2024届新高考数学小题微点特训31 直线与圆、圆与圆的位置关系含答案

微点特训•数学（新）

厚积分秒之功，始得一鸣惊人。

31.直线与圆、圆与圆的位置关系

完成日期：月日

［考点对点练］一保分必拿9,已知圆（入的方程为了2+（y+l）2=6,圆。2的圆心坐

标为（2,1）.若两圆相交于A,8两点，且IA8I=4,则

［考点一］直线与圆的位置关系

圆（）的方程为（）

1.设a、/，eR且直线/：ai+〃y=O,圆C；4J-2+2

A.（J--2）2+（J>-1）2=6

4y2+8a_r+8〃y+3az+3/=o,则直线I与圆C的位

B.（工一2）2+0—1）2=22

置关系是（）

C.（X-2）2+（3>-1）2=6或（1r-2）2+（y-l）2=22

A.相交B.相切

D.（j—2）2+（y-l）2=36或（j—2）z+（y—l）2=32

C.相离D.都有可能

1（）.李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为

2.圆（.r-3）2+（y-3）2=9上到直线3工+4，-11=0的10cm的钢管,为了便于携带，他将三根钢管Cl）

距离等于1的点的个数为（）

用铁丝紧紧捆住.截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的

A.1B.2C.3D.4

长度为cm.

3.若直线上一，>”+"?=0与圆（/-1）?+?2=1相交，且

［考点三］与圆有关的切线和弦长问题

两个交点位于坐标平面上不同的象限.则m的取值范

11.已知直线/：3H-4），-15=O与圆C：x2+y2-2.r-

围是（）

4y+5—户=0（r>0）相交于A.B两点，若IAB|=6,

A.（0,1）B.（0,2）

则圆C的标准方程为（）

C.（-1.0）D,（-2.0）

A.（工一1）2+（>-2）2=25

4.已知直线x-y+a=G与圆心为C的圆x2+y2+2jc

B.（J--1）2+（J（-2）2=36

一4y一4=0相交于两A,B点，且AC_LBC,则实数a

C.（J--1）2+（J>-2）2=16

的值为.

D.（H-l）2+（y-2）2=49

5.过点P（0,2）的直线I与圆。-2+/=9相交于M,N

12.过点（2,1）的直线中.被圆/+y2-2;r+4y=0截得

两点，且圆上一点Q到/的距离的最大值为4.则直线

的弦长最大的直线方程是（）

MN的方程为.

A.3了一¥—5=0B.3j-+.y-7=0

［考点二］圆与圆的位置关系

C..r+3y—5=0D..r+3_y+5=0

6.已知圆G的标准方程是（了-4）2+仃-4）2=25,圆

13.已知圆C：（_r-2户+/=4,直线/）：y=^3.r,l2：y=

Ci:工2+/一4i+»jy+3=0关于直线.r+73y+1=0

Ar-1,若八出被圆C所截得的弦的长度之比为1：

对称.则圆G与圆Cz的位置关系为（）

2,则我的值为（）

A.相离B.相切C.相交D.内含

7.（多选题）已知圆C：x2+y2-2.r=o,点A是直线y=A.J3B.C.D.1

我工一3上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆AU.已知点P是直线/：4才一3，-7=0上动点，过点P引

与圆C没有公共点，则整数4的值可能为（）圆。:了2+（>一1）2=/（,<>0）两条切线/,何，'.乂,

A.-2B.-1C.OD,1N为切点，当NMPN的最大值为食时，则r的值为

8.在平面直角坐标系中,已知点A（2,0）.B（0.2）.|M|C：

（）

（工一&）2+/=1,若圆（：上存在点乂,使得|河,4|2+|

A.V2B.V3C.272D.1

MB12=12,则实数a的取值范围为（）

15.已知直线z+y-2=0与圆0：72+?2=产（,.>0）相

A.［l.l+2⑸B.［1-272,1+272］

交于A,B两点，C为圆周上一点.线段OC的中点D

C.［1,1+2721+⑶

在线段AB上，且3元3=555.则r=.

