数字地形测量学课件第九章-平面控制测量

《数字地形测量学》编写小组平面控制测量主讲老师：联系电话：电子邮件：《数字地形测量学》第九章平面控制测量§9.1平面控制测量概述§9.2GPS控制测量§9.3导线测量§9.4单一导线测量的精度分析§9.5三角形网测量§9.6交会测量

测量工作

在工程建设领域中测量工作的内容如下控制测量地形图、房地产图、管网图、竣工图测绘施工放样变形监测§9.1平面控制测量概述

测量工作的原则测量工作应遵循以下两个原则：（1）从整体到局部，先控制后碎部对于总体测绘工作而言，应先总体布置，然后分阶段、分区、分期实施。在实施过程中要先布设平面和高程控制网，确定控制点平面坐标和高程，建立全国、全区统一坐标系。在此基础上进行细部测绘和工程施工测量。（2）每一步测量工作必须严格进行检核对于测绘工作的每一个过程、每一项成果都必须检核，在保证前期工作无误的情况下，方可进行下一步工作。只有这样，才能保证测绘成果的可靠性。§9.1平面控制测量概述一、控制测量的概念1控制测量

对控制网进行布设、观测、计算，确定控制点位置的测量工作。分为平面控制测量（确定平面坐标）和高程控制测量（确定高程）。控制点测区内具有控制意义的点。控制网由控制点组成的几何图形。§9.1平面控制测量概述

国家平面控制网国家平面控制网主要采用三角测量建立，按精度高低分为一、二、三、四等三角网。目前提供使用的国家平面控制网含三角点、导线点共154348个，构成1954北京坐标系统、1980西安坐标系两套系统。（本图片来源于国家测绘地理信息局网站）二、平面控制网的建立§9.1平面控制测量概述“2000国家GPS控制网”由国家测绘局布设的高精度GPSA、B级网，总参测绘局布设的GPS一、二级网，中国地震局、总参测绘局、中国科学院、国家测绘局共建的中国地壳运动观测网组成。（本图片来源于国家测绘地理信息局网站）共2609个点，通过联合处理将其归于一个坐标参考框架，形成了紧密的联系体系，可满足现代测量技术对地心坐标的需求，同时为建立我国新一代的地心坐标系统打下了坚实的基础。§9.1平面控制测量概述城市平面控制网为满足1:500～1:2000比例尺地形测图和城市建设施工放样的需要，在国家平面控制网的控制之下布设的控制网，按精度分为二、三、四等三角网或导线网。

工程平面控制网为满足施工测量，在国家平面控制网或城市平面控制网的控制下布设的平面控制网。§9.1平面控制测量概述三、平面控制测量基本方法GPS控制测量

应用GPS定位技术建立的控制网称为GPS控制网。既可以与常规大地测量一样，地面布设控制点，采用GPS定位技术建立控制网，也可以在一些地面点上安置固定的GPS接收机，长期连续接收卫星信号，建立CORS系统。为了将WGS-84世界大地坐标转换为国家或地方坐标系，至少应该联测两个已有的控制点。其中一个点作为GPS网在原有坐标系内的定位起算点，两个点之间方位和距离作为GPS网在原有网之间的转换参数，联测点最好多于两个，且要分布均匀、具有较高的点位精度以保证GPS控制点的可靠性及精度。§9.1平面控制测量概述导线测量

如图所示，将控制点用直线连接起来形成折线形，通过观测边长和转折角，根据起算数据经计算而获得导线点的平面坐标，即为导线测量。导线测量布设简单、每点仅需与前、后两点通视，选点方便，特别是在隐蔽地区和建筑物多而通视困难的城市，应用起来方便灵活。§9.1平面控制测量概述

三角形网测量

三角形网测量是在地面上选定一系列的控制点，构成相互连接的若干个三角形，组成各种网（锁）状图形；通过观测三角形的内角或（和）边长，再根据已知控制点的坐标、起始边的边长和坐标方位角，经解算三角形和坐标方位角推算可得到三角形各边的边长和坐标方位角，进而由直角坐标正算公式计算待定点的平面坐标。§9.1平面控制测量概述

交会测量交会测量即利用交会定点法来加密平面控制点。§9.1平面控制测量概述四、控制测量一般作业步骤技术设计、实地选点、标石埋设、观测和平差计算（1）控制测量的技术设计主要包括精度指标的确定和控制网的网形设计。（2）实地选点点位稳定，等级控制点应能长期保存；便于扩展、加密和观测。（3）标石埋设经选点确定的控制点点位，要进行标石埋设，将它们在地面上固定下来。（4）观测与计算§9.1平面控制测量概述五、平面控制点坐标计算基础

