微积分复习无穷小问题

微积分复习无穷小问题*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-历史微积分是经过了长时间的酝酿才产生的。积分的思想，在阿基米德时代已经萌芽。16、17世纪之交，开普勒、卡瓦列里、费马、沃利斯，特别是巴罗等人作了许多准备工作。因而微分学的起点远远落在积分学之后。

Leibniz莱布尼兹（1646～1716）31岁时，作为巴黎外交官，结识惠更斯、巴罗、牛顿等名流，开始对微积分进行研究。1684年，莱布尼茨发表《关于极大极小以及切线的新方法》*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-历史牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿。任何一项重大发明，都不可能一开始便完整无瑕。17世纪的微积分带有严重的逻辑困难，以致受到多方面的非议，它的主要原因之一就是无穷小问题。*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-历史莱布尼兹发现微分和积分是一对互逆的运算，并建立微积分基本定理，从而使微积分学成为统一整体。牛顿从运动学角度出发，以“瞬”（无穷小的“o”）的观点创建了微积分。莱布尼兹认为dx和x相比，如同点和地球，或地球半径与宇宙半径相比。牛顿、莱布尼茨的极限观念是十分模糊的。究竟极限是什么，无穷小是什么，在当时是带有根本性质的难题。现在，无穷小理论也是大家学习微积分的关键。*冯国臣gcfeng@无穷小的定义1.定义:极限为零的变量称为无穷小.*冯国臣gcfeng@无穷小的性质-无穷小的运算性质1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.性质2无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.性质3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.性质4在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.性质5常数与无穷小的乘积是无穷小.性质6有限个无穷小的乘积也是无穷小.*冯国臣gcfeng@无穷小与无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定理

同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数，为无穷大.*冯国臣gcfeng@无穷小与函数极限注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.3.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);4.*冯国臣gcfeng@无穷小理论一切极限问题均可以表示为无穷小问题*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-从极限计算开始定理，则解商的法则不能用例所以*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1解例(消去零因子法)*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例解(无穷小因子分出法)*冯国臣gcfeng@无穷小推广极限法*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用求下列各极限1、2；2、；3、-1；4、-2；5、；6、0；7、答案：*冯国臣gcfeng@无穷小的比较*冯国臣gcfeng@*冯国臣gcfeng@常用等价无穷小*冯国臣gcfeng@两个重要极限(1)(2)用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,*冯国臣gcfeng@无穷小到底有多少小从中学的无穷等比数列求和谈起*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1常用函数公式*冯国臣gcfeng@特别提示：证明此处，也成立*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例解*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例计算解令*冯国臣gcfeng@例解无穷小及其应用-1*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1例解*冯国臣gcfeng@例解原极限=无穷小及其应用-1*冯国臣gcfeng@无穷小及其应用-1解*冯国臣gcfeng@解*冯国臣gcfeng@解练习均为正数.*冯国臣gcfeng@例解*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@部分应用例题*冯国臣gcfeng@*冯国臣gcfeng@部分应