2024年中考数学复习（全国版）专题15 二次函数的图像与性质【十大题型】（举一反三）（解析版）

专题15二次函数的图像与性质【十大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1根据二次函数解析式判断其性质】 3【题型2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】 6【题型3二次函数平移变换问题】 12【题型4根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 15【题型5根据二次函数的性质求最值】 18【题型6根据二次函数的最值求字母的取值范围】 21【题型7根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】 24【题型8根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 27【题型9二次函数图象与各项系数符号】 29【题型10二次函数与三角形相结合的应用方法】 34【知识点二次函数的图像与性质】1.定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a.b.c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a.b.c分别是函数解析式的二次项系数.一次项系数.常数项。二次函数解析式的表示方法(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.2.二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。最小值(或最大值)为0(k或)。增

减

性a>0x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a<0x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。3.二次函数的平移：方法一：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）4.二次函数的图象与各项系数之间的关系1.a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2.b的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”3.c决定了抛物线与轴交点的位置字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab＞0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc＝0经过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交5.二次函数与一元二次方程之间的关系判别式情况b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点a＞0a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根有两个不相等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1＝x2没有实数根当b2－4ac＜0时当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．【题型1根据二次函数解析式判断其性质】【例1】（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是(

)A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是【答案】D【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与x轴的交点个数，由此解答即可．【详解】解：A、∵aB、∵y=∴Δ=即图象与x轴有两个交点，故此选项不符合题意；C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=2∴当x<2时，y随x故此选项不符合题意；D、∵y=∴图象的顶点坐标是(2,-3)，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．【变式1-1】（2023·四川乐山·统考模拟预测）二次函数y=-x2A．开口向上 B．当x=0时，函数的最大值是C．对称轴是直线x=1 D．抛物线与x【答案】B【分析】根据二次函数y=-【详解】解：∵y=-x2∴抛物线开口向下，故A错误；∵当x=0时，函数的最大值是-1，故∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误；∵Δ=∴抛物线与x轴没有交点，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键．【变式1-2】（2023·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=xA．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为0C．图象与x轴的交点坐标为-2,0和D．y的最小值为-【答案】D【分析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y=∴该函数的对称轴是直线x=-1，在y轴的左侧，故选项A当x=0时，y=-8，即该函数与y轴交于点0，当y=0时，x=2或x=-4，即图象与x轴的交点坐标为2,0和-当x=-1时，该函数取得最小值y=-9，故选项故选：D【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键．【变式1-3】（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知抛物线y=mx2-A．若x1-x2≤x3C．若y1<y3≤y2【答案】D【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=2，从而可得点B为顶点，由m>0抛物线开口向上可判断A，B选项，由点到对称轴的距离与函数值的关系可判断C，【详解】解：∵y=∴抛物线对称轴为直线x=2，顶点为(2,-4∵y2∴Bx2,当m>0时，抛物线开口向上，y∴选项A，B错误．若y1∴∴选项C错误，选项D正确．故选：D．【点睛】本题考察二次函数的图象与性质，开口向下时，图象上的点离顶点越远，即横坐标到对称轴的距离越大时，点的纵坐标就越小【题型2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质】【例2】（2023·湖南·统考中考真题）已知P1x1,y1,P2x2,y2是抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0上的点，现有以下四个结论：A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据对称轴公式x=-b2a=-4a2a=-2可判断①；当x=0【详解】解：∵抛物线y=ax2+4∴x=-故①正确；当x=0时，y∴点0,3在抛物线上，故②正确；当a>0时，y当a<0时，y故③错误；根据对称点的坐标得到x1x1故④错误．故选B．【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【变式2-1】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）关于x的二次函数y=①对于任意实数a，都有x1=3+a②若图象过点Ax1,y1，点Bx2③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则-4④当m>0且n≤x≤3时，其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先求出该函数对称轴为直线x=3，再得出x1=3+a和x2=3-a关于直线x=3对称，即可判断①；把C2,-13代入y=mx2-6mx-5m≠0，求出m=1，则当x>3时，y随x的增大而增大，得出x1-x2>0,y1-y2>0【详解】解：①∵二次函数y=∴该函数的对称轴为直线x=-∵x1=3+a∴x1+x22=3，即∴x1=3+a对应的函数值与x②把C2,-13代入y=mx解得：m=1∴二次函数表达式为y=∵a=1>0，该函数的对称轴为直线x∴当x>3时，y随x∵x1∴y1∴x1∴y1-y③∵y=∴当x=3时，y=-5-9m，当x当m>0∵3≤x∴y随x的增大而增大，∵3≤x≤6，对应的y的整数值有∴四个整数解为：-5,-6,-7,-8∴-9<-5-9m≤-8当m<0∵3≤x∴y随x的增大而减小，∵3≤x≤6，对应的y的整数值有∴四个整数解为：-5,-4,-3,-2∴-2≤-5-9m<-1综上：-49<m≤-④当m>0且n≤x≤3时，∵-14≤∴当x=3时，y=-5-9m∴y=当x=n时，解得：n=-1，故④综上：正确的有①③，共2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握y=x-h2+k的对称轴为x=h，顶点坐标为h,k；a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，【变式2-2】（2023·广东惠州·统考一模）二次函数y=①abc>0；②4a+2b+c<0其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为x=1，可知x=2时和x=0时的y值相等可判断②正确；由图知x=1时二次函数有最小值，可判断③错误：由抛物线的对称轴为x=1可得b【详解】解：①∵抛物线的开口向上，∴∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，∴由-b2∴abc>0，故②由抛物线的对称轴为x=1，可知x=2时和x=0由图知x=0时，y∴x=2时，y即4a+2b③由图知x=1∴a∴aa+b≤④由抛物线的对称轴为x=1可得-∴b∴y=当x=-1由图知x=-1∴3a+c综上所述：正确的是①②④．故选：B．【变式2-3】（2023·辽宁丹东·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴的一个交点为A-3,0，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x=-1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc>0；②Ex1,y1，Fx2,y2是抛物线y=ax2+bx

