Lesson1有限元第一章绪论

Lesson1有限元第一章绪论第一章

绪论1.1有限元法的定义1.2有限元法的发展与现状1.3有限元法的一般描述1.4有限元法在机械工程中的应用水泵液体分析-流体问题汽车整机变形分析-力学问题铝合金压铸件凝固过程-热问题

1.1有限元法的定义有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法.涉及复杂几何形状、荷载和材料特性的问题通常不能得到解析形式的数学解答。由数学表达给出的解析形式的解通常要求解常微分方程或偏微分方程，由于复杂的几何形状、荷载和材料特性通常得不到解析解。用有限元方法求解一个问题是要求解联立代数方程组，这些数值解给出连续体多个离散点的未知量的近似值。

连续场问题：通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续场问题。求解偏微分方程的数值解法：有限元法-函数插值有限差分法-数值微分有限体积法-数值积分

有限元法作为一种数值解法具有下列本质特性：解法：数学工具、可循的求解步骤和顺序。数值：与计算机计算密切相关，编制成程序和软件。思考：学习一种数学解题方法的关键？1.3有限元法的一般描述1.3.1有限元法的基本思想离散法：将不规则区域近似地分成有限个理想的规则区域，对理想的规则区域一一求解，从而得到全域的近似解。依据：如果无限细分，则结果与真实结果无限接近。•有限单元法是离散法的典型代表。1.3.1有限元法的基本思想（P3）-将连续体离散为若干个子区域（单元），单元通过节点连接成组合体；-在每个单元内采用一个简单的近似函数代替未知场变量函数，以便单元内任意位置的场函数值可以节点上的数值和相应的插值函数表示；1.3.1有限元法的基本思想-由于连接相邻单元的节点上，场变量函数具有相同的数值，则问题转化为只需要求解所有节点上的场变量的有限自由度问题；-基于变分原理或加权余量法，将控制微分方程转化为代数方程，应用数值方法求解，得到所有节点上的数值。1.3.2有限元分析的基本步骤以结构静力学问题为例：离散和选择单元类型选择位移函数定义应变位移和应力应变关系推导单元刚度矩阵和方程集合单元方程得到总的平衡方程组求解未知节点位移单元应变和应力的计算。步骤1离散和选择单元类型：把结构或连续体分割成许多单元。有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。通常把三维实体划分成4面体或6面体单元的网格，平面问题划分成三角形或四边形单元的网格。四面体四节点单元六面体8节点单元

三维实体的四面体单元划分三维实体的六面体单元划分三角形3节点单元

四边形4节点单元

平面问题的三角形单元划分平面问题的四边形单元划分(步骤2选择位移函数

步骤3单元刚度矩阵和载荷的推导)对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。以平面问题的三角形3结点单元为例。如图1-15所示，单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。图1-15三角形3结点单元单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量（vector）：结点位移

结点力

单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（tensor）来表示，

步骤4集合单元方程得到总的平衡方程组

步骤5求解未知结点位移

步骤6单元应变和应力的计算对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问题为例，如图1-16所示，在边界结点i上受到集中力作用。结点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。图1-16整体分析1.2有限元法的发展与现状1.2.1起源与早期工作科学技术发展的需要思想的萌芽：1908年里兹(W.Ritz)提出一种近似解法1943年库兰特(R.Courant)将整个截面划分成若干个三角形区域由于计算工作量太大，这些方法的发展受到了阻碍。计算机的出现为有限元技术的实际应用提供了可能1946年电子计算机诞生，杆系结构的结构矩阵法在计算机上首先得到应用1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。1960年克劳夫在论文“平面应力分析的有限单元法”中首次提出“有限单元法”这一术语在1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.H.Pian（卞学鐄）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。1969年斯查白(B.A.Szabo)发展了有限元的加权余量法特别是迦辽金(Galerkin)法，使有限元技术可以用于求解非结构问题1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）1.2.2有限元方法发展及现状1）数值计算理论研究的发展单元的类型和形式，自适应网格；有限元法的收敛性及误差分析有限元法的解法：Newton-Raphson法预测－校正法或广义中心法广义弧长法拉格朗日乘子法、惩罚函数法2)应用领域的不断扩大由平衡问题扩展到：特征值问题、瞬态问题由弹性问题扩展到：弹塑性、粘弹性、土力学与岩石力学、疲劳、脆性断裂由结构计算问题扩展到：结构优化设计问题由固体力学扩展到：流体力学、渗流与固结理论、热应力、其它领域和交叉学科如冰川与地质力学、生物力学等由力学问题发展到：热传导、流场、磁场电场以及建筑声学与噪音等问题固体力学热电磁声流体3）有限元软件技术的发展早期：针对特定问题编制的专用软件，轴对称、平面应力现在：用于研究和发展有限单元法软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。4）待发展的方面1)新的材料本构模型和单元型式2)结构在复杂环境条件下的全寿命过程响应分析3)数值分析方法多重非线性耦合分析、多场耦合分析跨时间/空间尺度，如年到10-12秒，10米到10-12米非确定性（随机、模糊）分析分析结果评估和自适应分析（智能分析）4)有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统的集成1.4有限元法在机械工程中的应用有限元应用实例结构分析：静力分析，强度分析转向机构支架的强度分析（用MSC/Nastran完成）有限元应用实例金属成形过程的分析（用Deform软件完成）分析金属成形过程中的各种缺陷。型材挤压成形的分析。型材在挤压成形的初期，容易产生形状扭曲。螺旋齿轮成形过程的分析有限元应用实例T形锻件的成形分析有限元应用实例结构与焊缝布置焊接残余应力分析（用Sysweld完成）

焊接过程的温度分布与轴向残余应力有限元应用实例热处理过程的分析

BMW曲轴的感应淬火（InductionquenchingofcrankshaftsatBMW，用SysWeld软件完成）在曲轴表面获得压应力，可以提高曲轴的疲劳寿命。曲轴的有限元模型有限元应用实例有限元模型的局部有限元应用实例沿网格线52的残余应力分布，红线为预测的轴向应力与径向应力之差，黑点为实测值有限元应用实例复杂形状工件的组织转变预测预测工件的组织分布和机械性能二分之一工件的有限元模型