高考数学二轮复习 仿真测1（含解析）试题

第三部分高考模拟考场

仿真测1

时间120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.（文）（2015•上饶市三模）已知i是虚数单位，若（—1—2i）z=l—i,则［在复平面

上所代表的点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［答案］1）

［解析］由（―1-2i）z=l-i得，

1-i_______1-i-l+2i

z=一］-2i=-］—2i-l+2i

l+3i.-13

=-;-,..z

5=75—751,

_1Q

•••5在复平面内对应点为（‘一P'在第四象限.

（理）当|〈水1时，复数z=（3m—2）+（而—1），在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［答案］D

［解析］取3皿,21、）/=-1--17,

.,.选D.

J［JI

2.（文）将函数y=sin（x+k）（xWR）的图象上所有的点向左平移7个单位长度，再把

O4

图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）

5冗x5元

A.y=sin（2x+jy）（x£R）B.y=sin（^+~^-）（%eR）

x5兀

C.y=sinD.y=sin(-+—)(-v^R)

考一书（D/乙a

［答案］B

n左鳄

./上5口、各点横坐标.5冗

［解析］y=sin(jr+—)------►y=sin(x+五)扩.倍y=sin

6个单位127,

(理)(2015•太原市一模)已知函数/"(x)=sin(ox+|的最小正周期

是“，若将其图象向右平移T■个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的图象()

O

A.关于直线k三对称B.关于直线x=号对称

C.关于点0卜j称D.关于点(-运,0卜寸称

［答案］B

［解析］由已知得，3=2,平移后其解析式为f(*)=sin2(x―1)+。=

sin(2x—%-+。)，由题意得：一?■+。=—31，。=-结合选项知，/'(x)=sin(2x——j

的图象关于直线户方页对称，选B.

3.(2015•昆明市调研)给出下列四个命题：

①三/6R,使/'(x)=(ot—1)x0?-4/+3是幕函数；

②VxGR,使e*T〉0；

③ma,pSR,使cos(。+£)=cosa+cos£；

©V</>eR,函数/'(x)=cos(x+O)都不是奇函数.

其中真命题的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

［答案］D

［解析］当皿=2时，f(x)=/'是基函数，①正确；由指数函数的性质知②正确；当a

=彳，£=—'彳时，cos(a+£)=l=cosa+cos£,③正确；当时，f(x)为奇函

数，④不正确，故选D.

4.(文)(2015•广州市测试)已知函数f(x)=-*+2x+3,若在［-4,4］上任取一个实

数施，则使〃加>0成立的概率为()

A--4-R1—

252

2

C."D.1

•j

［答案］B

［解析］由一北+2而+3-0得一1W扬W3,所以在［—4,4］上任取一个实数岗，使

3——11

f（%）20的概率为^------「=5,故选B.

4——4Z

（理）（2015•郑州市质量监测）某校开设｛类选修课2门，6类选修课3H，一位同学从

中选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）

A.3种B.6种

C.9种D.18种

［答案］C

［解析］共有两类选法，4选1门、8选2门和力选2门、8选1H,因此共有C代+技

C；=9种不同选法.

22

5.（文）若方程£4—£=1表示双曲线，则它的焦点坐标为（）

K—4A■十4

A.（r\［2k,0）,（—y［2/（,0）B.（0,yj—2k,）（0,—*\］—2/r）

C.（何奸，0）,（一取后，0）D.由左值确定

［答案］D

［解析］由（4一4）（A+4）>0得K-4或k〉4,

当旅一4时，焦点在y轴上；当上4时，焦点在x轴上.

故选D.

22

（理）（2014•大纲全国理，6）已知椭圆G当+卷=l（a>6>0）的左、右焦点为四、F”离

ab

心率为半，过用的直线，交C于4、6两点，若△<£8的周长为4小，则，的方程为（）

O

A.^-+y=lB.y+y=1

xyxy

C・=lD.逐+i=l

［答案］A

［解析］根据条件可知5=净，且4a=44，・・・a=4ic=l,6=2,椭圆的方程为

y

~21.

x+2p22

6.(2014•乌鲁木齐地区5月诊断)已知实数旌y满足约束条件，2x+K4,若

、4x——1

a=(x,y),b=(3,-1),设/表示向量a在b方向上的投影，则z的取值范围是()

3

A.6］B.［-1,6］

C［-金君D•［鼎'君

［答案］C

［分析］a在b方向上的投影z是关于x、y的表达式，故脱去向量外衣后本题转化为

线性规划问题，关键是准确应用概念“a在6方向上的投影”.