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】由图可知a>0,b>0,c<0，即可判断①；易得y=ax2+bx+c向上平移c个到位长度得到y=ax2+bx，则y=ax2+bx的对称轴也为直线x=-1，根据x1+x2<-2，得出x1+x22<-1，则Ex1,y1离对称轴的距离大于Fx2,y2离对称轴的距离，即可判断②；作点【详解】解：由图可知，∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，∴a>0,∴abc<0，故①∵y=ax2+∴y=ax∵x1∴x1∵x1∴Ex1,∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，∴y1>y作点C关于x轴对称的对应点C'，连接C'D，交x把A-3,0代入y=∵抛物线y=ax∴-b2a∴0=9a-6∴C0,-3a，则把x=-1代入y=a∴D1,-4设直线C'D的函数解析式为把C'0,3a3a=n∴直线C'D的函数解析式为把y=0代入得：0=7解得：x=-∴P-37

方程ax2+∵D-由图可知，当2b-4<-4a时，抛物线则原方程无实数根，∵b=2∴2b解得：b<1∵b>0∴b的取值范围为0<b<1，故综上：正确的有③，共1个，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出a、b、c的符号，利用抛物线的对称性和增减性是解析的关键．【题型3二次函数平移变换问题】【例3】（2023·四川南充·统考中考真题）若点Pm,n在抛物线y=ax2A．m,n+1 B．m+1,n C【答案】D【分析】观察抛物线y=ax2和抛物线y=【详解】∵抛物线y=ax+12是抛物线y∴抛物线y=ax2上点Pm∴点m-1,n故选：D【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．【变式3-1】（2023·贵州黔东南·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x-1【答案】1【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．【详解】解：∵y=∴抛物线的顶点为（-1，-2），将抛物线y=x2+2x-1旋转后的抛物线为y=-再向下平移5个单位，y=-x-∴新抛物线的顶点（1，-3）故答案是：（1，-3）．【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．【变式3-2】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线y=x+32向下平移【答案】2或4/4或2【分析】先求出抛物线y=x+32向下平移【详解】解：抛物线y=x+32向下平移令y=0，则x解得，x1∴抛物线y=x+32-1与∴将抛物线y=x+32-故答案为：2或4．【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．【变式3-3】（2023·四川巴中·统考中考真题）函数y=ax2+bx+ca①2a+b=0；②c=3；

