2023年北京中考数学一模试题分类汇编：四边形 含详解

2023年北京中考数学一模分类汇编一一四边形

1.(2023•海淀区一模)如图，在四边形ABCQ中，ZA=ZC=90°,过点B作

交C£＞于点E,点尸为A。边上一点，AF=BE,连接EF.

(1)求证：四边形ABEF为矩形；

(2)若AB=6,BC=3,CE=4,求的长.

2.(2023•西城区一模)在△ABC中，AO是BC边上的中线，点E在线段AO上，点尸在

线段A。的延长线上，CE//FB,连接BE,CF.

(1)如图1,求证：四边形8FCE是平行四边形.

(2)若NABC=NACB,

①依题意补全图2；

②求证：四边形BFCE为菱形.

图1图2

3.(2023•东城区一模)如图，在平行四边形ABCQ中，BQ平分NA8C.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)连接AC交30于点。，延长8c到点E,在NOCE的内部作射线CM,使得NECM

=15°,过点。作。凡1CM于点立若/ABC=70°,DF=娓,求/ACC的度数及

BD的长.

AD

0

M

BCE

4.(2023•朝阳区一模)如图，在平行四边形A8CD中，对角线AC,8。相交于点。，点E,

尸在8。上，AE//CF,连接AF,CE.

(1)求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)若NE4O+/CFD=180°,求证：四边形AECF是矩形.

5.(2023•丰台区一模)如图，在团ABC。中，ZACB=90°,过点。作。E_LBC交BC的

延长线于点E,连接AE交CD于点F.

(1)求证：四边形ACEC是矩形；

(2)连接BF,若NABC=60°,CE=2,求8F的长.

6.(2023•石景山区一模)如图，在△ABC中，BC=2AB,D,E分别为BC,4c的中点,

过点A作AF//BC交DE的延长线于点F.

(1)求证：四边形ABZJF是菱形；

(2)若AB=2,ZB=60°,求AE的长.

AF

E

BDC

7.(2023•通州区一模)已知在△ABC中，/AC8=90°,点。，E分别是边AB,AC中点,

连接CD,DE,延长QE到点F,使得EF=Z)E,连接AF,CF.

(1)求证：四边形AFCC是菱形；

(2)如果sin/CAF&，且AC=8,求AB的长.

5

8.(2023•平谷区一模)如图，在平行四边形ABC。中，点E是8C中点.点F是AO中

点.连接AE、CF、EF,EF平分/4EC.

(1)求证：四边形AEC尸是菱形;

(2)连接AC,与EF交于点。，连接OD若AF=5,sinNFAC=^，求0。的长.

5

9.(2023•门头沟区一模)如图，在菱形4BC£＞中，于E,DFLBC^F.

(1)求证：四边形BEOF是矩形;

(2)连接8。，如果tanNBQE=2,BF=\,求A8的长.

BFC

10.(2023•房山区一模)如图，回ABC。中，对角线AC、BD交于点O,在BO上截取OE

—OF=OA.

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)若AE=AF,求证：AC平分NBA。.

11.(2023•延庆区一模)如图，在平行四边形ABC。中，连接AC,NBAC=90°.点M

为边A。的中点，连接CM并延长，交54的延长线于点E,连接。E.

(1)求证：四边形ACZJE是矩形；

(2)若8E=10,DE=12,求四边形BCDE的面积.

12.(2023•大兴区一模)如图，在菱形ABC。中，对角线AC、B。的交于点O,延长CB

到E,使得BE=BC.连接AE.过点B作B/〃AC,交AE于点尸，连接。尺

(1)求证：四边形AFB。是矩形；

(2)若/ABC=60°,BF=1,求OF的长.

EBC

13.(2023•顺义区一模)如图，团A8C。的对角线AC,2。相交于点O,将对角线8。向两

个方向延长，分别至点E和点F,且使BE=£>F.

(1)求证：四边形4ECF是平行四边形；

(2)若。尸=。4求证：四边形AECF是矩形.

14.(2023♦燕山一模)如图，四边形4BC。中，对角线AC与8。相交于点O,AB=AD,

OB=OD,点E在AC上，且NCED=NECB.

(1)求证：四边形EBCD是菱形；

(2)若BC=5,EC=8,sinZDA£=2fi2,,求AE的长.

