7.2万有引力定律（讲义）

7.2万有引力TOC\o"13"\h\u知识点1：行星与太阳间的引力 2知识点2：月——地检验 3知识点3：万有引力定理 4知识点4：万有引力常量的测定 5知识点5：重力和万有引力的关系 501万有引力定律的内容及理解 602万有引力的计算 803“填补法”求万有引力 904空壳内及地表下的万有引力 1105不同纬度的重力加速度 15【基础练·强化巩固】 16【拓展练·培优拔高】 22课堂目标关键词1.知道万有引力存在于任意两个物体间，明确其表达式和适用范围。2.理解定律的推导过程，认识发现科学规律过程中猜想与求证的重要性。3.知道万有引力定律发现的重大意义。4.会用万有引力定律解决引力计算问题，了解引力常量G的测定方法。①月——地检验②万有引力定律③引力常量④重力知识点1：行星与太阳间的引力【问题情景】行星在各自的轨道上绕太阳运行，且遵循一定的运动规律。这些行星为什么会如此运转?是什么力量支配着行星如此和谐的运动?牛顿对行星运动的解释：行星做曲线运动时，受到了力的作用，使行星沿圆轨道运动需要有指向圆心的力，这个力就是太阳对它的引力。牛顿从研究太阳与行星之间的引力，想到“天上”与“地上”力的统一，在前人研究的基础上提出了万有引力定律，获得巨大成功，为近代物理学的发展作出了突出的贡献。1.太阳对行星的引力（1）模型构建假设行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力F．（2）太阳对行星引力的推导设行星的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M．则由匀速圆周运动的规律可知：……①……②由①②得，．③又由开普勒第三定律，……④由③④式得……⑤即：……⑥这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比．2.行星对太阳的引力根据牛顿第三定律，力的作用足是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力F′也应与太阳的质量成正比，且F′＝F．即……⑦3.太阳雨行星间的引力比较⑥⑦式不难得出，写成等式，式中G是比例系数，与太阳、行星无关．注意：在中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推导引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力表达式的．特别提示特别提示（1）G是比例系数，，与行星和太阳均没有关系。（2）太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。（3）由于太阳的质量远大于各行星的质量，一般只考虑太阳与行星间的引力，不计行星间的相互吸引力。知识点2：月——地检验牛顿的思考:太阳与行星间的引力、行星与卫星间的引力以及地球对其表面上物体的引力，这些力的本质是否相同?它们是否为同一种性质的力?提出问题研究月球和地球间的相互作用力，如果地球对月球的作用力所产生的加速度遵从F=ma的规律，即可确定“天上”的力与“地上”的力本质相同。设地球的半径为R，地球与月球间的距离为r，取地球表面上的物体（苹果）和月球为研究对象，假若所受作用力的本质相同，则理论推导的结论与实际观测的结果就相同。理论推导天文观测4.结论地面上的物体所受地球的引力、月球索道地球的引力、太阳与行星间的引力是同一性质的力，都遵循相同的规律。知识点3：万有引力定理牛顿的思考：树上的苹果砸在了牛顿的头上，使牛顿思考地球“拉着”月球运转的力与地球“拉着”苹果的力是香性质是否相同？“月一地检验”证实了地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一性质的力，于是牛顿大胆地把这种作用推广到宇宙的万物之间，认为自然界中任意两个物体间也存在这样的力。1.万有引力定理（1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。（2）公式，其中G为万有引力常量，（3）适用条件①万有引力公式适用于质点间引力大小的计算。对于实际物体间的相互作用，两个物体的距离远大于本身大小（物体可视为质点）时也适用。②两个质量分布均匀的球体间的万有引力，也可用此定律来计算，其中r是两球心间的距离。③一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力也可用此定律来计算，其中r为球心到质点间的距离知识点4：万有引力常量的测定1.卡文迪许牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G.英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值.通常情况下取2.引力常量的测定意义（1）卡文迪什实验对引力常量测定，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性;（2）引力常量的测定使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值;（3）扭秤实验巧妙地利用“光杠杆”使微小量放大，开创了测量弱力的新时代;（4）万有引力常量G的测定表明：物理瑰丽的发现需要理论上的推力和实验的反复验证才能完成知识点5：重力和万有引力的关系1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示.2.