③abc>0；④将图象向上平移A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为-b2a=1，进而可得2a+b=0，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），y=ax2+bx+ca>0,b2-【详解】解：由函数图象可得：y=ax2+bx+∴对称轴为x=-1+3∴整理得：2a+b∵y=ax2+bx+y=ax∴c＝-3，故②错误；∵y=ax2+bx+∴b＜0，又∵c＝-3＜0，∴abc>0，故③设抛物线y=ax代入（0，3）得：3=-3a解得：a＝－1，∴y=-∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．【题型4根据二次函数的对称性求字母的取值范围】【例4】（2023·浙江杭州·一模）点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线y=axA．1<m≤4 BC．0<m≤1或m≥4 D．【答案】C【分析】根据函数解析式求出对称轴，根据关于抛物线的轴对称性质求出y1【详解】解：由题意可得，抛物线对称轴为直线x=-根据二次函数对称性可得，当-2<当1×2-0<x2<1×2-(-2)即2<x∵存在正数m，使得-2<x1<0且∴m≥4或0<解得：0<m≤1或故选C．【点睛】本题考查抛物线的轴对称性及对称轴公式，解题的关键是根据抛物线的对称性，利用数形结合思想解题．【变式4-1】（2023·浙江·统考一模）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在aA．-2 B．-1 C．0.5 D【答案】D【分析】根据二次函数的性质可得二次函数图象的对称轴为直线x=2，最小值为-2，从而得到点3,-1关于对称轴的对称点为【详解】解：∵1>0，∴二次函数的图象开口向上，y=∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，最小值为-当x=3时，y∴点3,-1在二次函数图象上，且点3,-1关于对称轴的对称点为1,-1，∵该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值∴1≤a∴a可能为1.5．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【变式4-2】（2023·江苏·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx-3自变量x的部分取值和对应函数值【答案】x＞4或x＜-2【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y=5的自变量x的值即可．【详解】解：∵根据表格可得：x=0，x=2的函数值都是-3，相等，∴由二次函数的对称性可知：二次函数的对称轴为直线x=1，∵当x=－2时，y=5，∴x=4时，y=5，根据表格得：自变量x<1时，函数值逐点减小；；当x=1时，函数值最小；当x>1时，函数值逐点增大；∴抛物线的开口向上，∴y-5>0成立的x取值范围是x<－2或x>4；故答案为：x＞4或x＜-2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键；此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．【变式4-3】（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为y=ax(1)若此函数图象过点1,3，求这个二次函数的表达式．(2)若x1,y1、x2,y(3)若点-1,t在此二次函数图象上，且当x≥-1时y随x【答案】(1)y(2)a(3)-【分析】（1）将1,3，a-b=4（2）由y1（3）由题意可得t=a-5，分【详解】（1）解：将1,3，a-b=4代入y解得：a=2∴b=∴这个二次函数的表达式为：y=2（2）∵y1∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，∴-b∴-a∴a=-（3）解：点-1,∴t=∵当x≥-1时y随x当a>0时，有-∴0<a∴-5<当a<0∴-5<【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，函数图象上点的坐标的特征，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的各知识点是解决本题的关键．【题型5根据二次函数的性质求最值】【例5】（2023·安徽六安·统考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2-A．-14 B．-6 C．-8【答案】B【分析】先用a表示b，然后代入2a2-4b中，利用配方法进行配方，再根据a≥0，b≥0【详解】解：∵2a∴b设y=2=2=2(=2(=2[(=2(a∵a≥0，∴a解得：0≤a∵2>0，∴抛物线开口向上，对称轴为a=-2当a>-2时，y随a当a=0时，y最小，即m当a=1时，y最大，即n∴故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，用a表示b，转化为关于a的二次函数，根据a的取值范围确定最大值和最小值是解题的关键．【变式5-1】（2023·广东梅州·统考二模）已知实数a≥0，b≥0，且a+b=4，记代数式w=a【答案】4【分析】由a+b=4得到b=4-a，则w=a2+ab+b2=【详解】∵a+∴b=4-∴w====a∵a≥0∴a≥0∴0≤∴当a=0或a=4时，w=当a=2时，w=a∴w1故答案为：4【点睛】本题考查二次函数的最值，将代数式转化为关于a的二次函数，通过二次函数的性质求出最值是解题的关键．【变式5-2】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数y=-x-m2①若y的最大值为-8，则m②若y的最小值为-8，则m③若m=5，则y的最大值为-则上达说法（）A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确【答案】C【分析】根据二次函数y=-x-m2+1可得对称轴为直线x=m，由a=-1<0，可得抛物线开口向下，再由m>3，所以当-1≤x≤3时，抛物线单调递增，从而可得x=3时，y有最大值，x=-1时，y有最小值，把x=3、y=-8和x【详解】解：二次函数y=-x-∵a=-1<0∴抛物线开口向下，因为m>3，所以当-1≤x若y的最大值为-8，则-3-m2+1=-8，解得m若y的最小值为-8，则--1-m2+1=-8，解得m=2若m=5，则y=-x-52+1故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式5-3】（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）在直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca<0的图像过m,b，m+1,a【答案】-【分析】根据题意求出-1≤m<0，再用二次函数图象y=ax2【详解】解：∵二次函数y=ax2+∴am②-①得，∵b≥a，∴-1≤把b=-am代入①得，∵二次函数图象y=ax∴4ac∴4a整理得，8a=m∵-1≤∴-3≤0<a∴8≤-3a∴a≤-即a的最大值是-8故答案为：-【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键．【题型6根据二次函数的最值求字母的取值范围】【例6】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在a≤xA．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤【答案】C【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为3,4，由于当x=6时，y=-5，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是【详解】解：∵二次函数y=-x2+bx∴-1+解得b=6∴抛物线的解析式是y=-∴抛物线的顶点坐标为3,4，∴当x=3时，抛物线有最大值4由于当x=6时，y=-6-32+4=-5，且在a∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是0≤a故选：C.