基本不等式的实际应用讲义-2024届高三数学一轮复习

基本不等式的实际应用(讲+练)含答案

一、知识梳理

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的条件；a>0,/»o.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时,等号成立.

(3)其中竽叫做正数”，6的算术平均数，标叫做正数小〃的几何平均数.

2.几个重要的不等式

(1)『+扶22ab(a,Z?£R).

(2)§+注2(a,b同号).

(a+b\

(3)ab^I—^―I(a,b^R).

a2+b2^(a+b^

⑷丁》曰OCR).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

3.利用基本不等式求最值：和定积大，积定和小

(1)已知x,y都是正数，如果积个等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2".

(2)已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积盯有最大值导

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

二、思路整理

利用不等式解决实际问题利用一元一次不等式解决实际问题的基本步骤与利用一元一次方程解决实际

问题的基本步骤类似，即：

第一步：审，认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，找出符合题目全部意义的不等关系，要抓

住题目中的关键字眼，如：“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等；

第二步：设，设出适当的未知数，一般是直接设未知数，也可根据题目实际间接设未知数；

第三步：歹U,根据找出的不等关系，列出不等式；

第四步：解，解出所列的不等式；第五步：答检验答案是否符合题意，并写出答案。

在以上步骤中，审题是基础，根据不等关系列出不等式是关键，而根据题意找出不等关系是解题难点。

三、习题精练

基础达标练

1.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园，设菜园的长为XW,宽为V九

⑴若菜园面积为72,"，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小;

12

(2)若使用的篱笆总长度为30〃?，求一+一的最小值.

xy

2.第三届进口博览会将于11月5日至10日在上海青浦国家会展中心举行，某参展企业为了制作一份精美的

宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为625cm2,如图所示：其中上边，下边和左边各留宽为2cm的

空白，右边留宽为7cm的空白，中间阴影部分为文字宣传区域；设矩形画册的长为acm,宽为bcm,文

字宣传区域面积为Sen?.

⑴用a,，表示S；

(2)当”，6各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？

3.某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为12加2的矩形，房高为3机因地理位置的限制，房屋侧

面的宽度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/小？，房屋侧面的造价为150元/加2,屋顶和地面的造

价费用合计为5800元，不计房屋背面的费用，设房屋的总造价为y元.

⑴求y用x表示的函数关系式；

(2)当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

4.2020年5月5日18时0分我国长征五号B运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它标志着我国的空间

站工程建设进入实质阶段.长征五号B运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种

产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求啜皿10),每小时可消耗A材料收?+9千

克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克，消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1000

千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？

5.如图所示，某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是

宽为1米的小路，大棚占地面积为S平方米，其中。2=1:2.

⑴试用x,y表示S；

(2)若要使S的值最大，则x,y的值各为多少？

能力提升练

6.某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付

运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值(不含运费)成正比，比例系

数为k,若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元.

⑴求女的值；

(2)请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用.

7.如图，将一矩形花坛ABCQ扩建成一个更大的矩形花坛要求点B在AM上，点。在AN上，点

C在MN上,AB=3米，AD=2米.

⑴要使扩建成的花坛面积大于27米2,则AN的长度应在什么范围内？

(H)当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积.

8.小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上

一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收人均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑

将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25-x)万元(国家规定大货车的报废

年限为10年).

(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润=累计收入+销售收入一总支出)

9.某企业为响应国家号召，研发出一款特殊产品，计划生产投入市场.已知该产品的固定研发成本为180万

元，此外，每生产一台该产品需另投入450元.设该企业一年内生产该产品x(O<%,50)万台并委托一家销

售公司全部售完.根据销售合同，0<X,2时，销售公司按零售价支付货款给企业;2<心50时，销售公司

按批发价支付货款给企业.已知每万台产品的销售收入为/0)万元，满足:

2(x—l)e*-2+2,0<%,2

/(x)=30509000

440+,2<%,50

xx2

⑴写出年利润尸(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万台)的函数关系式；(利润=销售收入-固定研发成

本-产品生产成本)

(2)当年产量为多少万台时，该企业的获利最大?并求出此时的最大利润.

10.经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）X万件与年促销费用m万元满足

x=3-一（一伙为常数），若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2018年生产该产品

m+1

的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品

平均成本的1.5倍（产品生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）.

（1）将2018年该产品的利润y万元表示为年促销费用〃?万元的函数；

（2）该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

答案和解析

1.【答案】解：(1)由已知可得孙=72,篱笆总长为(x+2y)机

又因为x+2y..2j2孙=24,

当且仅当x=2y,即x=12,y=6时等号成立.

所以当x=12,y=6时，可使所用篱笆总长最小.