在控制网平差计算中，必须进行坐标方位角的推算和平面坐标的正、反算。

1、坐标方位角的推算由图（a）可知，当水平为左角时：由图（b）可知，当水平为右角时：综合上述两种情况，可得坐标方位角计算公式：当为左角时，其前取“+”，当为右角时，其前取“-”，若坐标方位角大于360°，则应减去360°，如果出现负值，则应加上360°。§9.1平面控制测量概述2、平面直角坐标正、反算如图所示，A为坐标已知点，已知AB的边长SAB和坐标方位角αAB,则，待定点B的坐标为：式中：所以，平面直角坐标正算公式为：§9.1平面控制测量概述2、平面直角坐标正、反算如图所示，A、B为坐标已知点，则AB的边长SAB为：其中，；AB的坐标方位角αAB为：由上式计算出的αAB不一定全是方位角，需根据纵横坐标增量的符号加以转换，其方法如表所示。坐标方位角+++----+§9.1平面控制测量概述第九章平面控制测量§9.1平面控制测量概述§9.2GPS控制测量§9.3导线测量§9.4单一导线测量的精度分析§9.5三角形网测量§9.6交会测量

GPS定位技术被广泛应用于建立各种级别、不同用途的GPS控制网。

GPS控制测量较之于常规方法，GPS在布设控制网方面具有测量精度高、选点灵活、不需要造标、费用低、全天候作业、观测时间短、观测和数据处理全自动化等特点。但由于GPS定位技术要求测站上空开阔，以便接收卫星信号，由此，GPS控制测量不适合隐蔽地区。GPS控制测量的主要内容包括控制网的技术设计、外业观测和GPS数据处理。§9.2GPS控制测量一、GPS控制网的技术设计1、GPS控制网的精度指标，见下表：级别相邻点基线分量中误差相邻点之间的平均距离/km水平分量/mm垂直分量/mmB51050C102020D20405E20403《全球定位系统（GPS）测量规范》§9.2GPS控制测量等

级平均边长（km）a(mm)b(1×10-6)最弱边相对中误差二等9≤5≤21/120000三等5≤5≤21/80000四等2≤10≤51/45000一级1≤10≤51/20000二级＜1≤10≤51/10000注：a表示固定误差；b表示比例误差系数。《卫星定位城市测量技术规范》§9.2GPS控制测量2.GPS控制网的图形设计目前的GPS控制测量，基本上都是采用静态相对定位的测量方法。这就需要两台以及两台以上的GPS接收机在相同的时间段内同时连续跟踪相同的卫星组，即实施所谓同步观测。同步观测时各GPS点组成的图形称为同步图形。(1)几个基本概念观测时段：接收机开始接收卫星信号到停止接收，连续观测的时间间隔称为观测时段，简称时段。同步观测：2台或2台以上接收机同时对同一组卫星进行的观测。同步观测环：3台或3台以上接收机同步观测所获得的基线向量构成的闭合环。异步观测环：由非同步观测获得的基线向量构成的闭合环。§9.2GPS控制测量（2）由多台接收机同步观测同一组卫星，此时由同步边构成的几何图形，称为同步图形(环)，如图9-11所示