【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意、熟练掌握抛物线的相关知识是解题关键.【变式6-1】（2023·福建厦门·统考一模）已知二次函数y=-x2+2ax+a+1，若对于-1<【答案】-【分析】先将解析式化成顶点式，然后根据题意可得-x-a2+a2+a+1>a+1可求得【详解】解：y∵y∴-x-a2+a2∵-∴x∴a>x>2a又∵a∴-1<故答案为-1<【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次不等式、等式的性质等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关键．【变式6-2】（2023·浙江杭州·统考一模）已知抛物线y1=x2，该抛物线经过平移得到新抛物线y2，新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，若点P1,p，QA．0≤PQ<1 B．1≤PQ<2 C．【答案】C【分析】设平移后解析式为y2=x-k2+h，由新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间得1<k<2，由点P1,p【详解】∵抛物线y1=x∴平移后解析式为y2∵新抛物线与x轴正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，∴1<k∵点P1,p，Q2,∴p=k-∴PQ∴当k=32当k=1或k=2时，∴1≤PQ故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和二次函数的平移，表示出PQ【变式6-3】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）对于二次函数y=x2-4x+3，图象的对称轴为，当自变量x满足a≤x【答案】直线x=2【分析】根据二次函数对称轴公式代入，可得到对称轴；利用配方法求出顶点坐标，令y=0，可得到点A，B的坐标分别为(1,0),(3,0)【详解】解：∵二次函数y=∴对称轴为直线x=-∵y=∴当x=2时，函数有最小值，最小值为y=-1当y=0时，有x解得：x1=1,∴如图所示，点A，B的坐标分别为(1,0),(3,0)，∴当1≤x≤3时，-∵a≤x≤3时，函数值y从图象中可得到-1≤y≤0故答案为：直线x=2；1≤【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键．【题型7根据二次函数自变量的情况求函数值的取值范围】【例7】（2023·浙江金华·统考一模）已知二次函数y=x2+bx+5的图象经过点1,0，则当A．-5≤y≤5 B．-4≤y≤5【答案】B【分析】先将点1,0代入y=x2【详解】解：将点1,0代入y=x2解得：b=-6∴该二次函数的表达式为：y=∴该函数的对称轴为直线x=-∵a=1>0∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，∵6-3>3-2，∴再2≤x≤6之间，当x=6当x=3时，函数有最小值y∴当2≤x≤6时，y的取值范围是故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随【变式7-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知二次函数y=ax2+x…-013…y…-366…当0<x<4时，y的取值范围是（A．3<y≤6 B．3<y≤7 C．【答案】B【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的性质，可以得到当0<x<4时，【详解】解：将点(-1,-2)，(0,3)，(1,6)代入y=a-b+∴y∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x=2，函数有最大值7∴x=0和则0<x<4时，y的取值范围是：故选：B．【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式7-2】（2023·河南南阳·统考一模）已知二次函数y=-2x2+4x+3，当A．y≤5 B．y≤3 C．-3≤【答案】D【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据x的取值范围求出y的最大值和最小值，即可得出y【详解】解：∵y=-2∴二次函数的对称轴为直线x=1，∵a=-2∴当x=1时，函数取最大值，且最大值为y∵在-1≤x≤2∴x=-1y=-2×∴y的取值范围是：-3≤y≤5故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求出函数的最大值5，最小值-3，是解题的关键．【变式7-3】（2023·浙江杭州·统考二模）已知y=2x2-4x+1，且x+nA．-1≤y≤17 B．1≤y≤17 C【答案】A【分析】首先根据x+n=2m-32x-n=m求出【详解】解：由x+x=∵m≤3，n≥-3，∴x=即-2≤x≤2，∵y=2x2-4x+1，对称轴为直线x=-b2a=1且a=2∴当x=1时，y有最小值，最小值为y=2×12-4×1+1=-1，当x=-2时，y有最大值，最大值为y=2×（-2）2-4×（-2）+1=17，∴-1≤y≤17，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是求出自变量x的取值范围，进而求出y的取值．【题型8根据二次函数的增减性求字母的取值范围】【例8】（2023·四川泸州·二模）已知函数fx=x2-2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤xA．-3≤a≤4 B．-2≤a≤4【答案】D【分析】对任意的1⩽x1⩽a+2和1⩽x2⩽a+2，【详解】解：函数的对称轴为x=a，而x⩽3时，函数值随∵1⩽x1∴x=a故函数的最大值在x=1和x则x=1，x=a∵a∴a-1∴1距离a更远，∴x=1时，函数取得最大值为：∵对任意的1⩽x1⩽a+2和1⩽x2⩽a只需最大值与最小值的差小于等于9即可，∴8-2aa2解得-2⩽a∴3⩽故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是将|y1-【变式8-1】（2023·上海长宁·统考一模）如果抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3有最高点，那么m的取值范围是．【答案】m＞3【分析】根据二次函数y＝（3﹣m）x2﹣3的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即3﹣m＜0，即可得出答案．【详解】∵抛物线y＝（3﹣m）x2﹣3的顶点是此抛物线的最高点，∴抛物线开口向下，∴3﹣m＜0，∴m＞3，故答案为m＞3.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．【变式8-2】（2023·四川泸州·统考一模）已知y=ax2+2ax+2a2+3二次函数（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且A．2或-32 B．-2 C．-【答案】C【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后根据当x≥2时，y随x的增大而减小，且-2≤x≤1时，y的最大值为9，可以判断a的正负，得到关于a的方程，从而可以求得a的值．【详解】解：∵二次函数y=ax2+2ax+2a2+3=a（x+1）2+2a2-a+3，∴该函数的对称轴为直线x=﹣1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴a＜0，当x=﹣1时，y=9，∴9=2a2-a+3，解得，a1=﹣32，a2=2故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考三模）已知二次函数y＝12(s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则st的最大为（

