新教材数学人教A版作业2-1第2课时不等式性质

第二章2.1第2课时A组·素养自测一、选择题1．下列运用等式的性质，变形不正确的是(D)A．若x＝y，则x＋5＝y＋5 B．若a＝b，则ac＝bcC．若eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)，则a＝b D．若x＝y，则eq\f(x,a)＝eq\f(y,a)[解析]对于选项A，由等式的性质3知，若x＝y，则x＋5＝y＋5，正确；对于选项B，由等式的性质4知，若a＝b，则ac＝bc，正确；对于选项C，由等式的性质4知，若eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)，则a＝b，正确；对于选项D，若x＝y，则eq\f(x,a)＝eq\f(y,a)的前提条件为a≠0，故此选项错误．2．(2020·上海市黄浦区期中)已知0＜a＜1,0＜b＜1，记M＝a·b，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(C)A．M＜N B．M＝NC．M＞N D．不确定[解析]∵0＜a＜1,0＜b＜1，M＝a·b，N＝a＋b－1，∴M－N＝a·b－a－b＋1＝(a－1)(b－1)＞0，∴M＞N．3．已知a＞b＞c，则eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)的值是(A)A．正数 B．负数C．非正数 D．非负数[解析]eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＝eq\f(b－a,b－cc－a)，∵a＞b＞c，∴b－a＜0，b－c＞0，c－a＜0，∴上式＞0，故选A．4．已知a＋b＞0，b＜0，则a，b，－a，－b的大小关系是(C)A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－b＞－a＞bC．a＞－b＞b＞－a D．a＞b＞－a＞－b[解析]因为a＋b＞0，b＜0，所以a＞－b＝|b|＞0，所以必有a＞－b＞b＞－a．5．若不等式a＞b与eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)同时成立，则必有(C)A．a＞b＞0 B．0＞eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．a＞0＞b D．eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)＞0[解析]若a＞b＞0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，同理0＞a＞b时，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，所以只有当a＞0＞b时，满足eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)．6．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是(C)A．xy＞yz B．xz＞yzC．xy＞xz D．x|y|＞z|y|[解析]因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0．所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞z，))可得xy＞xz．二、填空题7．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y；②a＋x＞b＋y；③ax＞by；④x－b＞y－a这四个式子中，恒成立的不等式的序号是__②④__．8．若－10＜a＜b＜8，则|a|＋b的取值范围是__0＜|a|＋b＜18__．[解析]当a≥0时，有0≤a＜8,0＜b＜8，故0＜a＋b＜16，即0＜|a|＋b＜16；当a＜0时，－10＜a＜0，故0＜－a＜10，因为－10＜b＜8，所以－10＜－a＋b＜18，又a＜b，所以0＜－a＋b＜18，即0＜|a|＋b＜18．综上，0＜|a|＋b＜18．9．已知2b＜a＜－b，则eq\f(a,b)的取值范围为__－1＜eq\f(a,b)＜2__．[解析]∵2b＜a＜－b，∴2b＜－b．∴b＜0．∴eq\f(－b,b)＜eq\f(a,b)＜eq\f(2b,b)，即－1＜eq\f(a,b)＜2．三、解答题10．已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc．[证明]∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc．∴－ac＜－bc．又e＞f，即f＜e，∴f－ac＜e－bc．11．已知a＞b＞0，c＜d＜0，比较eq\f(b,a－c)与eq\f(a,b－d)的大小．[解析]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴eq\f(1,b－d)＞eq\f(1,a－c)＞0，又a＞b＞0，∴eq\f(a,b－d)＞eq\f(b,a－c)．B组·素养提升一、选择题1．若－1＜α＜β＜1，则下列不等式恒成立的是(A)A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1[解析]∵－1＜β＜1，∴－1＜－β＜1，－2＜α－β＜2，又∵α＜β，∴α－β＜0，－2＜α－β＜0．2．设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是(C)A．