图9-11同步图形示例

同步环形成的基线数与接收机的台数有关，若有N台GPS接收机，则同步环形成的基线数为：

基线总数

＝

N(N-1)/2

§9.2GPS控制测量(3)多台接收机构成的异步图形设计

GPS网的连接方式有：点连接、边连接、边点混合连接、网连接等。

点连接：相邻同步环间仅有一个点相连接而构成的异步网图。

图9-12GPS基线向量网布网的连接方式

网连接：相邻同步环间有3个以上公共点相连接，相邻同步图形间存在互相重叠的部分，即某一同步图形的一部分是另一同步图形中的一部分。

§9.2GPS控制测量1.选点

在GPS点位的选点工作中，一般应注意：

（1）点位应紧扣测量目的布设。

（2）便于其它测量手段联测和扩展，能与相邻1～2个点通视。

（3）点应选在交通方便、便于到达的地方，便于安置接收机设备。视野开阔，视场内周围障碍物的高度角一般应小于15°。

（4）点位应远离大功率无线电发射源（如电视台、电台、微波站等）和高压输电线，以避免周围磁场对GPS信号的干扰。

二、

GPS控制测量的外业工作§9.2GPS控制测量

（5）点位附近不应有对电磁波反射强烈的物体，例如：大面积水域、镜面建筑物等，以减弱多路径效应的影响。

（6）点位应选在地面基础坚固的地方，以便于保存。

（7）点位选定后，均应按规定绘制点之记，其主要内容应包括点位及点位略图，点位交通情况以及选点情况等。

二、

GPS控制测量的外业工作§9.2GPS控制测量2.外业观测

《全球定位系统（GPS）测量规范》规定：B、C、D、E级GPS控制网观测的基本技术要求按下表有关技术指标执行。

项目级别BCDE卫星截止高度角

/（°）≥10≥15≥15≥15同时观测有效卫星数≥4≥4≥4≥4有效观测卫星总数≥20≥6≥4≥4观测时段数≥3≥2≥1.6≥1.6时段长度≥23h≥4h≥60min≥40min采样间隔

/s3010～305～155～15§9.2GPS控制测量

《卫星定位城市测量技术规范》规定，GNSS测量各等级作业的基本技术要求应符合下表的规定。

项目

等

级观测方法二等三等四等一级二级卫星高度角（°）静

态≥15≥15≥15≥15≥15有效观测同类卫星数静

态≥4≥4≥4≥4≥4平均重复设站数静

态≥2.0≥2.0≥1.6≥1.6≥1.6时段长度（min）静

态≥90≥60≥45≥45≥45数据采样间隔(s)静

态10～3010～3010～3010～3010～30PDOP值静

态＜6＜6＜6＜6＜6§9.2GPS控制测量三、GPS测量数据处理

1.数据预处理

（1）对数据进行平滑滤波，剔除粗差，删除无效或无用数据；

（2）统一数据文件格式，将各类接收机的数据文件加工成彼此兼容的标准化文件；

（3）GPS卫星轨道方程的标准化，一般用一多项式拟合观测时段内的星历数据（广播星历或精密星历）；

（4）诊断整周跳变点，发现并恢复整周跳变，使观测值复原；

（5）对观测值进行各种模型改正，最常见的是大气折射模型改正。

§9.2GPS控制测量2.基线向量的解算

基线向量：如图所示，两台GPS接收机i和j之间的相对位置，即基线

，可以用某一坐标系下的三维直角坐标增量或大地坐标增量来表示，因此，它是既有长度又有方向特性的矢量。

图9-14基线向量图§9.2GPS控制测量3.GPS网平差

GPS网平差的类型有多种，根据平差的坐标空间维数，可将GPS网平差分为三维平差和二维平差，根据平差时所采用的观测值和起算数据的类型，可将平差分为无约束平差、约束平差和联合平差等。

§9.2GPS控制测量第九章平面控制测量§9.1平面控制测量概述§9.2GPS控制测量§9.3导线测量§9.4单一导线测量的精度分析§9.5三角形网测量§9.6交会测量

一、导线测量的主要技术要求

电磁波测距导线技术要求等级附合或闭合导线长度(km)平均边长(m)测角中误差（˝）测距中误差(mm)测回数方位角闭合差（˝）导线全长相对闭合差DJ1DJ2DJ6三等≤153000≤1.5≤18812－±3≤1／60000四等≤101600≤2.5≤1846－±5≤1／40000一级≤3.6300≤5≤15－24±10≤1／14000二级≤2.4200≤8≤15－13±16≤1／10000三级≤1.5120≤12≤15－12±24≤1／6000当附合导线长度短于规定长度的1/3时，导线全长绝对闭合差不应大于0.13m；特殊情况下，光电测距导线总长和平均边长可放长至本规定长度的1.5倍，但其全长绝对闭合差不应大于0.26m。注：n为测站数。§9.3导线测量图根电磁波测距导线的技术要求

比例尺符合导线长度（m）平均边长（m）导线相对闭合差测回数DJ6方位角闭合差（＂）测距仪器类型方法与测回数1:50090080≤1/40001Ⅱ级单程观测11:100018001501:20003000250注：n为测站数。§9.3导线测量二、导线的布设