A．4 B．6 C．8 D．49【答案】C【分析】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的s，t的取值范围，将st转化为含一个未知数的整式求最值．【详解】解：抛物线y＝12(s﹣1)x2+(t﹣6)x+1，的对称轴为直线x＝6-①当s＞1时，抛物线开口向上，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴6-ts-1≥2，即2s解得t≤8﹣2s，∴st≤s(8﹣2s)，∵s(8﹣2s)＝﹣2(s﹣2)2+8，∴st≤8．②当0≤s＜1时，抛物线开口向下，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴6-ts-1≤1，即s解得s≤7﹣t，∴st≤t(7﹣t)，t(7﹣t)＝﹣(t﹣72)2+49当s＝t＝72时，st有最大值49∵0≤s＜1，∴此情况不存在．综上所述，st最大值为8．故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于能够根据题意把st转换成关于t的二次函数求最值．【题型9二次函数图象与各项系数符号】【例9】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知二次函数y=ax2a≠0和一次函数

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据题干中的函数图象，可知a>0,b<0,c>0【详解】解：由图象得，二次函数y=∴二次项系数a>0一次函数y=∴b<0,∴-b2∴函数y=ax2+故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断a、b、c的符号，利用一次函数和二次函数的性质解答．【变式9-1】（2023·安徽·模拟预测）已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=cxA．B．C． D．【答案】A【分析】根据一次函数与反比例函数的位置关系即可得到a，b，c和0的大小关系，从而判断二次函数y=a【详解】∵一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限∴a>0，b∴二次函数y=ax2+bx-∵其中一个交点的横坐标为-∴-a+∴二次函数y=ax2+故选：A.【点睛】本题主要考查了通过一次函数和反比例函数的关系判断a、b、c和0的大小关系；得到三者的相关特性是判断二次函数图像走势的关键.错因分析中等难度题.失分原因是：1.不会通过题干给出的一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限得出a、b、c和0的大小关系；2.不会运用题干给出的其中一个交点的横坐标为得出a、b、c三者之间的关系.【变式9-2】（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设A、