两个特殊位置的重力（1）在赤道上：物体的万有引力的两个分力F向和mg在一条直线上，则F=F向+mg，所以mg=F－F向=Geq\f(Mm,R2)－mω2R最大，此时重力最小。（2）当在两极处：向心力为零，故重力等于万有引力，即：mg＝F引⟹mg＝Geq\f(Mm,R2).特别提示特别提示从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F向＝mω2r减小，F向与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.2.重力与高度的关系若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq\f(Mm,R＋h2)（R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度）.在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.特别提示特别提示（1）重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力.（2）在忽略地球自转的情况下，认为mg＝Geq\f(Mm,R2).01万有引力定律的内容及理解【典例1】（多选）关于万有引力公式F＝G的理解，以下说法中正确的是（）A．可看作质点的两物体间的引力可用公式F＝G计算B．由公式F＝G可知，两物体紧靠在一起时万有引力无穷大C．卡文迪什首先用试验测定了引力常量G的数值D．两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的【答案】AC【详解】A．只有可看作质点的两物体间的引力可用F＝G计算，但是不能看作质点的两个物体之间依然有万有引力，只是不能用此公式计算，选项A正确；B．万有引力随物体间距离的减小而增大，但是当距离比较近时，计算公式就不再适用，所以说万有引力无穷大是错误的，选项B错误；C．引力常量的大小首先是由卡文迪什通过扭秤装置测出来的，选项C正确；D．根据F＝G可知两个质点质量不变，距离变为原来的2倍，则它们之间的万有引力将变为原来的，选项D错误。故选AC。【变式11】下列说法正确的是（）A．万有引力定律的数学表达式适用于任意两物体间的作用力计算B．据，当时，物体、间引力趋于无穷大C．把质量为的小球放在质量为、半径为的匀质大球球心外，则大球与小球间万有引力D．两个质量分布均匀的、分离的球体可视为质量分别集中在球心，它们之间的相互作用力可以用计算，是两球体球心间的距离【答案】D【详解】A．万有引力定律的数学表达式适用于两质点间或两质量分布均匀的球体之间的作用力计算，A错误；B．当时，物体已经不能看成质点，物体、间引力不能用公式计算，B错误；C．把质量为的小球放在质量为、半径为的匀质大球球心外，此时两球心距离大于，C错误；D．两个质量分布均匀的、分离的球体可视为质量分别集中在球心，它们之间的相互作用力可以用计算，是两球体球心间的距离，D正确。故选D。【变式12】（多选）下列说法正确的是（）A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的D．在探究太阳与行星间引力的时候，牛顿认为太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力【答案】AB【详解】A．在探究太阳对行星的引力规律时，引用了公式，该关系式是牛顿第二定律，可以在实验室中验证，故A正确；B．在探究太阳对行星的引力规律时，引用了公式，该关系式是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的，故B正确；C．开普勒的三大定律是通过对行星运动的观察而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，都是在实验室无法验证的，故C错误；D．在探究太阳与行星间引力的时候，牛顿认为太阳对行星的引力等于行星对太阳的引力，故D错误。故选AB。02万有引力的计算【典例2】飞船运行到地球和月球间某处时，飞船所受地球、月球引力的合力恰好为零。已知地球与月球质量之比为，则在该处时，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离之比为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设地球质量与月球质量分别为M1、M2，飞船到地球中心的距离与到月球中心的距离分别为r1、r2，飞船质量为m，飞船所受地球、月球引力平衡解得故选C。【变式21】如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，则两球的万有引力大小为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由公式可知两球间万有引力大小为故选D。【变式22】两个质点之间万有引力的大小为F，如果将这两个质点之间的距离变为原来的3倍，两个质点的质量都变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设原来两质点的质量分别为、，距离为，则两个质点之间万有引力的大小为如果将这两个质点之间的距离变为原来的3倍，两个质点的质量都变为原来的2倍，那么它们之间万有引力的大小变为故选B。03“填补法”求万有引力【典例3】将地球看成均匀球体，已知均匀球体对球外物体的万有引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力。假设在紧贴地球表面处挖去一半径为的球（R为地球半径），如图所示，在图中A点放置一质量为m的质点，则该质点在挖空前后受到的万有引力的比值为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】未挖前，在A处的质点受到的万有引力为挖去部分对A处质点的万有引力为故A处质点在挖空前后受到的万有引力的比值为故选A。【变式31】如图所示为一质量为M的球形物体，质量分布均匀，半径为R，在距球心2R处有一质量为m的质点。若在球心与质点的连线上挖去两个半径均为的小球两球表面相切。已知引力常量为，则球形物体剩余部分对质点的万有引力的大小为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据由于挖去的球体半径是原球体半径的，则挖去的球体质量是原球体质量的，所以挖去的球体质量，未挖时，原球体对质点的万有引力挖去左边部分对质点的万有引力挖去右边部分对质点的万有引力则剩余部分对质点的万有引力大小故ABC错误，D正确。故选D。【变式32】如图所示，在半径为R均匀质量分布的某个球形天体中，挖去一半径为的球形空穴，空穴跟球形天体相切。另一均匀小球，其球心位于跟空穴中心连线上的A处，小球球心与球形空穴中心距离为d=2R，万有引力常量为G，已知两个球之间的万有引力大小为F0。现将小球向左移动使得d=，这时两球间的引力F与F0的比值约等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】假设球体完整，对小球的万有引力为挖去部分对小球的万有引力为剩余部分球体对小球的万有引力为当小球左移动使得时，同理假设球体完整，对小球的万有引力为挖去部分对小球的万有引力为剩余部分球体对小球的万有引力为所以故选A。04空壳内及地表下的万有引力【典例4】如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（）A． B． C． D．0【答案】C【详解】将挖空部分填满，大球体的剩余部分对该质点的万有引力与填入球体对质点的万有引力的质量和等于，填满的大球体对质点的万有引力。由于质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则填满后大球体的有效质量为得大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为故选C。【变式41】（多选）如图为某设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，为隧道的中点，与地心O的距离为，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转影响。已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P点到的距离为x，则（）A．列车在隧道中A点的合力大小为mgB．列车在P点的重力加速度小于gC．列车在P点的加速度D．列车在P点的加速度【答案】BD【详解】A．列车在隧道中A点受到地球指向地心的万有引力与垂直于隧道向上的支持力，如图所示则有，，解得A错误；B．由于质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，则在P点有由于质量均匀分布，则有解得B正确；CD．令，根据上述，则有，解得C错误，D正确。故选BD。【变式42】（多选）如图所示，是一个半径为，质量为的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为的球，并在空心球内某点放置一个质量为的质点。若已知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，则球剩余部分对该质点的万有引力（）A．方向由点指向连线上某点 B．方向与连线平行C．大小为 D．大小为【答案】BC【详解】AB．设球的密度为，则实心大球质量可表示为由题意可知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，故实心大球对P点的引力等于以为半径的实心小球对质点P的引力。以为半径的实心小球的质量为故以为半径的实心小球对P点的引力为同理，以为半径的实心小球的质量为则以为半径的实心小球对P点的引力为受力情况如图由几何关系可知故A错误，B正确；CD．由上述分析可知解得C正确，D错误。故选BC。05不同纬度的重力加速度【典例5】一半径为R、质量分布均匀的球形行星绕其自转轴匀速转动。若质量为m的物体在该行星两极时的重力为G0，在该行星赤道上的重力为，设行星自转的角速度为ω，则下列表达式正确的是（）A．ω＝ B．ω＝C．ω＝ D．ω＝【答案】A【详解】在两极上G＝G0在该行星赤道上时，万有引力、重力、向心力满足关系＝G0＋mω2R解得ω＝故选A。【变式51】假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为（