1.附合导线

导线起始于一个已知控制点而终止于另一个已知控制点。

2.闭合导线

由一个已知控制点出发，最终又回到这一点，形成一个闭合多边形。

3.支导线

从一个已知控制点出发，既不附合于另一个已知控制点，也不闭合于原来的起始控制点。由于支导线缺乏检核条件，故一般只限于地形测量的图根导线中采用。

§9.3导线测量

4.附合导线网

附合导线网具有一个以上已知控制点或具有附合条件。

5.自由导线网

自由导线网仅有一个已知控制点和一个起始方位角。

图9-15导线的布设形式图9-15导线的布设形式§9.3导线测量二、导线的观测

导线的观测包括转折角和导线边的观测。

1．转折角的观测

转折角的观测一般采用测回法进行。当导线点上应观测的方向数多于二个时，应采用方向观测法进行。

在进行三、四等导线转折角观测，只有两个方向时，宜按左、右角观测，在总测回数中应以奇数测回和偶数测回分别观测导线前进方向的左角和右角。左角和右角分别取中数后，再按式（9-9）计算圆周角闭合差

，

值对于三、四等导线应分别不超过±3″和±5.0″。

（9-9）

2．导线边长观测

导线边长可采用电磁波测距仪测量，亦可采用全站仪在测取导线角的同时测取导线边的边长。导线边长应往返观测，以增加检核条件。电磁波测距仪测量的通常是斜距，还需观测竖直角，用以将倾斜距离改化为水平距离，必要时还应将其归算到椭球面上和高斯平面上。

§9.3导线测量3．三联脚架法导线观测

三联脚架法通常使用三个既能安置全站仪又能安置带有觇牌的基座和脚架，基座应有通用的光学对中器。如图9-16所示，将全站仪安置在测站

的基座中,带有觇牌的反射棱镜安置在后视点

和前视点

的基座中，进行导线测量。

图9-16三联脚架法导线观测§9.3导线测量三、导线测量的近似平差计算

1.支导线的计算

以图9-17为例，支导线计算步骤如下：

①设直线MA的坐标方位角为

，按式（9-3）计算各导线边的坐标方位角。

②由各边的坐标方位角和边长，按式（9-5）计算各相邻导线点的坐标增量。

③按式（9-4）依次推算

各导线点的坐标。

图9-17支导线计算§9.3导线测量2.仅有一个连接角的附合导线的计算

如图9-18所示为仅有一个连接角的附合导线，A、B为已知点，

为待定点，

（

）为转折角，

为导线的边长。导线的计算顺序与支导线相同，但其最后一点为已知点B,故最后求得的坐标

和

的值由于观测角度和边长存在误差，必然与已知的坐标

和

不相同，它将产生坐标闭合差

、

，即

（9-10）

可见，这种导线较之支导线增加了一项处理坐标闭合差的计算，最简便的处理方法为按各导线边的长度成比例地改正它们的坐标增量，其改正数按式（9-11）计算。在计算无误的情况下，由于计算误差的存在，导致计算出的改正数之和（绝对值）可能不等于坐标闭合差（绝对值），应进行强制改正，保证改正数之和与坐标闭合差等值反号。

§9.3导线测量

（9-11）

改正后的坐标增量为

（9-12）

求得改正后的坐标增量后，即可按式（9-4）依次推算

各导线点的坐标，此时,B点的坐标应等于已知值。

§9.3导线测量

在仅有一个连接角的附合导线计算中，导线全长相对闭合差是评定导线精度的重要指标，它是全长绝对闭合差

与其导线全长∑S的比值,通常用k表示，即

（9-13）

式中，

图9-18仅有一个连接角的附合导线计算§9.3导线测量3.具有两个连接角的附合导线计算

如图9-19所示为具有两个连接角的附合导线，由于B点观测了连接角，因此可由已知坐标方位角

推求BN的坐标方位角

，由于各转折角存在观测误差，使得

不等于已知坐标方位角

而产生坐标方位角闭合差

，即

（9-14）

由于各转折角都是按等精度观测的，所以坐标方位角闭合差

可平均分配到每个角度上，即每个角度应加上改正数

，

为左角时，其改正数按式（9-15）计算，

为右角时，其改正数按式（9-16）计算。在计算无误的情况下，计算误差可能引起角度改正数之和（绝对值）与闭合差（绝对值）不等，应进行强制改正，保证改正数之和与坐标方位角闭合差等值反号。（9-15）

（9-16）§9.3导线测量各转折角的观测值改正后的导线计算，与仅有一个连接角的附合导线的计算相同。

具有两个连接角的附合导线的精度可用坐标方位角闭合差和导线全长相对闭合差来评定，在图根导线测量中，通常以坐标方位角闭合差不应超过其限值来控制其测角精度。坐标方位角闭合差的限值，一般应为相应等级测角中误差先验值