［解析］画出约束条件表示的平面区域如图所示.

a,bZx-y

a在6方向上的投影为|a|cos〈a,b)

一5一Vio'

作直线A：3x-y=0,平移直线/o,当直线1。经过点(2,0)时，3%—/取最大值6,当

1。经过点§3)时,3x-y取最小值一看，a在6方向上的投影的取值范围为［一其希，才寻.

［方法点拨］使用概念要准确、运用定理要规范

数学中有大量的概念、公理、定理，只有准确地把握理解和运用，才能高效准确的解答

数学问题.

7.(文)已知数列｛a｝中&=〃2—A〃(〃CN*),且｛a｝单调递增，则A的取值范围是()

A.(-8,2］B.(-8,3)

C.(-8,2)D.(-8,3］

［答案］B

［分析］｛a｝单调递增的含义是，对有a+0&成立，这是恒成立问题，本题

k

易错之处是忽视的限制条件，用二次函数对称轴求解误为

［解析］a„+\—a„—（/7+1）'—A（Z7+1）—n+kn—2n+l—k,由于｛a“｝单调递增，故应有

a,+1-a„>0,即2〃+1—4>0恒成立，分离变量得-2〃+1,故只需K3即可.

（理）（2014•乌鲁木齐市诊断）在的展开式中f的系数等于一5,则该展开式各项

的系数中最大值为（）

A.5B.10

C.15D.20

［答案］B

［分析］运用二项展开式的通项公式，易错点有二：一是项数和C的对应关系，二是项

数与d6的指数的对应关系，7；田=（：h’广啰为展开式的第r+1项而不是第r项.

［解析］7；+i=Cgr（-1）'£「'=（一D'aCfi,令5—2r=3,...r=l,...x：'的系数为

5,••3=1,

（^-l）^c^5+c^（--）+d/（--）2+ck2（--）3+d%（--）'+d（--）5,

XXXXXX

各项的系数中最大值为Cs=10.

［方法点拨］考虑问题要全面，思考过程要严谨

在审题过程中，要边读题边翻译，同时把特殊情形、细节问题、注意事项等记录下来,

在解题过程中要予以关注，例如研究函数就要注意函数的定义域.

8.（文）（2014•唐山市二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

俯视图

A・乎

B.

6而

C也D.岁

J3

［答案］B

［解析］由三视图知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，设后为的中点，

则施工/〃，血平面△为〃为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1,下底2,

高2；棱锥的高为小，，体积，=Jx［；X（l+2）X2］xd^=，5,故选B.

J乙

（理）（2014•吉林市质检）已知。、£为两个平面，且a_L£,/为直线.则„£是

/〃。的（）

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］D

［解析］如图①所示，①。，出八£,但Ju。；如图②所示，C

a±j3,1//a,但/u£,故是/〃。的既不充分也不必要条件.

9.（2015•福州市质检）执行如图所示的程序框图，输出的有序实数对为（）

A.(8,2)B.(8,3)

C.(16,3)D.(16,4)

［答案］D

［解析］开始一x=l,y=0,判断工3成立，第一次循环，x—2,y—1；再次判断yW3

仍然成立，第二次循环，x=4,y=2；第三次循环，x=8,y=3；第四次循环，x=16,y

=4,此时j<3不成立，输出有序实数对（16,4）后结束，故选D.

［4^—4,

10.（文）函数/Xx）=2,的图象和函数g（x）=logzx的图象的交点个数

\x—4%+3,x>\

是()

A.4B.3

C.2I).1

［答案］B

［分析］不能准确作出两函数在相应区间的图象，以及分不清两函数图象的相应位置关

系是造成失误的主要原因.

［解析］分别在同一坐标系内作出两函数的图象.如图所示，观察易知两函数图象有且

仅有3个交点.

［点评］在判断函数图象交点的个数或利用函数图象判断方程解的个数时，一定要注意

函数图象的相对位置关系，可以取特殊值验证一下，如取x=g时，4x-4<log2x,即此时对

应函数图象上的点应在相应直线的上侧，因此我们可以通过取特殊值的方法相对准确地确定

两函数图象的相对位置关系.