A．

B．C．

D．

【答案】A【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD边长为4，AE∴AH=∴△∴=16-8=2∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为(2,8)从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．【变式9-3】（2023·广西·统考中考真题）已知反比例函数y=bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数B．C． D．【答案】D【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数y=∴b>0，若a<0，则-b2a>0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、当a>0，则-b2a<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．【题型10二次函数与三角形相结合的应用方法】【例10】（2023·青海·统考中考真题）如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A

(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2【答案】(1)y=-(2)152(3)M(-1，【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果；（2）连接OP，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻y=0求得A的坐标，从而求得OQ，PQ，OA的长，再根据S（3）设M(-1，m)，表示出AM和BM，根据AM【详解】（1）解：由题意得，-1+∴b=-2∴y=-（2）解：如图，连接OP，

∵y=-∴P(-1∴PQ=4，OQ由-x2-∴OA=3∴S四边形（3）解：设M(-1，m∵OA=3∴A-由AM2=∴m=∴M(-1【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．【变式10-1】（2023·山东泰安·统考中考真题）如图1，二次函数y=ax

(1)求二次函数的表达式；(2)若点P在二次函数对称轴上，当△BCP面积为5时，求P(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB+∠ACB【答案】(1)y(2)-52(3)正确，D【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）首先求出直线BC解析式，然后通过设P点坐标，并表示对应Q点坐标，从而利用“割补法”计算△BCP（3）首先连接AC，BC，设AC与对称轴交点为K，对称轴与x轴交点为H，连接BK，延长AD与对称轴交于点M，根据已知信息求出tan∠CBK，然后推出∠DAB=∠CBK，从而在Rt△AHM中求出HM【详解】（1）解：将A(-4,0),B(-1,0)16a-4∴抛物线解析式为：y=（2）解：由抛物线y=x2+5x设直线BC解析式为：y=将B-1,0，C0,4∴直线BC解析式为：y=4此时，如图所示，作PQ∥x轴，交BC于点

∵点P在二次函数对称轴上，∴设P-52∴PQ=∴S△∵要使得△BCP面积为5∴m+62=5，解得：m∴P的坐标为-52,4（3）解：正确，D-如图所示，连接AC，BC，设AC与对称轴交点为K，对称轴与x轴交点为H，连接BK，延长AD与对称轴交于点M，

由（1）、（2）可得OA=OC=4∴∠CAO=45°，根据抛物线的对称性，AK=∴∠KAB=∠KBA∵AB=3∴AK=∴CK=在Rt△CKB中，∵∠CBK+∠ACB∴∠DAB∴tan∠即：在Rt△AHM中，∵AH=-∴HM=∴M-设直线AM解析式为：y=将A-4,0、M-∴直线AM解析式为：y=-联立y=x2+5x∴小明说法正确，D的坐标为D-【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括“割补法”计算面积，以及解直角三角形等，掌握二次函数的性质，并熟练运用解三角形的方法进行数形结合分析是解题关键．【变式10