的

倍，即

（9-17）

导线全长相对闭合差的计算与仅有一个连接角的附合导线相同。

图9-19具有两个连接角的附合导线计算§9.3导线测量具有两个连接角的附合图根导线算例见表9-8。

表9-8具有两个连接角的附合图根导线计算点

名观

测

角坐标方位角边

长S

M(°′″)(°′″)（m）（m）（m）（m）（m）2375930A(P1)+79901002507.691215.631570037225.85+4-207.91-4+88.21P2+716745362299.821303.801444620139.03+2-113.57-2+80.20P3+712311242186.271383.98875751172.57+3+6.13-3+172.46P4+718920362192.431556.41971834100.07+2-12.73-1+99.26P5+717959182179.721655.66971759102.48+2-13.02-2+101.65B(P6)+712927242166.721757.29464530∑=740.00∑=-341.10∑=+541.78N

∑8884518

§9.3导线测量4.单一闭合导线的计算

图9-20单一闭合导线计算

如图9-20所示为闭合导线，由于角度观测值存在误差，使得多边形内角和的计算值不等于其理论值，而产生角度闭合差，即

（9-18）

§9.3导线测量

角度改正后的导线计算，与仅有一个连接角的附合导线的计算相同，只是在计算坐标闭合差时，采用式（9-20）计算。

（9-20）

式中，

、

分别为各导线边的坐标增量。

其角度观测值改正数

按式（9-19）计算，计算出的改正数之和与角度闭合差应保证等值反号。

（9-19）

§9.3导线测量5.无连接角附合导线的计算

如图9-21所示为一无连接角导线，

、

为已知点，

、

分别为导线两端已知点之间的边长和坐标方位角；

、

分别为导线转折角和导线边的观测值；

和

分别为导线点坐标计算的假定值和平差值。

设起始边A1的假定坐标方位角为

，根据导线角的观测值可推算各导线边的假定坐标方位角，进而计算各导线边假定坐标增量，最终算得固定边AB的假定坐标增量

、

。由此可计算出已知点之间的边长计算值

和坐标方位角计算值

。

若令导线的旋转角为

，缩放比为Q，则有：

（9-21）

（9-22）

§9.3导线测量由于

；

，顾及到式（9-21）和式（9-22），得

令

；

，则有

(9-23)

当导线点i为终点B时，式（9-24）式可变为

§9.3导线测量在上式中，

为已知值，

为坐标增量计算值。由此解出Q1和Q2，即

将Q1、Q2代入式（9-23），可得计算各导线点坐标的公式

（9-24）

无连接角导线的精度可采用固定边长相对闭合差k来评定，即

（9-25）

式中，

，

、

可按式（9-8）计算。§9.3导线测量图9-21无连接角导线计算§9.3导线测量无连接角导线算例见表9-9。

表9－9无连接角导线计算表点名观测角值°′″观测边长m假定坐标方位角°′″假定坐标增量假定坐标坐标平差值mmmmmmA5264.1065004.762220.179872710+9.785+219.961117521425273.8915224.7235269.9815224.868197.917824851+24.757+196.362219105345298.6485421.0855291.2465421.644217.634935425-14.829+217.128316842125283.8195638.2135272.5605638.480186.208823637+23.950+184.661422016415307.7695822.8745293.2265823.542222.7161225318-120.936+187.021514617445186.8336009.8955168.9826008.390157.812891102+2.234+156.796B5189.0676166.6915168.4306165.205

§9.3导线测量6.单结点导线网的近似平差

如图9-22所示为单结点导线网，A、B、C为已知点，

、

、

为已知方向，J为结点，其计算步骤如下：

（1）

角度平差

首先选定与结点连接的任一导线边作为结边。一般选在边数较多的一条导线上（如JJ′）。由已知方向及转折角观测值分别沿线路Z1、Z2、Z3推算结边的坐标方位角

，设各条线路的转折角个数分别为n1

、n2、n3

，则结边的坐标方位角

的权为

（C1为任选的常数），

按加权平均值原理即可算得结边JJ′的坐标方位角的最或是值为

（9-26）

算得结边的坐标方位角最或是值后，则将三个已知方向到结边JJ′的导线作为三条附合导线，计算其角度闭合差，并改正各转折角的观测值，进而算出各导线边的坐标方位角的平差值。