(理)已知函数/'(x)=|x+：|一|x—3,若关于x的方程f(x)=2/有四个不同的实根，

则实数0的取值用范围是()

A.(0,2)B.(2,+8)

C.(1,+8)D.(0,1)

［答案］1)

2、

-后1,

X

2x0<x<l,

［解析］f{x}=Vf(x)=2加有四个不同的实数根，由数形

—2x—KXO,

_2

xW-1.

<x

结合法得0<成1.

y

2

-101

［点拨］作图要准确，用图要严密

要抓住关键点（最高、最低点，与坐标轴的交点、端点、两图象的交点、极值点、对称

中心等），变化趋势（增减性、增长或减少的快慢），正负值、对称性等.

11.（文）（2015•福建质量检查）若直线ax+by-1=0（a>0,6>0）过曲线y=1+

12

sin兀x（0<x<2）的对称中心，则一+7的最小值为（）

ab

A.A/2+1B.4小

C.3+272D.6

［答案］C

191

［解析］,・,曲线p=l+sinnx（（KK2）的对称中心是点（1,1）,・・・a+b=l,，一+7=（一

aba

+5心+6）=3+《+年》3+29，当且仅当《=与，即b=/a=M（小一1）时取等号，因

1O

此：+%的最小值是3+24，故选C.

［易错分析］本题容易造成如下错解：由直线ax+by—\=Q过点（1,1）可得a+b=\.

又a〉0,b〉0,所以a+b=122y［^L,则0<9?〈彳，-7^4,所以一/";24/，选择

v

Y4abab\j3b

B.在上面的解题过程中，两次运用了基本不等式，但两次等号成立的条件不同，第一次是

a=b,第二次是2a=6,在a>0,6>0时不能同时满足，所以44取不到.所以在求最值时，

如果多次运用基本不等式，一定要检验各次等号成立的条件是否能够同时成立.

（理）（2015•杭州市第一次质检）设对任意实数x>0,y>0,若不等式x+G<a（x+2y）

恒成立，则实数a的最小值为（）

A匹B泊

44

C/+/n2

43

［答案］A

［分析］本题乍一看会感到无从着手，从分离参数的角度得到往下又不知

.AI乙y

如何进行，但如果仔细观察，就会发现不等式的两边对于字母X、y来说都存在二次关系（X

与,、y与3）,因此可考虑采用化归的思想将已知不等式转换为一元二次不等式或基本不

等式的形式求解.

［解析］原不等式可化为（aT）x—止+2"，0,两边同除以y得（a-15一\/+

2a20,令则（a—1）d—t+2a20,由不等式恒成立知a—1>0,从而相应二次函

数的对称轴t=~---——>0,<*.A=1—4（a—1）•2aW0,解得回运，

La—144

故选A.

［易错分析］二元不等式恒成立问题的处理具有很大的难度，对于由双元到单元的转换

大多数考生容易出现错误，此类问题解决的关键在于明确转化目标及整体意识.

12.（2014•郑州市质检）等差数列｛a.｝中的国、&阳是函数/'（x）=:f—4f+i2x+l的

极值点，则10g240M（）

A.2B.3

C.4D.5

［答案］A

［解析］令/（x）=f—8x+12=0则汨=2,加=6,即囱=2,a«）27=6或4=6,"侬

__a+&027_

=2,82014=2=4

.•・1082/014=2,故选A.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上）

13.（文）若sinx+siny=［,则siny—cos'的最大值为_______.

0

_4

［答案］g

12

［分析］本题易将siny—cos—转化为（可一sinx）—cos%usin'x—sinx一,，误认为

sin%e［-l,l］,致使问题转化不等价而导致解题错误.

［解析］由已知条件有siny=1—sinx,

12

且siny=（可一sinx）£［―1,1］,结合sinx£［―1,1］,得一^WsinxWl,

oJ

12

而siny—cos2^x=~-sin%—cosx=sin-2x—sinx一可,

oJ

2

设t=sinx(一鼻＜ZW1),

则原式=—一|=(z—1)2-^(—,

因为对称轴为£=g，

994

故当£=—三，即sinx=一不时，原式取得最大值£.

ooy

［点拨］1.简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题.

2.直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观具体的问题.

3.特殊化策略

对于某个在一般情况下成立的结论或恒成立问题，可运用一般与特殊相互转化的化归思

想，将一般性问题特殊化、具体化，使问题变得简便.

4.换元化归思想

形如y=f（g（*））的表达式，可通过设t=g（x）得到新的函数关系y=F（»,换元后要注

意新元的取值范围.