•74

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［素养提升练］一高分必抢二、多项选择题［咨跳］

9.已知圆M：（x-l-cos册+⑶一2—sin6产=1,直线

一、单项选择题考点对点练

/：人一N-4+2=0,下列四个选项，其中正确的是

1.已知直线/过点A（a,O）且斜率为1,若圆,r2+/=4

（）

上恰有3个点到I的距离为1.贝IJ。的值为（）1

A.对任意实数4与。，直线/和圆M有公共点2

A.372B.±372C.±2D.±72

B.存在实数我与九直线/和圆M相离

2.抛物线的焦点到圆C：.r2+jr2—6a?+8=0上点

10C.对任意实数旌必存在实数以使得直线I与圆M3-----

的距离的最大值为（）相切6

A.6B.2D.对任意实数。,必存在实数/.使得直线I与圆M

7

相切

7145,r736865.

46410.下列结论正确的是（）2_____

3.已知圆/2+?2+2］-2»+々=0截直线］+y+2=0A.已知点P（_r,y）在圆C：（a—1）2+（J>-1）2=2±,9

所得的弦长为4,则实数a的值是（）则山的最小值是言；”

x3

A.-2B.-411

B.已知直线如一，一左一］=0和以

C.16D.—812

2）为端点的线段相交,则实数4的取值范围为一""

4.已知圆C：（i—1）2+（3，+2）2=2,若直线y=kx~4

上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互相垂

14

直，则实数&的取值范围是（）C.已知点P（a,W是圆/+/=/外一点，直线I的—'

A.4《一/■或4>0B.-,方程是az+"=/，则，与圆相交**

34

D.若圆M：（工一4产+（y—4）2=/（>>0）上恰有两1

C.仁一3■或心1D.4>1

4点到点N（1.0）的距离为1.则r的取值范围是（4,6）.一

5.已知圆C：（l—3）2+（y—3）2=72,若直线x+y-m三、填空题2........

=0垂直于圆。的一条直径，且经过这条直径的一个11.已知圆。:/+/=4质、8为圆O上两个动点，满足3

三等分点，则"7=（）

IAB!=2点，D为线段AB的中点，E（3,,〃），4

A.2或10B.4或8F（3.»i+5）.当A、B在圆上运动时，存在某个位置使

5

C.4或6D.2或4NEDF为钝角.则实数，”的取值范围是.-------

6.已知圆C］:E?+/—人不一？=0和圆:父之+>2—2ky12.已知圆M：（工一6）2+（y—6*=16,点A（8,4）,过点6___

-1=0的公共弦所在的直线恒过定点M.且点M在A的动直线与圆M交于P.Q两点.线段PQ的中点7

为N,O为坐标原点,则△OMN面积的最大值〜

直线mx+〃7ty=2上，则+?/的最小值为（）

A.yB.络C.罕'D.-j-

［真题体验练］——实战抢分

7.已知圆（:：/+/=1,点M为直线z-2y-6=0上一2

1.（2021•新高考n卷.11）已知直线I-ax+by-r=o10

动点,过点M向圆C作切线MA.M8.A.B为切点.

与圆（；：/+/=/,点AQM）,则下列说法正确的是

则直线AB经过定点（）

（）------

A-（T,-T）B.（一年，春）

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切1

B.若点A在圆C内，则直线/与圆C相离2

C♦（一卷用D-（l'_T）

C.若点A在圆C外,则直线/与圆C相离

222

8.已知圆C1：（J—l）+（j-+l）=l,|H］C2：（-r-4）+D.若点A在直线/上，则直线,与圆C相切

（?一5）2=9,点M、N分别是圆Ct、圆C2上的动点,P2.（2021•北京卷.9）已知圆（；：/+/=4,直线l：y=

为“•轴上的动点,则PN|一|PM|的最大值是（）襄当为变化时.直线/截得圆C弦长的最小值为

A.2用+4B.92,则（）

C.7D.2V5+2A.±2B.±72C.±73D.±75

•75

微点特训・数学(新)

12.5-2"［如图，以点A为原点边所在直线为了

轴建立平面直角坐标系.