§9.3导线测量（2）

坐标平差

由已知点及各边的观测边长和坐标方位角分别沿各线路计算结点的坐标为（

）、（

）、（

）。设线路的导线边总长为S1、S2、S3，则各线路推算结点坐标的权分别为

（C2任选的常数），则结点坐标的最或然值为：

（9-27）

算得结点J的坐标平差值后，可将其视为已知值，将Z1、Z2、Z3作为三条附合导线分别计算其坐标闭合差、坐标增量改正数和各导线点的坐标。

§9.3导线测量（3）精度评定

①角度观测值的精度评定

在导线网近似平差中，角度观测值的精度评定，一般按独立的附合环节的角度闭合差

计算测角中误差

，即：

（9-28）

也可以按导线节的角度改正数计算测角中误差，即：

（9-29）

式中，

分别为参与计算附合环节角度闭合差和计算导线节角度改正数的转折角的个数;r为独立的角度闭合差个数（对于单结点导线网应为汇集于结点的导线节条数减1）。

§9.3导线测量

②点位精度评定

设

为导线网纵、横坐标增量每公里中误差，一般按独立的附合环节的坐标闭合差计算，即：

（9-30）

也可以按各导线节的坐标增量改正数计算，即：

（9-31）

式中，

分别为参与计算附合环节坐标闭合差和计算导线节坐标增量改正数的导线边的总长。

由此，可计算导线每公里点位中误差为：

（9-32）

结点J的点位中误差为：

（9-33）

式中，

。§9.3导线测量图9-22单结点导线网§9.3导线测量四、导线测量错误的检查方法

1.角度闭合差超限，检查角度错误

如图9-23所示的附合导线中，假设转折角中含有粗差，则可根据未经调整的转折角观测值自A向B计算各导线边的坐标方位角和各导线点的坐标，并同样自B向A推算之。如果只有一点的坐标极为接近，而其余各点坐标均有较大的差数，则表明坐标很接近的这一点上，其测角有错误。若错误较大（如5°以上），直接用图解法也可发现错误所在。即先自A向B用量角器和比例直尺按角度和边长画导线，然后再由B向A画导线，则两条导线相交的导线点上测角有错误。

图9-23检查导线测量角度错误

§9.3导线测量

图9-25检查导线测量坐标方位角错误图9-24检查导线测量边长错误§9.3导线测量2．导线全长相对闭合差超限，检查边长或坐标方位角错误

由图9-24所示，导线全长闭合差BB′的坐标方位角之正切为：

根据上式求得

后，则将其与各边的坐标方位角相比较，若有与之相差90°者，则检查该坐标方位角有无用错或算错。若有与之平行或大致平行的导线边，则应检查该边长的计算。如果从手簿记录或计算中检查不出错误，则应到现场检查相应的边长观测。

上述导线测量错误检查方法，仅对只有一个错误存在时有效。§9.3导线测量第九章平面控制测量§9.1平面控制测量概述§9.2GPS控制测量§9.3导线测量§9.4单一导线测量的精度分析§9.5三角形网测量§9.6交会测量

一、直伸等边支导线终点的中误差

如图9-26所示为一直伸等边支导线，A(P1)是已知点，P2、P3、…、Pn+1是未知导线点，β1、β2、…、βn是转折角等精度观测值，S是导线各边的边长。图9-26直伸等边支导线终点的中误差§9.4单一导线测量的精度分析

由于测边有误差，将使导线点在导线长度方向产生位移，这种位移称为纵向位移，相应的中误差称为纵向中误差，以mt表示。由于测角有误差，将使导线点在导线长度的垂直方向产生位移，这种位移称为横向误差，相应的中误差称为横向中误差，以mu表示。