5.在研究直线与圆锥曲线位置关系，公共点个数时，常常要通过消元化为一元二次方

程用根的判别式来判断，但此时一定要注意是否为完整曲线，否则应数形结合以确定正确答

案.

6.在进行某些变形时（如不等式两边同乘以一个代数式，等式两边平方，两等式（或不

等式）的两边相乘等等）一定要考虑取值范围的变化是否影响题目结果的变化.

7.用换元法解题，换元后一定要考虑新元的取值范围.

（理）（2015•洛阳市期末）如图，在△/回中，sin/学=好，AB=2,点〃在线段4。

乙O

上，旦AD=2DC,做=芈，则cosC=________.

J

7

［答案］§

［解析］由已知得：（：05/4%=1-25后立誓=1-2乂停|2人

1-八*弘一/3十.'DECEDC\/X.n.--干

=可，过C作*〃46,交9的延长线于反则诟=蒜=77尸5，方/*/

8c

=1,DE=^~,BE=2#,cosABCE=~cosAABC=~~,在

oo

Bd+—B声勿+l—121

中，由余弦定理得：cos4BCE=,）"："「，即—=一可，；.3初+26（7—33=0,

乙ZzCzl^Zz乙Zztz«J

解得比=3（负根已舍），在△/阿中，由余弦定理得：—=疗+配一2四•欧os//比=4

1力尸+用~—力*g-4-Q—47

+9-2X2X3X-=9,再由余弦定理得：cosC=一/方;一=5乂片第：=a

oN力。DL7乙z\ooy

22

14.（2015•乌鲁木齐地区三诊）已知双曲线勺一方=l（a>0,方0）的左、右焦点分别为

ab

R,握,过K的直线交双曲线的右支于48两点，若△｛即是以｛为直角顶点的等腰三角

形，e为双曲线的离心率，则1=.

［答案］5-272

［解析］设|/&=勿，•..|2Aim=2a,.•/熊|=2a+|/&=2a+勿，又|/==|朋

=1小|+|照|=卬+|此；.I品|=2a,又|班|一|即|=2a,二郎|=4a.依题意|班|

=筐|45|,即4a=小（24+4，:.m=2（小—Da,在Rt△咒;伍中，|J/=1|2+|^|2=4c,

即8a?+（2啦a-2a）2=41,整理得1=5才-2*a?,：.e2=5-2y/2.

［方法点拨］高考对运算能力要求很高，它要求运算过程合理，计算准确，逻辑严密，

平时做练习题时，有些题目可以审审题、梳理一下思路即可，但一定要保证有足量的题目严

格规范写出解答过程，以养成周密答题的良好习惯，以免手生，眼高手低.

x20,

15.（2015•河南省高考适应性测试）已知实数x,y满足约束条件，y22x+l,(k

x+y+k^0.

为常数），若目标函数z=2x+y的最大值是:，则实数衣的值是.

O

［答案］一3

［解析］由题意可得，直线x+y+仁0经过尸2叶1与2叶尸号的交点A,解得

16.（文）（2015•长沙市模拟）已知点0（0,0）,4（1,2）,8（4,5）,屏游+t受若点P

在x轴上，则实数t的值为.

［答案］-f9

［解析］因为点0(0,0),4(1,2),5(4,5),所以游=(1,2),AB=(4,5)-(1,2)=(3,3),

2

设P(x,y),OP=OA+tAB—(1,2)+Z：(3,3)=(1+3^2+31),令y=2+31=0得t—

J

则x=-1,所以当t=一|时，点户(-1,0)在x轴上.

(S.)(2015•河南八市质量监测)已知卜瓜十才5的展开式中含/项的系数为12,则展

开式的常数项为.

［答案］160

［解析］由7r+i=C6••a，•x~2=a，*r,当r=l时，V的系数为a•C=

6H=12,二.a=2.所以当r=3时，常数项为2、6=8X、丫°丫1=160.

jxzX1

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

3

17.（本题满分12分）（文）（2015•河北衡水中学一模）在数列｛aj中，&=曰a〃+i=2—

□

L设bn——、，数列｛4｝的前n项和是Sn.

ar,a-1

（1）证明：数列｛4｝是等差数列，并求S；

⑵比较为与S+7的大小.

［解析］（1）证明：Vbn=-二，4+1=2—：.btl+\=-------=—二+1=4+1,bn

B.n-1ana+1-1dn-1

+1-bn=1.

...数列｛4｝是公差为1的等差数列.

