华师一附中2024届高三《导数每日一题（20题）》试卷带答案

Inxx1.已知函数f(x)Inxxe+e,其中e=2.71828...为自然对数的底数.(1)求实数a的取值范围；(ⅱ)证明x2f(x)>asinx+x2-1.2.已知函数f(x)=(x-a)Inx-xIna，其中a>0，(1)当f(x)的极值2）设g(x)=f(x)+f()有三个不同极值点x1,x2，x3，(ⅰ)实数a的取值范围；(ⅱ)证明x1222323.已知函数f(x)=x2-ax+1-e-x(aeR)(1)讨论函数g(x)=exf(x)的单调性2）当f(x)有几个零点？4.已知函数f(x)=ax+cosx(0<x<π,aeR)。（1）当a=时，求f(x)的单调递增区间；（2）若函数f(x)恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：2M-m>3。25．已知函数f(x)=+，其中e为自然对数的底数。（1）当af(x)f(x)有两个极值点x1、x2，且f(x1)+f(x2)>kf恒成立，求k的最大值。6.已知函数f(x)=alnx-,g(x)=x+，其中aeR。（1）若a=2，求函数y=g(x)-f(x)的极值2）若g(x)>f(x)对于任意的xe[1,e]恒成立，求实数a的取值范围。7.已知函数若xf(x)<-g(x)+1,求a的取值范围.xf(x)xx（x)x(ax)-lnx+（x)xf(x)=ex+1-ax(aeR),g(x)=bex+mb-2x(b,meR)(1）讨论函数f(x)的单调性；(2）若a=1时，存在实数b，使得f(x)<g(x)对任意xeR恒成立，求实数m的取值范围10.已知函数f(x)=a(x+1)2-ex(aeR).(1)当a=时，判断函数f(x)的单调性2）2若f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),2<f(x1)<-.11.已知函数f(x)=alnx+2 x-22.（1）若曲线y=f(x)上任意一点处的切线斜率不小于3，求a的最小值.（2）当a=1，keR时，若g(x)=f(x)-2kx有两个极值点x1,x2，且x12，求证：g(x2)<-2.12.函数f(x)=excosx（1)求f(x)在(-π,π)上的单调区间；（2）当x>0时，不等式f'(x)<e2x(e2x-2ax)恒成立，求实数a的取值范围.13.设函数f(x)=aex+sinx-3x-2，e为自然对数的底数，aeR.f(x)有唯一的零点;(2)若函数f(x)有唯一的零点，求a的取值范围.14.已知函数f(x)=exmx有两个不同的零点x1、x2，且x1<x2.(1)求实数m的取值范围.215.完成下列问题：f(x)的最小值.m的取值范围.16.已知函数f(x)=3x2alnx1,aeR1）若a=1，曲线y=f(x)与y=kx+1相切，求k的值2）若不等式a的取值范围.f(x)的单调性2）若函数g(x)=f(x2)一2(a+1)lnx的图象与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2，设x0=λx12，其中常数λ,μ满足条件λ+μ=1,μ之λ>0，g,(x)为g(x)的导函数，试判断g,(x0)的正负，并说明理由18.已知函数f(x)=e2ax+b一xaf(x)在f(x)之0对一切xe(,+构)恒成立，求的最小值.19.已知函数f(x)=(x+1)exx(x＞0)，g(x)=xex+aInx(aeR)，且f(x1)=0.=0，试比较x0与x1的大小关系，并说明理由；2+1)f(x2)=g(x2)，证明：2＜；232x2132x1e20.已知函数f(x)=ex3一ax，其中aeR.f(x)的单调性；（2）若函数g(x)=f(x)一x2(x＞0)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围.1所以当xe(0,e),f(x)为增函数,当xe(e,+伪),f(x)为减函数,所以x=e时,f(x)有极大值f(e)=xxx,（2i）由（1）知,f(x)=lnx+1,则g(x)之af(x),即ex−a之alnx+a对xxx,所以xex−a之alnx+ax对vxe(0,+伪)恒成立,即xex−alnx−ax−a之0对vxe(0,+伪)恒成立,1ee设h(x)=xex−alnx−ax−a,则h(x)之0对vxe(0,+伪)恒成立,h(x)=elnxex−alnx−ax−a=elnx+x−a(lnx+x)−a设lnx+x=t,teR,原问题转化为：Q(t)=et−at−a之0对vteR恒成立,(1)(1)②若a=0,则Q(t)=et之0对vteR恒成立,符合题意(lnx（ii）要证x2f(x)>asinx+x(lnx)2xlnx+1>asinx,只需证lnx+1>asinx,设F(x)=lnx+1,G(x)=x−sinx,因为F,(x)=1−=xxxxxxsinxxsinxx<1;所以F(x)>,即lnx+>,得证.