下面讨论测角误差与测边误差对导线终点Pn+1的影响：

设距离量测的单位权中误差为μ，当导线终点Pn+1离开已知点A的长度为

时，距离的量测中误差为

距离的量测中误差，也就是导线终点Pn+1在导线纵向的中误差，即（9-34）§9.4单一导线测量的精度分析

下面再讨论测角误差的影响：当第一个转折角

有误差

，其他转折角假设都无观测误差时，将使导线终点Pn+1产生横向位移

，而

。同样，当第二个转折角

有误差

，其他转折角假设都无观测误差时，将使导线终点Pn+1产生横向位移,而

。依次类推，由于

、

、…、

产生

、

、…、,将使导线终点Pn+1产生横向位移的真误差为

（9-35）导线终点Pn+1的横向中误差为（9-36）导线终点Pn+1的点位中误差为（9-37）§9.4单一导线测量的精度分析二、直伸等边附合导线闭合差的中误差

图9-27直伸等边附合导线

设导线转折角的观测值为(i=1,2,…,n+1),的真误差为,改正数为

，经过坐标方位角闭合差配赋后的角值为

，其真误差为

。

图9-27中附合导线的坐标方位角应满足的条件为

或

§9.4单一导线测量的精度分析式中，

当观测角是等精度、只考虑坐标方位角条件时，角度改正数等于坐标方位角闭合差平均值的反号（以导线左角为例，其结论对右角亦同），即

经过坐标方位角闭合差配赋的角度为

所以

的误差

为

（9-38）

将式（9-35）中的

用

替换就可以求得终点横向位移真误差

为

§9.4单一导线测量的精度分析顾及到式（9-38），上式为

根据上式，得出横向中误差

为

所以直伸附合导线闭合差的中误差为：

（9-39）§9.4单一导线测量的精度分析三、直伸等边附合导线最弱点的中误差

对于直伸附合导线而言，导线的纵向和横向中误差最大的地方是导线的中间点K（图9-28），K点距离已知点A、B的长度都是S/2。

求K点最后坐标的中误差。

从已知点A（或B）推算得的K点的点位中误差

，是将S/2、n/2分别代替式（9-39）中的S、n，而求得，即

而K点最后坐标的点位中误差为

（9-40）

图9-28直伸等边附合导线最弱点§9.4单一导线测量的精度分析第九章平面控制测量§9.1平面控制测量概述§9.2GPS控制测量§9.3导线测量§9.4单一导线测量的精度分析§9.5三角形网测量§9.6交会测量

三角形网是以三角形为基本图形构成的测量控制网。《工程测量规范》和《城市测量规范》中规定，三角形网测量的等级分为二、三、四等和一、二级。《工程测量规范》规定，各等级三角形网测量的主要技术要求，应符合表9-10的规定。表9-10三角形网测量的主要技术要求等级平均边长（km）测角中误差（″）测边相对中误差最弱边边长相对中误差测回数三角形最大闭合差（″）1″级仪器2″级仪器6″级仪器二等911/2500001/12000012--3.5三等4.51.81/1500001/7000069-7四等22.51/1000001/4000046-9一级151/400001/20000-2415二级0.5101/200001/10000-1230§9.5三角形网测量一、三角形网的布设和观测

三角形网由一系列连续的三角形构成，单个图形可以是单三角形、双对角线四边形(又称大地四边形)和中心多边形(图9-29)。

（a单三角形）(b大地四边形）

（c中心多边形）

图9-29三角形网的单个图形§9.5三角形网测量二、边角三角形网的数据处理

1.三角形网的条件闭合差的计算

（1）计算三角形闭合差

三角形闭合差为：

由三角形闭合差计算测角中误差的公式为：

（9-41）

式中n为三角形个数。

（2）计算大地四边形、中心多边形极条件闭合差

一个中心多边形如图9-30，选取O为极点则可写出：

用正弦定律来表示极条件

（9-42）

§9.5三角形网测量极条件闭合差为：

（9-43）

图9-30中心多边形§9.5三角形网测量

（3）计算三角形中观测值与计算值之间的较差

如图9-31所示，例如，计算值c′与观测角c的较差为：

(9-44)

图9-31边、角全部观测的三角形§9.5三角形网测量2.三角形网的平差计算

（1）方向误差方程式

设由测站k观测方向i的方向观测值为

，则方向ki的坐标方位角平差值

的方程为：

（9-45）

式中，

为定向角平差值，

为定向角近似值，

为定向角改正数，

为ki方向观测值平差值，

为方向观测值改正数。

设k、i两点的近似坐标分别为

及,相应的改正数为

及

，则根据平面坐标反算公式得：

将上式按台劳级数展开，并保留一次项，得：

（9-46)

§9.5三角形网测量式中，

为ki边的近似方位角，

为近似距离。

将式（9-46）代入式（9-45）经整理，并取S以千米为单位，坐标改正数

及

以分米为单位，则

（9-47）

式中

式（9-47）为方向误差方程式的一般形式，常数项l中包含的测站定向角近似值

，通常是取该测站上各方向（包括零方向）定向角的平均值。亦即

式中，

为测站k上的方向数。§9.5三角形网测量

式（9-47）中含有测站定向角未知数

，其系数为－1，为减少未知数的个数，可以用一组消去了定向角未知数

的虚拟误差方程组来代替测站k观测方向的误差方程式组，即

(9-48)

虚拟误差方程组中增加了一个和方程式

。设方向观测值中误差为

，选择比例常数为

，方向观测值的权为

，则和方程式的权为

。§9.5三角形网测量（2）边长误差方程式

设k、i两点的边长观测值为Ski，其改正数为

，根据边长计算公式，得：

将上式按台劳级数展开，并保留一次项，即得误差方程

（9-49）

式中

式中

式（9-49）为边长误差方程式的一般形式。设边长观测值中误差为

，选用与确定方向观测值权相同的比例常数,则边长观测值的权为

§9.5三角形网测量第九章平面控制测量§9.1平面控制测量概述§9.2GPS控制测量§9.3导线测量§9.4单一导线测量的精度分析§9.5三角形网测量§9.6交会测量

一、前方交会

在已知控制点A、B上设站观测水平角α、β，根据已知点坐标和观测角值，计算待定点P的坐标，称为前方交会（图9-32）。在前方交会图形中，由未知点至相邻两已知点间的夹角称为交会角。当交会角过小（或过大）时，待定点的精度较差，交会角一般应大于30°并小于150°。

图9-32前方交会

§9.6

交会测量

如图9-32所示，根据已知点A、B的坐标(xA、yA)和xB、yB)，通过平面直角坐标反算，可获得AB边的坐标方位角

和边长

，由坐标方位角

和观测角

可推算出坐标方位角

，由正弦定理可得AP的边长

。由此，根据平面直角坐标正算公式，即可求得待定点P的坐标，即：

当A、B、P按逆时针编号时，

，将其代入上式，得

顾及到

，则有

（9-50）

§9.6

交会测量由正弦定理可知：

将上式代入式（9-50），并整理得

（9-51）

式（9-51）即为前方交会计算公式，通常称为余切公式，是平面坐标计算的基本公式之一。

在此应指出：式（9-51）是在假定△ABP的点号A（已知点）、B（已知点）、P（待定点）按逆时针编号的情况下推导出的。若A、B、P按顺时针编号，则相应的余切公式为

（9-52）

§9.6

交会测量前方交会算例见表9-11。

表9-11前方交会计算

由于观测角均有误差，三个观测角之和一般不等于180°，它们的差值为三角形闭合差，即

°

将闭合差反号平均分配作为各观测角的改正数，

。观测角经改正后，就可以用与前方交会相同的公式计算待定点P的坐标。

点名观

测

角

值°′″角之余切纵

坐

标m横

坐

标mP52396.76186053.636A7206120.32292752845.15086244.670B6901000.38353052874.73085918.350∑0.706457§9.6

交会测量二、后方交会

仅在待定点P设站，向三个已知控制点观测两个水平夹角

，从而计算待定点的坐标，称为后方交会。

图9-33后方交会

后方交会如图9-33所示，图中A、B、C为已知控制点，P为待定点。如果观测了PA和PC之间的夹角

，以及PB和PC之间的夹角

，这样P点同时位于三角形PAC和三角形PBC的两个外接圆上，必定是两个外接圆的两个交点之一。

§9.6

交会测量

图9-33中，可由A、B、C三点的坐标，反算其边长和坐标方位角，得到边长a、b以及角度

，若能求出

和

角，则可按前方交会求得P点的坐标。由图9-33可知

（9-53）

由正弦定理可知

则

令

即

（9-54）

§9.6

交会测量

由式（9-54）求得

后，代入式（9-53）求得

，即可按前方交会计算P点坐标。

后方交会的计算方法很多，下面给出另一种计算公式（推证略）。这种计算公式的形式与广义算术平均值的计算式相同，故又被称之为仿权公式。

P点的坐标按下式计算：

(9-55)

式中：

§9.6

交会测量

为计算方便，采用以上仿权公式计算后方交会点坐标时规定：已知点A、B、C所构成的三角形内角相应命名为A、B、C（如表9-12中的示意图所示），在P点对A、B、C三点观测的水平方向值为Ra、Rb、Rc，构成的三个水平角为

。三角形三内角A、B、C由已知点坐标反算的坐标方位角相减求得，P点上的三个水平角

由观测方向Ra、Rb、Rc相减