3.D［易求圆与工轴的两个交点为。(0,0),A(2,0),易知

直线了一，”y+，"=0与1轴的交点在线段OA(不含端

点)上时.直线与圆的两个交点位于不同的象限.此时，“

应满足0V—mV2,即一2VmV0.］

4.0或6\_x2+，+2i—4y—4=0,即(］+1)'+(了-2)'

则A(0,0),8(4,0),。(1,石)，设则PB==9,圆心。(一1,2),半径「=3.ACJ_BC,故圆心到直

(4一彳，一3，)，??=(1一1・痣一3，)，所以谨・PC=(4-

线的距离为d—3R、，即d='a'=§方，故a=6或a

x)(l-x)-y(73-y)=x2-5x+y-V3^+4=2722

卜T)+Q-白)-3,其中卜一得)+=。.1

5.3—任一2=0或丁+氏一2=01.

［如图，易知MN的斜率存在，/

Q―亨)表示圆A上的点P与点M考)之间距

设直线的方程为丁=左下+2•过圆JZ

心。作易得当Q位于陷於\

离IPM的平方.由几何图形可得1PM'=|AM|-1

mHO的延长线上时距离最大.即------留㈠——►

［传J+(W=「T，所以廊.寿而“=HQ=4,所以HO=1.由点到直线外签协”

的距离公式可得d=—二!21—1./

(V7-1)2-3=5-277.］yr+F/।

L真题体验练：］——实战抢分

所以归=±V3.直线的方程为y—^x—2=0或丁+

1.ACD［直线AB的方程为手+普=1.即l+2)-4

4Z—2=0.］

=0.6.C［由题意可得，圆G：(X-4)2+(^-4)2=25的圆心

设P(5+4cos0.5+4sin0).则点P到直线八8的距离为(4.4).半径为5.因为圆C2：/2+y2—4/+〃u，+3=0

乂.|5+4cos8+2(5+4sin。)-4I

为：d=-----------,------关于直线①+后+1=0对称，所以2+痣义(~y)+1

/FTF=0,得加=2点,所以圆。2：(1-2"+仃+/)2=4的

_11+4T^sinlJ+w)

=75'圆心为(2,—JM),半径为2,则两圆圆心距|QGI=

因为4皿*=丐里<10，，(4一2)2+(4+例)2,因为5—2VIGC21V/4+36V7

V5=2+5,所以圆G与圆C2的位置关系至相交.］

7.ABC［圆C的方程为一十/一27=0,即(2-1)2+/

4rali=止言&<2,所以A选项正确，B选项错误.

