A． B．C． D．5．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．书中记载，有男、子、伯、侯、公从低到高五个级别的诸侯各1人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个（m为正整数），若按这种方法分橘子，则“侯”分得橘子数大于20且小于23的概率为A． B． C． D．6．已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，AP⊥平面ABCD，，，E为PB的中点，点F满足，则异面直线EF，CD所成角的余弦值为A． B． C． D．7．银行有一种叫做零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期可以取出全部本金与利息的和（简称本利和），这是整取．已知一年期的年利率为1.35%，规定每次存入的钱不计复利．若某人采取零存整取的方式，从今年1月开始，每月1日存入4000元，则到今年12月底的本利和为A．48027元 B．48351元 C．48574元 D．48744元8．已知等差数列满足，且，则的取值范围为A． B． C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．双曲线：（，）与：（，）的离心率分别为和，则下列结论正确的是A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等C．的最小值为D．10．在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得，依次进行下去，就形成了如图所示的图案．设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，……），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，……），则A． B．C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前n项和的取值范围为11．已知数列满足，，设的前n项和为，下列结论正确的是A．数列是等比数列 B．C． D．当时，数列是单调递减数列三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．已知直线：和：平行，则．13．已知数列的前n项和为，若，且，则，．14．已知数列的前n项和，满，若对任意的，关于x的不等式恒成立，则实数t的最小值为．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列的通项公式为．（1）求．（2）是不是该数列中的项？为什么？（3）在区间内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由．16．（15分）已知等差数列满足，．单调递增的等比数列满足，且，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和．17．（15分）如图1，在正方形ABCD中，，对角线AC与BD交于点O，沿对角线AC将△DAC折起到△PAC的位置，如图2所示，已知．图1 图2（1）证明：平面PAC⊥平面ABC．（2）求直线AC与平面PAB所成角的正弦值．18．（17分）将数列按照-定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为的一个分群数列，称为这个分群数列的原数列．如，，…，是的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知的通项公式为．（1）若的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为，求数列的通项公式；（2）若的一个分群数列满足第k群含有k项，为该分群数列的第k群所有项构成的数集，设，求集合M中所有元素的和．19．（17分）已知数列和满足，，且．（1）求和的通项公式；（2）若，求数列的前n项和；（3）若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围．高二数学试卷参考答案1．B因为，所以．2．D抛物线C：的标准方程为，所以C的准线方程为．3．D因为，所以，所以．4．A联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为，所以圆心到直线的距离，故所求圆的方程为．5．C设“伯”分得t个橘子，则，解得．因为，m为正整数，所以m的取值集合为．由，得，即或，所以所求概率为．6．C以A为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略），则，，，，所以，．设异面直线EF，CD所成的角为，则．7．B所有利息的和为元，到12月底的本利和为元．8．A因为，且，所以可设，．因为等差数列，所以，所以．因为，所以．9．ACA显然正确；的焦点到其渐近线的距离为b，的焦点到其渐近线的距离为a，故B错误；，当且仅当时，等号成立，故C正确；，不是定值，故D错误．10．AC设，则，由，得，即，所以，，，A正确，B错误．因为，依此类推可得，所以是首项为3，公比为的等比数列，则，C正确．因为，所以是公比为的等比数列，则，易知是递增数列，所以，因为是离散的，而区间是连续的，所以D错误．11．ABD，数列是等比数列，故A正确．，，，．由，得，B正确．因为，所以，，故C错误．当时，是单调递减数列，也是单调递减数列，所以是单调递减数列，故D正确．12．1因为，所以，解得．13．3；90当时，可得，当时，可得，依次可求得，依此类推可知该数列的周期为2，所以，．14．因为，所以（），两式相减得（）．在中，令，得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，．即，所以对任意的恒成立．因为，当且仅当时，等号成立，所以．15．解：（1）因为，所以．（2）由（1）知，令，解得．因为，所以无正整数解，即不是该数列中的项．（3）由（1）知，令，则，解得．因为，所以，所以在区间内有该数列中的项，且只有一项．16．解：（1）设数列的公差和的公比分别为d，q．因为，所以．又，所以．所以．因为，且，，，所以，即，解得或．又数列单调递增，所以，故．（2）因为，所以，所以，上面两式相减得，即，所以．17．（1）证明：由已知得．在正方形ABCD中，，可得，所以，可得．因为PO⊥OB，PO⊥OA，，所以PO⊥平面ABC．因为平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．（2）解：易知OA，OB，OP两两垂直，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，，设向量是平面PAB的法向量，则，即，令，得．设直线AC与平面PAB所成的角为，则．18．解：（1）由题意知该分群数列第k群的中间一项为．因为，所以，即．（2）由题意知该分群数列第k群含有k项，所以该分群数列