315

由3\bn~得益=­

ba,-1乙

.-5n,n〃一1n八

Sn=-c+z-TT-3/7.

(2)解法1：由(1)知：bn=—1X(/7—1)=/?—L由6〃=—'■得a=1+；=1+—

22atl-1blt1

n~2

〃2]

/.一Sn—7=—5+3〃-6+~

n~2

2]

•・•当刀24时，一■1_+3〃-6是减函数，---y也是减函数，

n~2

.••当刀24时，an—Sn—7W&—S—7=0.

「3987

又,:品一S-7=一记<0,色—7=一§<0,7=-5<0,

Vz?eN*,an—Sn—7W0.

：.a„^Sn+7.

7

解法2：由(1)知,b„=n--f

1.2/?~5

3^.bn_-J,••3nQ„,Sn03〃.

3n1乙IIIN

当〃>3时，易知｛&｝是递减数列，S是递增数列.

39

又@=e，5+7=-,水S+7；

□z

S+7=3,&<£+7；

5

aa=-1,W+7=］,.•・&<S+7；

&=3,Si+7=3,二.&=Si+7.

当〃>4时,aX3,S+7>3,

从而a<S+7.

综上对任意有，a〃WS,+7.

（理）（2014•湖南理,20）已知数列｛a｝满足4=1,|&+L=/?",—N*.

⑴若｛4｝是递增数列,且五2短3我成等差数列,求夕的值；

（2）若°=看且｛瓯-J是递增数列，｛的｝是递减数列，求数列｛&｝的通项公式.

［分析］第（1）问常因忽视｛4｝是递增数列致误；第（2）问常因变换欠严密致误.

［解析］（1）因为数列｛&｝为递增数列,所以&+I—&20,则|&,+】一&」=4''=a+1—a

=p,分别令〃=1、2可得出一3=0，a一a=夕2=82=1+夕，a3=p+p+l,因为&,2念38

成等差数列，所以44=&+3&n4（1+2）=1+3（//+,+1）=3;/一夕=0=夕=1或0.

当0=0时，数列a“为常数数列不符合数列｛&｝是递增数列，所以

O

⑵•・,｛期是递增数列，，出+L期7>0,

（如+1—勃）+（期一电-1）>0,①

I^2n+\―||也”一一1|,②

由①②知骸一期~1>0，

1—12,1

：.丽一H2L尸（^）2'1=2"7，③

***｛的｝是递减数列，同理得出+1—

1—12什1

•••<32/?+1—电=~（万）~=^2n9④

_］〃+1

由③④得a+1-&>=Q，

；・a=&+（念一覆）+（a-/）H-----\~（4-品-1）

1

1

-2-41

---一

13+-3

2-

4—1

二数列｛&｝的通项公式为a„=-+—

oJ乙

［方法点拨］数学思维、证明要求严谨，步步有据，条理清楚，在数列、不等式、立体

几何、解析几何大题的解答过程中，对逻辑严密都有一定的要求，解题过程中要注意条件充

分，推理有据，语言准确，书写规范.

18.（本题满分12分）（文）（2014•安徽文，19）如图，四棱锥产一48切的底面是边长为

8的正方形，四条侧棱长均为25.点G、E、F、〃分别是棱阳、AB、CD、"'上共面的四点,

平面面7巩1平面ABCD,6c〃平面GEFH.

⑴证明：GH"EF：

（2）若加2,求四边形面？力的面积.

［审题要点］（1）欲证0/〃加；因为比〃平面侬%所以由线面平行的性质定理和公

理4可获证.

（2）由四条侧棱长相等及底面是正方形可知四棱锥为正四棱锥，P在底面射影为正方形

46（勿的中心，欲求四边形的面积，由（1）知四边形留力为梯形，由于平面邮"L平面

交线明故过6作6必跖则成为梯形的高，豆GK〃PO,于是问题转化为由相似关系求

缺的长度和6■〃的长度.

［解析］〃平面GEFH,BCu平面PBC,且平面月%0平面GEF4GH,

：.GH//BC.

同理可证8G：.GII//EF.

（2）连接4G加交于一点。，BD交EF于K,连接gGK.

因为必=AC,。是〃'的中点，所以如J_4C,

同理可证。0，劭，

又,：BDCAC=O,且〃'、故都在底面内，，尸。，平面4版，

又•平面的见1平面ABCD,放平面GEFH,

.♦.00〃平面GEFH.