=1.圆心C(l,0).半径为1.由题意可得，圆心C(l,0)到

J5

直线人一了一3=0(4GZ)的距离大于或等于2,即

因为圆心为Q(5,5),半径r=4,则IQBI=

7(5-0)2+(5-2)2=反..求得-3;2.312•._2

33

所以当直线PB与圆相切时NPBA取得最值，此时ym

IPBI=V\QB\'!-r!=734-16=342.或一1或0.1

8.B［设M(1,y),则(2—2)2+/+］2+(了一2)2=12,所

所以C、D选项正确.故答案为ACD.］

2.A［以AB所在直线为工轴.中垂莪为y轴.建立平面以(/一1)2+(3—1产=4,所以点M的轨迹是一个圆D,

--►

22

直角坐标系，设A(-a,0),3(a,0),C(i,y),则AC=(K由题得圆C和圆。相交或相切，所以/(1-«)+1

+a,y).BC=(x-a»y)<,AC,BC=>+J—/=］，所43,所以1-2&■&。41+2伍1

9.C［设圆Q的方程为(/—2)2+(),—i)2=/(y〉o).因

以f+)，2=/+1,即动点C的轨迹为圆.［

为圆。的方程为>+(y+l)2=6,所以直线A8的方

微点特训直线与圆、圆与圆的住

31程为4z+4y+/—i0=o.圆心(工到直线八3的距离4

置关系

=在三里.由—+22=6.得(尸；14)-=2,所以产一

考点对点练——保分必拿

2I1247232

1.C［将圆的方程化为(z+a)?+(?+〃)？=”了2.圆心

14=±8,/=6或22.故圆O2的方程为(1-2)2+(y一

1产=6或(？一2)2+(》—1)2=22・］

坐标为(-a.-4).半径■.又因为圆心C到10.30+10兀［如图所示，铁丝捆扎一圈的长AF

度为三氢公切线的长度十三条弧长，即

直线的距离”=

，：ai+"=0：+"-=3A8+3AF=3O］(2+圆Q的周长=30

Ja2+/>"+10兀.IcD

J"”,故直线/与圆C相离.111.A［圆C：f十/一27—。+5——=0可

化为(才一1产十(3-2v=产.设圆心(1,2)到直线的距

2.C［因为圆心到直线的距离为「9+1：一“1=2,又因为离为△.则d=二*因为|AB|=6.所以r2

5

圆的半径为3,所以直线与圆相交.由数形结合知.圆上=32+42=25,所以圆C的标准方程为(#-1)2+(y一

到直线的距离为1的点有3个.12¥=25,故选A.］

•165•

微点特训•数学（新）

12.A［由题意得.圆的方程为（j—l）2+（y+2）2=5,4.A［由题意.圆C：（①一

.•.圆心坐标为（1,-2）.+（y+2）2=2,若直线y=kj：

•直线被圆截得的弦长最大....直线过圆心（1.-2）,-4上总存在点P.使得过点

P的圆C的两条切线互相垂

义直线过点（2,1）,所以所求直线的方程为=

1一/直，如图所示.根据过点P的

在|,即3了一》一5=0.故选A.1圆C的两条切线互相垂直，可

得四边形APBC为正方形,所

13.C［圆C：（J—2）2+/=4的圆心为（2,0）,半径为2,以PC=y（72）2-|-（72）2=2.所

圆心到线/］：>=府工的距离为&被圆C所裁得的以只需圆心（1,一2）到直线》=

弦的长度为2=2.圆心到12的距离为^—4的距禹d=仁2一>

l2-11

^.lz被圆C所截得的弦的长度为2J1+

7F+T42.解得&&一等或笈>0.1

.结合被圆C所载得的弦的长5.B［圆C：1-3）?+G，—3"=72的圆心C的坐标为

（3,3）,半径r=6至，因为直线工十N一初=0垂直于圆C

度之比为1：2.可得2/4-（签出）=2X2.的一条直径.且经过这条直径的一个三等分点.所以圆

求心到直线的距离为成■.则有三迫=晚,解得m=^

■/TTT

得］

或8•故选B.］

14.A厂.•点P在直线/：4工一3y—7=0上，连接PC当6.C［由圆Cj:*—3>=0和圆。2:合+/—2ky

PC1.I时./MPN最大.由题意知.此时NMPN最大-1=0.可得圆C,和C,的小共弦所在的直线方程为'k

2（①一2y）+（y—l）=0,联立卜|二彳上°,解得（“二，即

值为£".NCPM=?|PCI=V2r.V圆C;x+（.y

-1）2=/">0）,可得其圆心为：（o,i）点又因为点M在直线〃?才+”=2上，即2m十

根据点到直线距离公式可得圆心（0,1）到，距离为：”=2.又由原点到直线2z+y=2的距离为d=