）A． B． C． D．g0－g【答案】A【详解】根据重力和万有引力的关系，在两极有在赤道有则在与赤道平面的夹角为60°的质点的向心加速度为解得故选A。【变式52】假设地球可视为质量分布均匀的球体，由于地球的自转，地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g1，则在纬度为45°的地球表面上重力加速度为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】物体在两极时，根据万有引力等于重力，可得物体在赤道处，由万有引力的一个分力提供向心力，另一分力为重力，则有式中T是地球自转周期。在纬度为45°的地球表面上时，设向心力为F，由余弦定理得：其中，，解得，故选B。【基础练·强化巩固】一、单选题1．一半径为R、质量分布均匀的球形行星绕其自转轴匀速转动。若质量为m的物体在该行星两极时的重力为G0，在该行星赤道上的重力为，设行星自转的角速度为ω，则下列表达式正确的是（）A．ω＝ B．ω＝C．ω＝ D．ω＝【答案】A【详解】在两极上G＝G0在该行星赤道上时，万有引力、重力、向心力满足关系＝G0＋mω2R解得ω＝故选A。2．假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°。其他条件不变，则质点位置的向心加速度为（

）A． B． C． D．g0－g【答案】A【详解】根据重力和万有引力的关系，在两极有在赤道有则在与赤道平面的夹角为60°的质点的向心加速度为解得故选A。3．关于行星运动规律、万有引力定律的发现过程，下列说法错误的是（

）A．卡文迪什最早通过实验较准确地测出了引力常量B．伽利略发现了行星绕太阳运动的轨道是椭圆C．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律D．牛顿在寻找万有引力的过程中，他应用了牛顿第二定律、第三定律，以及开普勒第三定律【答案】B【详解】A．卡文迪什最早通过实验较准确地测出了引力常量，故A正确；B．开普勒发现了行星绕太阳运动的轨道是椭圆，故B错误；C．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律，故C正确；D．牛顿在寻找万有引力的过程中，他应用了牛顿第二定律、第三定律，以及开普勒第三定律，故D正确。本题选错误项，故选B。4．以下关于行星运动及万有引力的描述正确的是（）A．开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是圆B．太阳对行星的引力与地球对月球的引力属于不同性质的力C．行星在椭圆轨道上各个地方的速率均相等D．卡文迪许利用扭秤实验测出了引力常量的数值【答案】D【详解】AC．开普勒认为行星绕太阳运行的轨道是椭圆，行星在椭圆轨道上各个地方的速率不相等，故AC错误；B．太阳对行星的引力与地球对月球的引力属于同种性质的力，故B错误；D．卡文迪许利用扭秤实验测出了引力常量的数值，故D正确。故选D。5．关于万有引力定律，下列说法正确的是（

）A．开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力B．由万有引力定律的公式可知，当两个物体的距离趋近于零时，两物体间的万有引力趋于无穷大C．卡文迪什在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值D．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”【答案】C【详解】A．牛顿认为地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力，故A错误；B．当两个物体的距离趋近于零时，两物体不能视为质点，万有引力定律已经不在适用，故B错误；C．卡文迪什利用微小放大的思想，在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值，故C正确；D．牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球表面的重力加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”，证实了万有引力定律的正确性，故D错误。故选C。【点睛】6．甲、乙两个质点间的万有引力大小为，若甲质点的质量不变，乙质点的质量增大为原来的2倍，同时它们间的距离变为原来的一半，则甲、乙两个质点间的万有引力大小将变为（）A．8F B．6F C．4F D．2F【答案】A【详解】由万有引力定律得，解得故选A。7．如图所示，我国发射的“天问一号”火星探测器沿椭圆轨道运动。它经过轨道上a、b、c、d四个位置时，所受火星引力最小的是在（）A．位置a B．位置b C．位置c D．位置d【答案】C【详解】根据万有引力公式，可知c点距离最远，所受火星引力最小。故选C。8．2022年6月5日，我国神舟十四号载人飞船成功发射。已知飞船质量为m，地球质量为M，地球半径为R。万有引力常量为G，当飞船离地面的高度为h时，飞船与地球之间的万有引力大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当飞船离地面的高度为h时，飞船与地球之间的万有引力大小为故选C。9．上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（）A． B． C． D．【答案】B【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有设半径为（R－d）球的质量为，由密度公式得所以解得，F的大小为B正确，ACD错误。故选B。10．在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R处时，该处的重力加速度大小为（）A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g【答案】B【详解】设地球的密度为，则在地球表面地球的质量为联立可得，地表重力加速度表达式为由题意可知，地面以下深0.5R处的重力加速度相当于半球为0.5R的球体表面的重力加速度，即对比可得B正确。故选B。二、综合题阅读教材，并回答：11．行星的实际运动是椭圆运动，能把它简化成什么运动呢？12．行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力由什么力来提供呢？这个力的方向怎样？13．（1）行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力由太阳对行星的引力提供的，计算式是什么？（2）一般的，天文观测容易观测到行星运动的什么物理量？（3）不同行星的公转周期是不同的，引力F跟太阳与行星间的距离r关系的表达式中不应出现周期T，该如何办？（4）在（3）中，等号右边除了m、r以外，其余都是常量，对任何行星来说都是相同的，则有，该式有何意义？14．根据牛顿第三定律，类比上式，如何写出行星对太阳的引力的表达式？要得到什么样的结论？【答案】11．简化成匀速圆周运动12．行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力由“太阳对行星的引力”来提供，这个力的方向“沿着二者的连线指向太阳”13．（1）；（2）观测得到行星公转的周期T相对容易些；（3）；（4）太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比14．根据牛顿第三定律，就行星对太阳的引力F′来说，太阳是受力星体，则有【解析】11．行星的实际运动是椭圆运动，能把它简化成匀速圆周运动。12．行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力由“太阳对行星的引力”来提供，这个力的方向“沿着二者的连线指向太阳”。13．（1）行星绕太阳做匀速圆周运动需要的向心力由太阳对行星的引力提供的，计算式是（2）一般的，天文观测容易观测到行星公转的周期T。（3）由于而不同行星的公转周期是不同的，引力F跟太阳与行星间的距离r关系的表达式中不应出现周期T，则根据开普勒第三定律有联立有（4）太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。14．根据牛顿第三定律，就行星对太阳的引力F′来说，太阳是受力星体，则有【拓展练·培优拔高】一、单选题1．如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且，则球体剩余部分对质点P的万有引力大小为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】设球体质量为，挖去的中央球体的质量为，球体的密度为，质点P的质量为，质点P距球心的距离为，则根据题意可得，可知两个球体对质点的万有引力分别为，可知，当将中央球体挖去后剩余部分对质点P的万有引力大小为故选D。2．有一质量为M，半径为R、密度均匀球体，在距离其球心O为2R处有一质量为m的质点，现从球体中挖去一半径为的球体如图，然后又在挖空部分填充另一种密度为原来n倍的物质，引力常量为G。则填充后实心球体对质点m的万有引力大小为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】根据题意，未挖去小球体时，大球体对质点的引力为设大球体的密度为，则挖去的小球体的质量为则小球体对质点的引力为挖空部分填充另一种密度为原来n倍的物质，则填充后的小球对质点的引力为则填充后实心球体对质点m的万有引力大小为故选B。3．在科幻电影《流浪地球》中有这样一个场景：地球在接近木星时受其磁场和辐射影响，导致行星发动机故障熄火，被木星引力“捕获”后加速向木星靠近。当地球与木星球心之间的距离小于某个值d时，在地球表面物体就会被木星吸走，进而导致地球可能被撕裂，这个临界距离d被称为“洛希极限”。如图所示，假设地球和木星的质量分别M、，地球的半径为R。地球没有自转，同时不考虑木星自转和太阳系其他星球的作用，由于木星的质量大约为地球的1300倍，可以近似以木星为惯性系来研究问题。取地球表面上距离木星最近的地方一质量为m的物体，计算它刚好被木星吸走时木星与地球距离为临界距离，则木星使地球产生撕裂危险的临界距离d—“洛希极限”满足下列哪个表达式（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】已知地球质量为M，木星质量为，地球表面上距离木星最近的地方有一质量为m的物体。地球在木星引力作用下向木星靠近，根据牛顿第二定律，有物体m在木星引力和地球引力作用下，有满足时，即满足时，地球开始被撕裂。故选B。4．设宇宙中有一自转角速度为，半径为R、质量分布均匀的小行星。在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块，在极点处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为；在赤道处弹簧测力计的示数为，此处重力加速度大小为，则下列关系式正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】在极点处有在赤道处有根据万有引力和重力的关系有解得，故选B。5．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法不正确的是（）A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mgC．地球的半径为D．地球的密度为【答案】B【详解】A．地球表面两极处的重力加速度大小为，质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为。故A正确；B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小等于其在地球两极受到的万有引力，大小为mg0，故B错误；C．设地球半径为R，在地球赤道上随地球自转物体的质量为m，由牛顿第二定律可得，故C正确；D．设地球质量为M，地球半径为R，质量为m的物体在地球表面两极处受到的地球引力等于其重力，可得，又则有故D正确。选不正确的，故选B。6．如图所示，两个质量均为m的星体的连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，一物体从O沿OM方向运动，则它所受到的万有引力大小F随运动距离r变化的情况（不考虑其他星体的影响）大致正确的是图中的（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【详解】由可知物体在连线的中点时所受的两个万有引力的合力为零，当物体运动到很远很远时两个万有引力的合力也为零（因为距离无穷大时万有引力为零），而物体在其他位置时所受的两个万有引力的合力不是零，所以物体从O沿OM方向运动时所受的万有引力先增大后减小，且变化不均匀。故选B。二、多选题7．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体（假设它能够在地球内部移动）在x轴上各位置受到的重力大小用F表示，则如图所示的四个F随x的变化关系图错误的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】设地球的密度为ρ，当x≥R时，物体所受的重力为当x≤R时，可将地球“分割”为两部分，一部分是厚度为（Rx）的球壳，一部分是半径为x的球体，由题目信息可知，物体所受的重力为对比可知，A选项的图正确，不符合题意。故选BCD。8．用弹簧测力计测量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，随测量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球的质量为m地，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（

）A．在北极地面测量时，弹簧测力计的读数为B．在赤道地面测量时，弹簧测力计的读数为C．在北极上空高出地面h处测量时，弹簧测力计的读数为D．在赤道上空高出地面h处测量时，弹簧测力计的读数为【答案】AC【详解】A．小物体在北极地面测量时，万有引力等于重力，则有A正确；B．在赤道地面测量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力故有，B错误；C．由题设用弹簧测力计测量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，则在北极上空高出地面h处测量时，万有引力等于重力，则有C正确；D．由题设用弹簧测力计测量一个相对于地球静止的质量为m的小物体的重力，则在赤道上空高出地面h处测量时，由于地球自转，万有引力大于重力，则有D错误。故选AC。三、解答题9．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，质量为M、半径为R、球心为O的