又•平面GEFHC平面PBD=GK,

：.PO//GK,且平面ABCD,；.GKLEF,

所以掰是梯形面7%的高.

：［8=8,EB=2,：.EBAB=KBDB='4,

，K金DB=?）B,即在为必的中点，

又TP0〃GK,：.GK^PO,

即G是阳的中点，且GH=；BC=4.

又由已知得必=4蛆，a7瓶一切="68—32=6.

:.GK=3.

GH+FF4+8

.•.四边形必加的面积5=一5一•6--y-X3=18.

［易错警示］1.应用线面平行的性质定理时交待不清，步骤不完整，不规范.

2.不能从已知条件中发现正四棱锥关系，因而找不到棱锥高阳〃平面四见打不通思

路.

3.比例关系不清，计算错误.

（理）（2015•柳州市模拟）已知平行四边形"笫（图1）中，4B=4,6c=5,对角线力仁3,

将△/或沿〃■折起至△阳。位置（图2）,使二面角/一为60°,G,〃分别是必，PC

的中点.

(1)求证：尸CJ_平面面次

(2)求二面角尸一比一〃的余弦值.

［解析］⑴过C作6且〃=仍连BE,PE.

,：Ad+AI^=BCl,：.ACYAB,所以四边形/应T是矩形.

又AC'CE,PCLAC,."C_L面在T,

所以方是二面角。一47—6的平面角，...NA%‘=60°.

'：PC=CE=4,...△枚为正三角形.

'：BE//AC,:.BE1面PEC,

：.BELPE,PB=^PIs+Be=5=BC.

而〃是先的中点，，用LAG

,：G.〃是△为。的中位线，:.GH1PC,

■:GHCBH=H,平面伙血

(2)以废的中点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(3,—2,0),尸(0,0,2小),<7(0,-2,0).

易求得面力6的法向量为〃=(24，0,3),

而平面比"的法向量为元'=(0,-2,-273),

所以|cos{n,PC)|=~^~-

故二面角尸一防一〃的余弦值是洋g.

19.(本题满分12分)(文)(2015•洛阳市期末)如图所示茎叶图记录了甲、乙两学习小

组各4名同学在某次考试中的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个

数字具有随机性，并在图中用加(〃WN)表示.

甲组乙组

7985

31910m

(1)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；

(2)当以=3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成

绩之差的绝对值超过2分的概率.

[解析](1)当甲、乙两个小组的数学平均成绩相等时，

由亨(87+89+91+93)=:[85+90+91+(90+0)],得0=4,

设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件4,

加的取值有：0,1,2,9时共有10种可能.当加=4时甲、乙两个小组的数学平均成

绩相同，

...当a=5,6,7,8,9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有5种可能.

51

，乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P(力)=而=修

(2)设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分”为事件反

当卬=3时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有16

种，分别是：(87,85),(87,90),(87,91),(87,93),(89,85),(89,90),(89,91),(89,93),

(91,85),(91,90),(91,91),(91,93),(93,85),(93,90),(93,91),(93,93).

事件8的结果有8种，它们是：(87,90),(87,91),(87,93),(89,85),(89,93),(91,85),

(93,85),(93,90).

O1

.•.两名同学的数学成绩之差的绝对值超过2分的概率P⑦=/=*

162

(理)(2015•石家庄市二模)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系

列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅

读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分

布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学

生称为“非读书迷”.

⑴根据已知条件完成下面2X2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”

的分布列，期望总（与和方差〃0）.

附•r二-----------------"be------------〃=8+c+d

a+bc+da+cb+da十。十c十。

户（*2左）0.1000.0500.0250.0100.001

Ab2.7063.8415.0246.63510.828

［解析］（1）2X2列联表如下

非读书迷读书迷合计

男401555

女202545

合计6040100

10040X25-5X202

-8.249

60X40X55X45

8.249>6.635,故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.

2

⑵视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为由题意可

□

P(X=1)=c(|)(|)"'(f=o,1,2,3)

从而分布列为

X0123

2754368

P

125125125125

6jg

£(心=即=三，D(X)=7?p(l—p)=—

20.(本题满分12分)(文)已知函数Ax)=f+3|x-al(a>0).

(1)当a=l时，曲线y=f(x)上尸点处的切线与直线x—3y-2=0垂直，求2点的坐标;

(2)求函数f(x)的单调区间.

［解析］⑴•••直线x-3y-2=0的斜率为:，

.,.切线的斜率为-3.

由F(x)=f+3=-i|得: