小学数学五大几何模型

小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；反之，如果，则可知直线平行于．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的对应份数为．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型①；②．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB例题精讲一、鸟头定理如图16-4，已知．AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少?【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有=，所以=×=同理有=,即==×=.类似的还可以得到=×=，=×=．所以有=-(++)=(1)=．即为．【答案】。如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，．所以【答案】3.5。二、三角形相似模型如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，是的中点，则三角形的面积是平方厘米．【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线．取的中点，连接，设交于．则三角形被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边，可知三角形的面积等于(平方厘米)，所以(厘米)，那么(厘米)．因为是三角形的中位线，所以(厘米)，所以三角形的面积为(平方厘米)．【答案】8。如图，三角形的面积为60平方厘米，、、分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是平方厘米．【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为与的面积之差，又可以转化为与的面积之差．(法1)如图，连接．由于、、分别为各边的中点，那么为平行四边形，且面积为三角形面积的一半，即30平方厘米；那么的面积为平行四边形面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于为三角形的中位线，长度为的一半，则，所以；，所以．那么的面积占面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)．(法2)如图，连接．根据燕尾定理，，，所以平方厘米，而平方厘米，所以平方厘米，那么阴影部分面积为(平方厘米)．【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：⑴利用面积公式：底高；⑵利用整体减去部分；⑶利用比例和模型．【答案】12.5。如图，已知,点分别在上，且，则是多少？【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答的面积已知，若知道的面积占的几分之几就可以计算出的面积．连接．∵∴∴与平行，∴∵，∴∴【答案】10。如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答(法)由，有，所以，又，所以，所以，所以占的，所以．(法)如图，连结，则(，而，所以，()．而()，因为，所以，则()，阴影部分面积等于()．【答案】三、蝴蝶模型梯形的下底是上底的倍，三角形的面积是，问三角形的面积是多少？【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答根据梯形蝴蝶定理，，，所以．【答案】4。如图，梯形中，、的面积分别为和，求梯形的面积．【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答根据梯形蝴蝶定理，，所以，，，．【答案】7.5。如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是，3的面积就是．【答案】20。如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．【答案】1。在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米．【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．【答案】12。右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．【答案】4。E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为6，而顶上的三角形为6×6÷4=9，“？”处的三角形面积为9+6-6-4=5从而所求四边形面积为5=6=11.【答案】11。如图所示，、将长方形分成4块，的面积是5平方厘米，的面积是10平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答连接，根据梯形模型，可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)．【答案】25。如图所示，、将长方形分成4块，的面积是4平方厘米，的面积是6平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答(法1)连接，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形的面积和三角形的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形的面积为(平方厘米)，所以长方形的面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)．(法2)由题意可知，，根据相似三角形性质，，所以三角形的面积为：(平方厘米)．则三角形面积为15平方厘米，长方形面积为(平方厘米)．四边形的面积为(平方厘米)．【答案】11。如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米．【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．【答案】9。正方形的边长为，是的中点（如图）。四边形的面积为。【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空连结，，即，，所以。【答案】15。如图，长方形中，是直角三角形且面积为54，的长是16，的长是9．那么四边形的面积是．【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空解法一：连接，依题意，所以，则．又因为，所以，得，所以．解法二：由于，所以，而，根据蝴蝶定理，，所以，所以．【答案】。四、燕尾定理如右图，面积为的中，，，，求阴影部分面积．【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答设交于，交于，交于．连接，．∵，，∵，，∴∵∴，∵∴．同理∴，∵，∴，又∵，∴，同理，∵，∴，∴．同理个小阴影三角形的面积均为．阴影部分面积．【答案】。如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答连接、、．根据燕尾定理，，，所以，那么，．类似分析可得．又，，可得．那么，．根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的图形的面积之和为，所以四边形的面积为．【答案】。课堂检测四个面积为的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答如图，将原图扩展成一个大正三角形，则与都是正三角形．假设正六边形的边长为为，则与的边长都是，所以大正三角形的边长为，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形的面积为．由于，，所以与三角形的面积之比为．同理可知、与三角形的面积之比都为，所以的面积占三角形面积的，所以的面积的面积为．【答案】。已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形的面积是．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答从图中可以看出，虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的，所以虚线外图形的面积等于，所以五边形的面积是．【答案】。家庭作业仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。【考点】三角形的鸟头模型【难度】5星【题型】解答连接DA并延长交BC边的延长线于E点，然后测出EA和ED的长度，由于EA与ED在一条直线上，所以测一次就能EA和ED长度，根据共边定理可知，三角形ABC与三角形BCD的面积比就等于EA比ED，故最少测量1次就可解决问题。【答案】1次。如图，正方形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，J为GD的中点，EJ交CD于I。已知正方形ABCD边长为10cm，则图中阴影部分的面积是_____cm2.【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空方法一、连结EG、FJ可得GI：IF=2:3，所以阴影部分的面积应该是正方形EFGH的十分之二，也就是大正方形的十分之一，为10。方法二：根据同底等高的两个三角形面积相等，左图中阴影面积与右图中的阴影面积相等。只要找到底边的比例关系便可以解答。根据“相似三角形”就是常说的沙漏定理。来找到底边a、b的比例关系，但是需要添加辅助线，如图所示：延长EA到K，使得EA=AK因为EK：GJ=4:1，所以EI：IJ=4：1，三角形EGJ的面积是正方形面积的八分之一（）【答案】10。如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以同理可得，,,而，所以，．同理，,所以，,,【答案】。如图，，，，，．求．【考点】三角形的鸟头模型【难度】3星【题型】解答本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三