所以x2f(x)>asinx+x2−1成立.xx∴f(x)极小值=f(a)=−alna，无极大,,1,(1)(1)(1),2)2xx2=x2e(0,2令h(t)=lnt−，h(t)=0有三个不同的正实根x12、x22、x32，222t22∴h,(t)=0有两个不同的正实根，22，设h,(t)=0的两个不同的正实根为m、n，且0<m<；(ⅱ)令t1=x、t3=x，由(ⅰ)知x2=1,0<t1<1<t3，且t1、t3为h,则Q(t1)=Q(t 2(1) xx xx333−a−12a2a3e(x)有三个零点.调递减，当xe(,π)时，f,(x)>0，f(x)单调递增，所以函数的单调递增区间为(0,)和(,π)；个不相等的实根，设为x1、x2且x1<x2，当0<x<π时，函数y=sinx图象关于直线x=对称，=π,即sinx1=sinx2=a，因为0<x<π,所以ae(0,1)，当xe(0,x1)时，f,(x)>0，f(x)单调递增，当xe(x1,x2)时，f,(x)<0，f(x)单调递减，当xe于是有2M−m=2(ax1+cosx1)−(ax2+cosx2)，因为x1+x2=π,所以x2=π−x1，所以2M−m=3ax1+3cosx1−aπ,而sinx1=a，所以2M−m=3x1sinx1+3cosx1−πsinx1，π2设h(x)=3xsinx+3cosx−πsinx，0<xπ2,则h,(x)=(3x−π)cosx，令h,(x)=0牵x=或，33323232,因此有h(x)323.25．(1)对f(x)求导得f'(x)= e2xex4 1axxxxxexx2flna+=，故不等式f(x1)+f(x2)>k.f恒成立2a2a−1+2a+lna−1+2a+lna−1+2a+lna−1+2a+lna2xx函数y=k(x)在(0,3)单调递减，在(3,+伪)单调递增，所以当x=3时，函数取得极小值k(3)=4−2lxxxxx=[1,e]x=[1,a+1]时，h'(x)<0，当x=(a+1,e]时，h,(x)之05 xex∴只需h(x)min=h(a+1)=a+2−aln(a+1)>0，即h(x)min=a−ln(a+1)+1>0 xexmin=h(a+1)=a+2−aln(a+1)>0﹒7．(1)因为h(x)=g(x)+=lnx+ax,x>0，所以h,(x)=+a，若a0，则h,(x)>0在(0,+伪)上(1),(1)(1),(1),(1)(1),(1)(1)(2)由xf(x)<−g(x)+1等价于a<−lnx−x+1xex−ln(xex)+1=xex,令t=xex(t>0)，函数9(t)=t,，由9,(t)=0，可得t=e2，当te(0,(1)（,e2)(1)（,e2)exxexxx−x)|，设S(x)=ex−x,x>0，则S,(x)=ex−1>x−x)xx（x)上的增函数，故S(x)>S(0)=1>0，当xe(0,1)时，f,(x)<0，函数f(x)在(0,1)上为单调递减；aex,函数u(x)=x21ex1ef,(x)>0,f(x)在(1,+伪)上单调递增；所以f(x)极小值=f(1)=ae−1，无极大值；ee x1 x1ex ee1 ee1,设U(x)=2lnx−x,x>>a，又u(x)在(a,1)单调递增，所以f,(x)在(a,1)上有唯一零点x,则当U,(x)=<0，故x,则当U,(x)=6所以U(x)<U(e)=2−e<0，所以2ln<2ln1 a2ln1 a1 a,所以u|（lna2 a又u(x)在(1,+伪)单调递减，所以f,(x)在1,ln上有唯一零点x2，且增；当xe(1,x2)时，f,(x)<0,f(x(1)令G(x)=−lnx，则G,(x)=[1−x−ln(ax)]，记h(x)=1−(1)1(1)0e00000x0x0故原不等式成立.7bb,则m(x)=b,令m(x)0，则x−ln(b−e)，令m(x)0，则x−ln(b−e)，故m(x)=在(−,−ln(b−e))m，所以原命题转化为存在be，使得m，2x0得x0，由g(x)=1−ex0得x0，g(x)即f(x)在区间(−,0)上单调递增xx，x0，(x)即f(x)在R上单调递减，f(x)=0最多有一个根，不符题意；递增，在区间(ln2a,+)上单调递减.且当x→−时，f(x)→−,当x→+时，f(x)→−,要使f(x)=0有两个不同的根，必有f(x)max=f(ln2a)=2a(ln2a+1)−2a=2aln2a01.2x2xx8 2294,所以a94,所x2x2x x极值. x极值. x2 xxx2x(1x(12（x22)2(3π)(π)3x9f(x)有唯一零点，man27)mina27)141）显然x=0不是f(x)的零点，令f(x)=0，则m=，依题意，直线y=m与函数g(x)=的图象即h,(x)即h,(x)>0，所以h(x)=(x+1)lnx−2(x−：x1=lnm+lnx1lnm+，x2：x1=lnm+lnx1lnm+，x2：x12(x1x222+1lnm+2，即x2+x1lnm+1，,即证lnm+13−,只需证lnm+2，记F(m)=lnm+,则F,(m)=1−=，易知F(m)在(e,+伪)上单调递增F(m)F（e）=2，即得证.mmm15.（1）f(x)=2ex−xcosx−sinx=ex(2−),xe[0,π]，求y=(xe[0,π])的最大值即可得f(x)的最小值为222224411.构造m(x)=+lnx(x>0)，则m,(x)=>0.故m(x)在(0,+伪)单调递增；知g(x1)<0.故g(x1)<g(x0)，结合g(x)单调性知x0>x1.(x2