B

2023年北京中考数学一模分类汇编一一四边形

参考答案与试卷解析

1.（2023•海淀区一模）如图，在四边形中，NA=NC=90°,过点B作

交CD于点E,点尸为A。边上一点，AF=BE,连接EF.

（1）求证：四边形ABE尸为矩形；

（2）若AB=6,BC=3,CE=4,求EC的长.

【分析】（1）根据平行四边形的判定和矩形的判定解答即可;

（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可.

【解答】（1）证明：,：BE//AD,AF=BE,

：.四边形ABEF是平行四边形，

：NA=90°,

平行四边形ABEF是矩形；

（2）解：VZC=90°,BC=3,CE=4,

BE=VBC2-CE2=732+42=5，

•••四边形ABE尸是矩形，

：.ZBEF^ZAFE=90°,AB=EF=6,

：.NBEC+NFED=9Q°,NEFD=90°,

■:NCBE+NBEC=90°,

NCBE=NFED,

:NEFD=NC=90°,

:.ABCES^EFD,

•BEBC

''DE"EF'

即_§_旦

DE6

：.DE=\0.

【点评】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形

解答.

2.(2023•西城区一模)在aABC中，AO是BC边上的中线，点E在线段A。上，点尸在

线段AO的延长线上，CE//FB,连接BE,CF.

(1)如图1,求证：四边形BFCE是平行四边形.

(2)若/ABC=/ACB,

①依题意补全图2；

②求证：四边形BFCE为菱形.

图1图2

【分析】(1)根据AAS证明△££>(7与498全等，进而利用平行四边形的判定解答即可;

(2)①根据题意画出图形；

②根据菱形的判定解答即可.

【解答】(1)证明：是BC边上的中线，

：.BD=CD,

,JCE//FB,

ZCED=ZBFD,NDBF=ZDCE,

在△£>£>(:与△FZM中，

，ZCED=ZBFD

<NDBF=/DCE，

BD=CD

:./XEDCm/XFDB(AAS),

：.ED=DF,

四边形BFCE是平行四边形；

(2)解：①如图所示：

②由（1）可知：四边形8尸CE是平行四边形,

VZABC^ZACB,BD=DC,

：.ADLBC,

二平行四边形BFCE是菱形.

【点评】此题考查四边形综合题，关键是根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定

解答.

3.（2023•东城区一模）如图，在平行四边形ABCO中，BD平分NABC.

（1）求证：四边形A8CZ）是菱形；

（2）连接4c交8D于点O,延长BC到点E,在NOCE的内部作射线CA7,使得NECM

=15°,过点D作DF±CM于点F.若NABC=70°,DF=^5,求NACQ的度数及

8。的长.

AD

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得/BOC=/O8C,则BC=CD,然后

由菱形的判定即可得出结论；

（2）由菱形的性质得8。=。。，ZDCA=ZBCA^^ZBCD,ACVBD,AB//CD,再证

ZDCA=ZDCM,然后由角平分线的性质得。。=。尸=遥，即可得出结论.

【解答】（1）证明：•••四边形A3。是平行四边形，

J.AB//CD,

：.NABD=ZBDC,

平分/ABC,

ZABD=ZDBC,

：.ZBDC=ZDBC,

；.BC=CD,

，12ABe。是菱形；

(2)解：由(1)可知，四边形A8CQ是菱形，

：.BO=DO,NDCA=NBCA=L/BCD,ACLBD,AB//CD,

2

AZBCD=180°-NABC=180°-70°=110°,NDCE=NABC=70°,

/.ZDCA=AZBCD=55°,

2

；NECM=15°,

：.NDCM=NDCE-NECM=10°-15°=55°,

：.ZDCA=ZDCM,

\"DFLCM,BDLAC,

：.DO=DF=-/5>

：.BD=2DO=2y/5.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及角

平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

4.(2023•朝阳区一模)如图，在平行四边形A3CQ中，对角线AC,8。相交于点。，点E,

尸在8。上，AE//CF,连接AF,CE.

(1)求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)若/E4O+NCF£>=180°,求证：四边形AECF是矩形.

【分析】(1)由平行四边形的性质得OA=OC,再证△4E0ZZXCF0(AS4),得。E=

OF,然后由平行四边形的判定即可得出结论；(2)证NEAO=NCF。，再证OC=OF,

然后证AC=EF,即可得出结论.

【解答】证明：(1)：四边形A88是平行四边形，

：.OA=OC,

"."AE//CF,

J.ZEAO^ZFCO,

•:NAOE=NCOF,

.♦.△AEO丝△CFO(ASA),

：.OE=OF,

四边形AECF为平行四边形；

(2)VZEAO+ZCFD=180°,ZCFO+ZCFD=180°,

：.ZEAO=ZCFO,

'：ZEAO=ZFCO,

：.ZFCO^ZCFO,

OC=OF,

由(1)可知，OA=OC,OE=OF,

J.AC^EF,

平行四边形AECP是矩形.

【点评】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质

以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质定理是

解题的关键.

5.(2023•丰台区一模)如图，在同48C。中，/AC8=90°,过点。作£>E_LBC交BC的

延长线于点E,连接AE交C。于点E

(1)求证：四边形ACEO是矩形；

(2)连接BF,若NABC=60°,CE=2,求BF的长.

【分析】(1)由4C_LBC,DEA.BC,得AC〃DE,由四边形ABC。是平行四边形，点E

在BC的延长线上，得AQ〃CE,则四边形ACE。是平行四边形，即可由/ACE=90°,

根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形；

(2)由平行四边形的性质和矩形的性质得AE=CQ=AB,AF=EF,AD=CE=CB=2,

因为/A8C=60°,所以AABC是等边三角形，则A8=AE=BE=2CE=4,NAFB=

90°,所以A4=/lE=2,即可根据勾股定理求得8>={AB2.AF2=2如・

【解答】(1)证明：•；NACB=90°,

：.AC±BC,

:DELBC,

J.AC//DE,

•.•四边形ABC。是平行四边形，点E在BC的延长线上，

J.AD//CE,

...四边形ACEQ是平行四边形，

VZACE=90°,

四边形ACED是矩形.

(2)解：..•四边形ACE。是矩形，四边形ABC。是平行四边形，

：.AE=CD=AB,AF=EF,AD=CE=CB=2,

VZABC=60°,

.♦.△ABC是等边三角形，

：.BF±AE,AB=AE=BE=2CE=2X2=4,

：.ZAFB=90°,AF=LE=2X4=2,

22

BF=A/AB2-AF2=^42-22=2a，

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性

质、勾股定理等知识，证明AC〃DE及aABC是等边三角形是解题的关键.

6.（2023•石景山区一模）如图，在△ABC中，BC=2AB,D,E分别为BC,AC的中点,

过点A作AF//BC交DE的延长线于点F.

（1）求证：四边形ABOF是菱形：

（2）若AB=2,ZB=60°,求AE的长.

【分析】（1）由三角形中位线定理可得。E〃AB,DE=1AB,可证四边形A8QF是平行

2

四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；

（2）连接AQ,证△A8Q是等边三角形，得AQ=BD=AB,再证AABC是直角三角形，

N24C=90°,然后由勾股定理得AC=2代，即可得出结论.

【解答】（I）证明：•••点力、E分别是边BC、AC的中点，

J.DE是AABC的中位线，BC=2BD,

：.DE//AB,DE=LAB,

2

又,：AFHBC,

：.四边形ABDF是平行四边形，

\"BC=2AB,BC=2BD,

：.AB=^BD.

平行四边形A2OF是菱形：

（2）解：如图，连接AQ,

由（1）可知，AB=BD,

VZB=60°,

是等边三角形,

：.AD=BD=AB=CD=^BC,

2

：.BC=2AB=4,△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,

•••4C=VBC2-AB2=^42-22=2禽，

是AC的中点，

：.AE=^AC=yf3,

2

即AE的长为

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定

理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形

的判定和等边三角形的判定与性质是解题的关键.

7.(2023•通州区一模)已知在△48C中，NAC8=90°,点。，E分别是边AB,AC中点，

连接CO,DE,延长。E到点F,使得EF=DE,连接AF,CF.

(1)求证：四边形AFCD是菱形；

(2)如果sinNCAF=^，且AC=8,求AB的长.

5

【分析】(1)由AE=CE,OE=FE先证明四边形AFC。是平行四边形，再证明ACLOF

即可得结论.

(2)在直角三角形AE尸中，AE=4,由sinNCA尸=旦，可求出4凡则

5

【解答】(1)证明：：点E是AC的中点，

：.AE=CE,

又；EF=DE,

，四边形AFCD是平行四边形，

丁点。，E分别是边A8,AC中点，

：.DE//BC,

：.ZAED=ZACB=90°,

C.ACLDF,

.••四边形AFC。是菱形.

(2)•••四边形AFCQ是菱形,

：.AD=AF,AE=Lc=Lx8=4,

22

VsinZCAF=.2,

5

•EF2,

**AF=T

设EF=3x,则4尸=5x,

；•3、A/-EF2r(5x)2-(3x)2=以=4,

•»x=1,

：.AF=5f

：.AD=5f

：.AB=2AD=2X5=\0.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理以及锐角三角

函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键.

8.(2023•平谷区一模)如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC中点.点F是A。中

点.连接AE、CF、EF,EF平分NAEC.

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)连接4C,与EF交于点、O,连接OD若AF=5,sin/FAC^，求。。的长.

5

【分析】(1)先证四边形4EC尸是平行四边形，再证尸EC=/AEF,得AE=

AF,即可得出结论；

(2)由菱形的性质得AO=OC,OE=OF,ACJ_E『，再解直角三角形得OF=3,AO=

4,然后由三角形中位线定理得C£>=2OF=6,CD//EF,即可解决问题.

【解答】(1)证明：•••四边形A3。是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

♦.•尸是AD中点，E是BC中点,

J.AF//EC,AF=EC,

，四边形AECF是平行四边形,

平分NAEC,

NAEF=ZFEC,

\'AF//EC,

：.NAFE=NFEC=NAEF,

：.AE=AF,

平行四边形AEC尸是菱形；

(2)解：如图，

；四边形AECF是菱形，

：.AO=OC,OE=OF,ACLEF,

：.ZAOF=90°,

*,,sinZFAC=T--A尸=5,

5AF

，0F=3,

•'MC>=VAF2-0F2=V52-32=4,

'：AO=CO,1为AD中点,

OF是△AC。的中位线，

：.CD=2OF=6,CD//EF,

：.ZACD^ZAOF=90Q,

：OC=4,CD=6,

0D^VcO2-H3D2V42+62-2^^13-

即OD的长为205.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判

定、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关

键.

9.(2023•门头沟区一模)如图，在菱形ABCQ中，BEYADTE,£>F_LBC于F.

(1)求证：四边形3EDF是矩形；

(2)连接80,如果tanNBOE=2,BF=\,求AB的长.

BFC

【分析】(1)由BE_LAO于E,DFA.BC^F,得NBED=NDFB=90°,由菱形的性质

得CB//AD,则NEM=NAEB=90°,即可根据“有三个角是直角的四边形是矩形”

证明四边形BEDF是矩形；

(2)由些=1211/2£>£：=2,DE=BF=\,得BE=2,SAE2+BE2=AB2,AE=AO-1=

DE

48-1,得(A8-1)2+21=AB2,则AB=S.

2

【解答】(1)证明：：BE_LA。于E,。尸_LBC于F,

；.NBED=NDFB=90°,

•••四边形488是菱形，

J.CB//AD,

:.NEBF=NAEB=90°,

四边形BEDF是矩形.

(2)解：*：NBED=NAEB=90°,

.•图=tan/8QE=2,AE2+BE2=AB2,

DE

•：DE=BF=l,

；.BE=2DE=2X1=2,

'：AD=AB,

：.AE=AD-\=AB-1,

(AB-1)2+22=AB2,

解得AB——,

2

：.AB的长为

2

【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，证明NBEO

=/DFB=NEBF=90°是解题的关键.

10.(2023•房山区一模)如图，回ABCQ中，对角线AC、8。交于点。，在BD上截取OE

—OF=OA.

(1)求证：四边形4ECF是矩形；

(2)若AE=4凡求证：4c平分NB4O.

【分析】(1)由平行四边形的性质得O4=OC,而OE=OF,则四边形AECF是平行四

边形，再由OE=Q4,OF=OC,推导出AC=EF,则四边形AECF是矩形；

(2)由AE=AF,OE=OF,根据等腰三角形的“三线合一”得ACLB。，则AC垂直平

分BD,所以AB=AO,则AC平分N8AD

【解答】证明：(1)•.•四边形ABC。是平行四边形，且对角线AC、BD交于点、O,

：.OA=OC,

'：OE=OF,

：.四边形AECF是平行四边形，

'：OE=OF=OA,

：.OE=OA,OF=OC,

：.OE+OF=OA+OC,

：.AC=EF,

四边形AECr是矩形.

(2)"：AE=AF,OE=OF,

J.AOVEF,

：.ACLBD,

OB=OD,

垂直平分8D,

：.AB^AD,

；.AC平分NBAD.

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定、线段的垂直平分线的性质、等

腰三角形的“三线合一”等知识，证明AC=EF以及由AE=AF,OE=OF推导出AC,

8。是解题的关键.

11.(2023•延庆区一模)如图，在平行四边形ABC。中，连接AC,/B4C=90°.点M

为边AO的中点，连接CM并延长，交54的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ACQE是矩形；

(2)若BE=10,DE=12,求四边形BC£)E的面积.

【分析】(1)由平行四边形的性质得AB〃C。，则NMAE=NMOC,而M4=M£),即可

证明△MAE彩△MDC,得ME=MC,则四边形ACDE是平行四边形，因为NACD=N

BAC=90°,所以四边形ACCE是矩形；

(2)由AE=CD,AB^CD,/AEZ)=90°,WDEYBE,AE=AB=CD=LBE=5,则

2

S四边形8cOE=LX(5+10)X12-90.

2

【解答】(1)证明：•••四边形A2CD是平行四边形，

J.AB//CD,

：.ZMAE=ZMDC,

•点M为边AO的中点，

：.MA=MD,

在△MAE和△MOC中，

，ZMAE=ZMDC

"MA=MD，

ZAME=ZDMC

：./\MAE^/\MDC(ASA),

:.ME=MC,

四边形ACOE是平行四边形，

VZACD=ZBAC=90°,

四边形ACDE是矩形.

(2)解：；四边形48CD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，

：.AE=CD,AB=CD,ZAED=90°,

J.DELBE,

•.,"=10,DE=12,

.*.4E=AB=a)=」BE=」X10=5,

22

'."BE//CD,

•••5四边形5<7。£=工X(5+10)X12=90，

2

，四边形BCDE的面积是90.

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性

质、梯形的面积公式等知识，证明是解题的关键.

12.(2023•大兴区一模)如图，在菱形A8CQ中，对角线AC、8。的交于点。，延长CB

到E,使得BE=8C.连接AE.过点8作BF〃AC,交AE于点F,连接OF.

(1)求证：四边形AF8O是矩形；

(2)若/ABC=60°,BF=\,求。尸的长.

【分析】(1)证四边形AOBE是平行四边形，再证4E_L4C,则/。4尸=90°,然后由矩

形的判定即可得出结论；

(2)由矩形的性质得OF=A2,OA=BF^\,则AC=2OA=2,再证△ABC是等边三角

形，得AB=AC=2,即可得出结论.

【解答】(1)证明：・・•四边形48。是菱形，

：.AD//BC,AC.LBD,AD=BC,

•；BE=BC,

：.AD=BEf

・・・四边形AOBE是平行四边形，

J.AE//BD,

■:BF//AC,

，四边形AFBO是平行四边形，

'JACLBD,AE//BD,

J.AE1AC,

：.ZOAF=90°,

.••平行四边形AFBO是矩形；

（2）解：•••四边形ABCD是菱形，

：.AB^BC,OA=OC,

由（1）可知，四边形4FBO是矩形，

：.OF=AB,OA=BF=\,

；.AC=2OA=2,

VZABC=60Q,

」.△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=2,

.•.OF=AB=2,

即OF的长为2.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边

三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

13.（2023•顺义区一模）如图，团ABCO的对角线AC,8。相交于点。，将对角线BO向两

个方向延长，分别至点E和点F,且使

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）若。尸=。4求证：四边形AECF是矩形.

【分析】（1）由四边形ABCO是平行四边形易知。4=OC,