V22+l-

d=~=2♦二^/^*=2,故r=y/2.J

5=2,交•即J+"'的最小值为2g.］

15.yio［如图•过。作OE_LAB于点E・连接OA•则55

\（）E\=一二?二义=&.易知|AEI=IEB|,不妨令|7.D［因为M是直线才一2a—6=0上的任一点,所以设

M（2m+6,加,因为圆/+/=］的两条切线

ADI=5〃?（m>0）,由3启=535可得,BDI=36"切点分别为八、8,所以（）A±MA,OB±MB,则点八、8

在以OM为直径的圆C上，即A3是圆O和圆C的公共

ABI=8加，则DE|=4m-3加=〃?，在RtAODE中，有

弦.则圆心。的坐标是。〃+3.夕)•且半径的平方是产=

传厂）=（&y+〃/①，在RLAE中,有r2=（V2）2

十（4〃力2②，联立①②，解得「=/To.］(2〃?+6J+",所以圆。的方程是(i—w—s¥+iy—

m2_(2〃?+6)2+刀/，讣

~2=4'①

又■十。=1,②,

②一①得，(26+6)z+肛y—l=0,即公共弦AB所在的

直线方程是：(2〃?+6)1+/”-1=0.即〃?(2i+y)—(6i

―1)=0,由［4.1二g，得/=<，y=—J■，所以直线

(V—0♦63

AB恒过定点(看.—5)♦1

8.B［圆G：(才-1)2+(》+1)2=］的圆心半

素养提升练一高分必抢

径为1,圆Q：(H—4)2+(y—5)2=9的圆心F(4,5),半

1.D［因为直线/过点八（a,0）且斜率为1,所以直线方程径是3.要使IPNI—IPM最大.需PN|最大，且|PM|

为y=1一a.即1一N一a=0,因为圆./+y，=4上恰有3最小，IPNI最大值为|尸F|+3,|PMI的最小值为

个点到Z的距离为1,|PE|-1.故IPN|一IPM最大值是(IPFI+3)一

所以圆心到直线的距离为：1,即詈=1,解得a=±72.］(PE|-1)=|PF|-PE|+4；F(4,5)关于才轴的对称

点F'(4,-5),|PF|-|PE|=|PF'|一\PE\<\EFf\=

r2

2.A［抛物线y=奇的焦点为F（0.4）,圆f十/一十8，(4-1)2+(—5+1)2=5,故|口下|一|PE|+4的最大

值为5+4=9，故选B.］

=0的圆心为C（3,0）,半径厂=1,F到圆C上点的距离9.AC［根据题意知圆M的圆心坐标为M(l+co电,2+

的最大值为|FC|+r=6.sint?),半径为1,加一^一4+2=0=>3，-2=履1—1),直线/恒

y过定点N(l,2),|MN|=y(l-l-cos^)2+(2-2-sin<9)2

=1,所以定点N(l,2)在圆M上.无论U取何值.都由(1

—1—cosO)*+(2—2—sin。)"=1,因此直线I和圆M有

公共点,所以选项A正确，选项B错误；圆心M到直线/

认叱京.|Ml+cos6)—(2+sin6)—A-2|

的成巨离d=---------------,------------=

_____4+1

Ihcor。一sin0|_|，次'+1(sin8cos0-cos肉in1)I_

3.B［因为/+J+2优-23+a=0化为标准方程为+］/.J+］

(才+1)2+(»-1)2=2—。，所以圆心为(一1,1),半径〃|sin(/?-0)1,(其中sin/?=,kcos^=-1

="q.弦心距.为d=1+1+21=J2.因为圆V+Jk1-f-1+］

2

A/1Z+ItanB=h）当£-6=?5+£（〃£2）时，4=1,所以对任意

y~-\~2x—2y+a=0截直线1+y+2=0所得弦长为4,

1实数3（a叩=3所以必原在实数8,使得直线/与圆M

所以22+(瓶)2=2—〃，所以a=-4・1

•166•

微点特训・数学(新)

［真题体验练］—实战抢分

相切.所以正确.当。=时邛=〃兀+(叩

C0°£”62),02

1.ABD［圆C的圆心到/的，巨禽4=「・

不存在.所以D不正确.［

/不+62

10.CD［A选项.设4=中,则3-核一2,因为点对于A,当点人在圆上时，/+62=/，〃=八/与圆。相

切，对于B.A在圆内，则</，〃>「，故直线i与圆

P(z,y)在圆C：(J--1)2+(J/-1)2=2上,所以直线》

相离，对于点八在/上，则，则厂相与

=kx~2与圆C：(J—l)2+(j7-l)2=2有交点,因此圆CD,d=

圆。相切，对于C不成立.故A,B,D正确.］

心到直线的距离d