(2)由已知得x+2y=30,

122y2x

又因为(一+一)(x+2y)=5+2+一

xyxy

123

所叼+7•而当且仅当户儿即e。，尸】。时等号成立.

所以一1+2一的最小值是三3•.

xy1()

2.【答案】解：⑴由题设可得S=(a-4)(A-9)=661-(9。+助)(cm2),

其中。＞4力＞9且制?=625.

(2)由⑴可得S=H-9a-46+36=661-(9a+初，

由基本不等式可得9a+4b..2y/9ax4b=2x6x25=300.

当且仅当。="，。=工时等号成立，

32

故当。=竺，人=0时，Smax=661—300=361(cm2)

IIIMA

、12

3.【答案】解：⑴因为侧面长度为.劭，所以正面长度为一九

X

12

故依题意y=3(2x150+—・400)+5800

x

=900(x+—)+5800(0<%,5)；

X

(2)由⑴得：x+-..2.f^=8,当且仅当x=4时取等号,

xVx

所以，x=4时，ymul=9(X)x8+5800=13000,

所以当侧面宽度为4米时，总造价最低，最低造价为13000元.

1()0()

4.【答案】解：由题意，得2+9=10,即2=1,生产1000千克该产品需要的时间是——，

x

10009r-

所以生产1000千克该产品消耗的A材料为尸——(x2+9)=1000(x+1000X279=6000,

xx

9

当且仅当x=3，即x=3时.，等号成立，且

x

故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6000千克.

5.【答案】解：⑴由题意知：a+b+3=y,且人=2a,

即a上,旌至二

33

x—3

上面矩形的长为尢-2,下面矩形的宽为上上，

2

ri口/c、〜x-3y-3c、2(y—3)(x-3)(y-3)(3x—8)

则S=Q(X-2)+2b・(zx-2)+―--------~----------

⑵因为孙=i8oo,所以

X

而凶C(y-3)(3x-8).4800...14800..

所以S=—----------------=1808---------------3%,1808-2J---------x3x=1568,

当且仅当x=4O时取到等号.此时x=40,y=45.

所以要使S的值最大，x=40米，y=45米.

6.【答案】解：⑴由题意，当每批购入400台时，全年的运费为400XF=3600(元)，

4070r

每批购入的电视机的总价值为400x2000=800000(元)，所以保管费为h800000(元)

因为全年需要支付运费和保管费共43600元，

所以3600+^800000=43600,解得4=0.05.

小、sza，3+/36001440000

(2)设每批进货x台，则JS费为400x------=------------,

XX

保管费为0.05X2000%=1OOr,

所以支付运费与保管费的和为14空4(X整)(X)+100x，

x

1440000iJ144(X)00…

因为-------+l(X)x.2J-------xl00x=24000

XX

1440()00

当且仅当=100x,即x=120时取到等号，

x

所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.

7.【答案】解：⑴设AN=x(米)，则x>2.

D•N___D_C

DCNs&AMN,、,,一

ANAM

.x—23…3x

火nii1J--

XAMx—2

3%2

•••花坛AMPN的面积AM-AN=——(x>2).

x—2

由S>27,得且一>27,即3(一二二匕18)>0,解得2<%<3或%>6,

x-2x-2

故4汽的长度范围是2<47<3或3>6(米).

(II)由5=工胆在上曰卫

x—2x-2

4

=3[(X—2)+——+4]..24,

x-2

4

当且仅当X—2=——，即X=4(米)时，等号成立.

x-2

・•.当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米.

8.【答案】解：(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元,

则y=25x—[6x+x(x—1)]—5()=—x2+20x—50(0<x<10,xeN*),

由一一+20尤-50>0，可得10—5血<%<10.

因为2<10-5&<3，

所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出.

(2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出，

所以二手车出售后，小王的年平均利润为四"二过=19-。+竺),,19-2后=9,

XX

25

当且仅当x=一，即x=5时，等号成立，

x

所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大.

9.【答案】解：⑴当0<q2时，

P(x)=M2(x-i)ex-2+2]-(180+450x)=2x(x-l)ex-2-448x-180；

当2<%,50时，

尸(x)=x/(x)—(180+450x)=440x+3050--180-450x=—lOx—+2870；

XX

2x(x—l)e~—448x—180,0<2,

所以,P(x)=,

-10x-+2870,2<&,50.

x

(2)当0<x,2时，I(x)=2(x-l)ex~2+2,

令，=x—2,则Q(f)=2Q+l)e'+2,

d(f)=2(f+2)e',。⑺在(一2,0)上单调递增，在(-8,-2)上单调递减，

。⑴的最大值为。(0)=4,

所以当x=2时，/(x)取得最大值4.

此时企业亏损，所以最大获利一定在2