2015-2016-1《线性代数》期末试卷A问题详解及评分实用标准

wordword/wordA卷A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案〔32学时必修〕专业班级某某学号开课系室应用数学系考试日期2016年1月15日题号一二三四五六七总分此题总分为1515211612147此题得分阅卷人须知事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题〔请勿用铅笔答题〕，反面与附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，总分为100分；试卷本请勿撕开，否如此作废；4.本试卷正文共7页。此题总分为15分此题得分说明：试卷中的字母表示单位矩阵；表示矩阵的伴随矩阵；表示矩阵的秩；表示可逆矩阵的逆矩阵.一、填空题〔请从下面6个题目中任选5个小题，每一小题3分；假如6个题目都做，按照前面5个题目给分〕1．5阶行列式中，项前面的符号为【负】.2.设，是的第4行元素的代数余子式，如此等于【0】.3．设，为矩阵，且，如此【2】.4．假如向量组线性相关，如此【1】.5．设是3阶实的对称矩阵，是线性方程组的解，是线性方程组的解，如此常数【1】.6．设和是3阶方阵，的3个特征值分别为，假如，如此行列式【-8】.二、选择题〔共5个小题，每一小题3分〕此题总分为15分此题得分1.设为3阶矩阵，且，如此行列式等于【A】.(A)；(B)；(C)；(D).2.矩阵的逆矩阵为【A】．(A)；(B)；(C)；(D).3．设是阶非零矩阵，满足，假如，如此【A】．(A)；(B)；(C)可逆；(D)满秩.4.设，如此的第3行第1列的元素为【D】．(A)；(B)；(C)；(D).5．设，是使二次型正定的正整数，如此必有【B】．(A)；(B)；(C)；(D)以上选项都不对.此题总分为21分此题得分三、求解如下各题(共3小题，每一小题7分)1.假如线性无关，，线性相关，求.解：因为与线性相关，所以必定存在不全为零的数，使得2分整理得：由于线性无关，因此可得由于不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此，由此得k=6.7分2.设，，假如，求.解：由可知，由此可得又2分因此因此可得.7分3.设矩阵，且，求与的值．解：由可知的特征值一样，而易知的特征值为-1,t,3，因此的特征值也为-1,t,3利用特征值的性质可得5分解得.7分此题总分为16分此题得分四、〔共2小题，每一小题8分〕1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令,把进展行变换，化为行最简形，6分如此是C的列向量组的一个最大无关组，且，故是A的列向量组的一个最大无关组，且.8分2.问满足什么条件，才能使得共有两个线性无关的特征向量？解：由，得A的特征值：要使A有两个线性无关的特征向量，如此特征值3对应一个线性无关的特征向量，即的解空间的维数为1，如此，6分而，因此可知.8分此题总分为12分此题得分五、问为何值时，线性方程组无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，如此，对其进展行变换，化为行阶梯形：，易知，当时，，方程组无解；当时，，方程组有无穷多解；6分当时，，与原方程组同解的方程组为，由此可得原方程组的通解为.12分此题总分为14分此题得分六、某某二次型的秩，并求正交变换，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为,故二次型的秩为1.4分由，可得：，当求解的一个根底解系：，单位化：,当求解的一个根底解系：，正交化：，单位化：，12分令，如此可得正交变换，二次型的标准形为：.14分此题总分为7分此题得分七、〔请从下面2个题目中任选1个，假如2个题目都做，按照第1题给分〕1.“设是阶实的反对称矩阵，如此对于任何维实的列向量，和正交，且可逆〞．您认为该结论成立吗？请说明理由.解：该结论成立。由于为反对称阵，如此，对于任意维实的列向量，有：所以，即和正交；3分考虑，即，等式两边同时左乘，得，由此得：，即只有零解，所以，可逆.7分2.设矩阵满足，