ab＜b2＜1 B．eq\r(a)＜eq\r(b)＜1C．1＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) D．a2＜ab＜1[解析]取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)验证可得A，B，D不正确．3．(2021·陕西咸阳高二期末)设实数a＝eq\r(5)－eq\r(3)，b＝eq\r(3)－1，c＝eq\r(7)－eq\r(5)，则(A)A．b＞a＞c B．c＞b＞aC．a＞b＞c D．c＞a＞b[解析]eq\r(5)－eq\r(3)＝eq\f(2,\r(5)＋\r(3))，eq\r(3)－1＝eq\f(2,\r(3)＋1)，eq\r(7)－eq\r(5)＝eq\f(2,\r(7)＋\r(5))，∵eq\r(3)＋1＜eq\r(3)＋eq\r(5)＜eq\r(5)＋eq\r(7)，∴eq\f(2,\r(3)＋1)＞eq\f(2,\r(5)＋\r(3))＞eq\f(2,\r(7)＋\r(5))，b＞a＞c，故选A．4．(多选题)下列说法中正确的是(AC)A．若a＞b，则eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1)B．若－2＜a＜3,1＜b＜2，则－3＜a－b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，则eq\f(m,a)＜eq\f(m,b)D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd[解析]对于A，∵c2＋1＞0，∴eq\f(1,c2＋1)＞0，∵a＞b，∴eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1)，故A正确；对于B，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，同向不等式相加得－4＜a－b＜2，故B中说法错误；对于C，因为a＞b＞0，所以eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，又因为m＞0，所以eq\f(m,a)＜eq\f(m,b)，故C中说法正确；对于D，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，才有ac＞bd，故D中说法错误，故选AC．二、填空题5．给出下列命题：①若a＜b，c＜0，则eq\f(c,a)＜eq\f(c,b)；②若ac－3＞bc－3，则a＞b；③若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk；④若c＞a＞b＞0，则eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b)．其中正确命题的序号是__④__．[解析]①当ab＜0时，eq\f(c,a)＜eq\f(c,b)不成立，故①不正确；②当c＜0时，a＜b，故②不正确；③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③不正确；④a＞b＞0⇒－a＜－b＜0⇒0＜c－a＜c－b，两边同乘以eq\f(1,c－ac－b)，得0＜eq\f(1,c－b)＜eq\f(1,c－a)，又a＞b＞0，∴eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b)，故④正确．6．用不等式表示如下图所示两个函数之间的关系为__x2＋1＞eq\f(x,2)__．[解析]函数y＝x2＋1的图象始终在函数y＝eq\f(x,2)的图象的上方，也就是说y＝x2＋1的函数值总是大于y＝eq\f(x,2)的函数值，故x2＋1＞eq\f(x,2)．7．已知0＜a＜eq\f(1,b)，且M＝eq\f(1,1＋a)－eq\f(b,1＋b)，N＝eq\f(a,1＋a)－eq\f(1,1＋b)，则M，N的大小关系为__M＞N__．[解析]由0＜a＜eq\f(1,b)，得1＋a＞0,1＋b＞0，ab＜1，所以M－N＝eq\f(1,1＋a)－eq\f(b,1＋b)－(eq\f(a,1＋a)－eq\f(1,1＋b))＝eq\f(1－a,1＋a)＋eq\f(1－b,1＋b)＝eq\f(2－ab,1＋a1＋b)＞0，所以M＞N．三、解答题8．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若a≠b，试判断哪辆车先到达B地．[解析]设A，B两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为t1，t2，则t1＝eq\f(2s,a＋b)，t2＝eq\f(s,2a)＋eq\f(s,2b)．因为t1－t2＝eq\f(2s,a＋b)－(eq\f(s,2a)＋eq\f(s,2b))＝eq\f(s[4ab－a＋b2],2aba＋b)＝－eq\f(sa－b2,2aba＋b)＜0，所以t1＜t2，所以甲先到达B地．9．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围[解析]解法一：设u＝a＋b，v＝a－b得a＝eq\f(u＋v,2)，b＝eq\f(u－v,2)，∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6．则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4